運算放大器的噪聲模型與頻譜密度曲線

噪聲的重要特性之一就是其頻譜密度。電壓噪聲頻譜密度是指每平方根赫茲的有效（ RMS）噪聲電壓（通常單位為nV/rt-Hz）。功率譜密度的單位為W/Hz。在上一篇文章中，我們了解到電阻的熱噪聲可用方程式 2.1 計算得出。該算式經(jīng)過修改也可適用于頻譜密度。熱噪聲的重要特性之一就在于頻譜密度圖較平坦（也就是說所有頻率的能量相同）。因此，熱噪聲有時也稱作寬帶噪聲。運算放大器也存在寬帶噪聲。寬帶噪聲即為頻譜密度圖較平坦的噪聲。

運算放大器的噪聲模型與頻譜密度曲線

除了寬帶噪聲之外，運算放大器常還有低頻噪聲區(qū)，該區(qū)的頻譜密度圖并不平坦。這種噪聲稱作 1/f 噪聲，或閃爍噪聲，或低頻噪聲。通常說來，1/f 噪聲的功率譜以 1/f 的速率下降。這就是說，電壓譜會以 1/f（1/2 ）的速率下降。不過實際上，1/f 函數(shù)的指數(shù)會略有偏差。圖 2.1 顯示了典型運算放大器在 1/f 區(qū)及寬帶區(qū)的頻譜情況。請注意，頻譜密度圖還顯示了電流噪聲情況（單位為 fA/rt-Hz）。

我們還應(yīng)注意到另一點重要的情況，即 1/f 噪聲還能用正態(tài)分布曲線表示，因此第一部分中介紹