基于特征解的有限彈性板中聲表面波的二維分析
通常認(rèn)為聲表面波(Rayleigh 波)在無(wú)限大彈性板中具有不同的振動(dòng)模態(tài).
確切地說(shuō), 在板中具有代表對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)的并以指數(shù)形式衰減和增長(zhǎng)的成對(duì)
模態(tài)出現(xiàn). 隨著板的厚度的增加, 這些成對(duì)出現(xiàn)的模態(tài)在疊加后將接近半無(wú)限彈
性體中的表面波模態(tài), 當(dāng)然也具有表面波的變形和速度特征, 但在彈性板的表面
卻有著較大的變形. 將有限彈性體表面波的二維理論加以擴(kuò)展, 在展開函數(shù)中除
了熟知的指數(shù)衰減項(xiàng)外還考慮了指數(shù)增長(zhǎng)項(xiàng), 從而建立了有限彈性板中表面波分
析的二維理論. 利用這些新的方程, 研究了不同厚度彈性板中表面波指數(shù)衰減和
增長(zhǎng)型模態(tài)的耦合. 發(fā)現(xiàn)對(duì)于厚度較小的彈性板, 這兩組模態(tài)是強(qiáng)耦合的, 在分
析中予以全部考慮也就顯得非常重要. 當(dāng)彈性板的厚度增加到一定程度, 如大于
5 個(gè)波長(zhǎng)時(shí), 只用厚度衰減模態(tài)就可以分析表面波的振動(dòng)模態(tài), 從而可以極大地
簡(jiǎn)化彈性板中表面波分析的二維方程組.
關(guān)鍵詞 表面波 Rayleigh 波 波傳播 彈性板 波速 振動(dòng) 諧振器
聲表面波廣泛應(yīng)用于各種電子器件, 其分析方法都是基于半無(wú)限大彈性固體中的表面波
(Rayleigh)理論[1~5]. 在工程領(lǐng)域, 表面波分析的基礎(chǔ)也是半無(wú)限大固體的經(jīng)典解, 這已經(jīng)成為器件和其他應(yīng)用方面的典型物理模型[6~15]. 當(dāng)然, Rayleigh波常常只集中在固體的表面?zhèn)鞑?當(dāng)深度超過(guò)大概3 個(gè)波長(zhǎng)以上, 固體中幾乎沒(méi)有擾動(dòng). 這也表明了把實(shí)際結(jié)構(gòu)作為半無(wú)限大體處理的正確性. 在大多數(shù)情形下, 這樣的近似是可以接受的. 在聲表面波諧振器設(shè)計(jì)中, 常常
需要波速和衰減指數(shù), 以確定諧振器的性能. 顯然, 精確分析上述參數(shù)至關(guān)重要, 尤其是在確定諧振器設(shè)計(jì)參數(shù), 如基板厚度等. 另一方面, 無(wú)限板中的表面波解答和半無(wú)限體中的解答具有不同的形式. 例如, 在板中通常存在對(duì)稱和反對(duì)稱兩個(gè)模態(tài), 并以指數(shù)形式衰減或增長(zhǎng)[1].如同半無(wú)限大固體一樣, 板中的對(duì)稱或者反對(duì)稱模態(tài)的位移會(huì)按指數(shù)形式變化, 在中面上達(dá)到或接近零, 但在表面, 位移卻不會(huì)是零. 換言之, 以中面為界, 板的變形和半無(wú)限大體中的表面波相近, 但上下表面的位移和變形卻是半無(wú)限體中所不能看到的獨(dú)特特征. 對(duì)有限厚度的板, 需要強(qiáng)調(diào)的是在工程應(yīng)用中, 表面位移不可忽略. 實(shí)際諧振器中, 光滑的下表面通需要磨粗以減少表面位移. 顯然, 在器件設(shè)計(jì)中, 分析計(jì)算表面的殘余位移非常重要, 這有助于減小因?yàn)楸砻嫖灰扑鸬哪芰繐p失.如果板的厚度增加, 位移將表現(xiàn)出表面波的特點(diǎn), 尤其是沿厚度方向有清晰的變化. 當(dāng)板中的表面波速度接近半無(wú)限體中的表面波速度時(shí), 反對(duì)稱和對(duì)稱模態(tài)的合成位移將逐漸接近Rayleigh 波模態(tài). 如果厚度趨向半無(wú)限大, 合成波速就是Rayleigh 波波速. 由于模態(tài)關(guān)于中面對(duì)稱, 因此下表面的位移不會(huì)消失. 基體厚度足夠大時(shí), 中面一側(cè)的合成位移和Rayleigh 波的位移非常接近.既然板中有對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài), 或者指數(shù)衰減或增長(zhǎng)型模態(tài), 計(jì)算板的主導(dǎo)模態(tài)時(shí)需要兩者兼顧. 將已知板中的主導(dǎo)模態(tài)作為基函數(shù), 可以將有限固體中的表面波二維理論[11,12,16]推廣到考慮更多的振動(dòng)模態(tài)[16~19]. 含有4 個(gè)振動(dòng)模態(tài)的二維理論能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)板的表面波速度和模態(tài)耦合. 二維理論的推導(dǎo)和有關(guān)板的理論, 如Mindlin[20], Lee[21]和Peach[22]等人的研究是相似的.本項(xiàng)研究是我們分析有限大固體中表面波研究工作的一部分, 其典型應(yīng)用是在表面波諧振器的設(shè)計(jì)中[16~19]. 將無(wú)限大板中表面波的特征模態(tài)作為基函數(shù)來(lái)展開位移, 可以改進(jìn)此前的二維理論, 以考慮板的厚度影響. 二維方程可以進(jìn)一步用于具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的諧振器設(shè)計(jì), 如利用有限元法對(duì)帶有電極的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析[23~25]. 本文中我們使用了與常見諧振器材料性能相近的各向同性材料, 但這些算例可以很容易的推廣到各向異性材料.
表面波在彈性體中的傳播特性, 一直是表面波諧振器作為電子元件(如傳感器和濾波器等)
的主要研究問(wèn)題. 表面波技術(shù)在實(shí)際應(yīng)用中常常集中于兩個(gè)方面, 一方面是各向異性壓電頻率諧振器, 另一方面是一些新的元件, 比如推力、壓力、溫度、角速度和角加速度傳感器(它們常常以諧振器作為敏感元件). 這些元件的設(shè)計(jì)和制造往往依靠簡(jiǎn)單的原理和經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行, 直到最近才開始重視一些精確分析的模型和方法, 并把它們應(yīng)用于高效、精確的設(shè)計(jì)和產(chǎn)性能的提高上. 但是, 目前我們可以使用的計(jì)算方法只有采用三維彈性方程求解, 若要應(yīng)用到有限大彈性體中, 只能采用有限元方法來(lái)求得數(shù)值解. 如果遇到了一些復(fù)雜的情況, 比如鍍有周期分布電極的彈性體, 計(jì)算量會(huì)大幅度增加, 數(shù)值解法也會(huì)遇到困難.
Wang等人[16~19]最近提出了表面波在有限大的彈性體中傳播的二維理論, 據(jù)此可以得出
表面波在有限大彈性體中傳播的精確解. 將其應(yīng)用到實(shí)際產(chǎn)品設(shè)計(jì)中, 能夠改善目前表面波諧振器的設(shè)計(jì)方法. 本文根據(jù)無(wú)限大彈性板的三維精確理論, 研究表面波在無(wú)限大彈性板中的傳播情況, 主要包括位移和速度特性; 利用所得到的位移表達(dá)式, 結(jié)合二維理論, 可以計(jì)算出有限大板的波速隨板的厚度和長(zhǎng)度變化的情況. 本文的模型和方法, 可以為表面波傳感器和濾波器等的設(shè)計(jì)提供參考依據(jù).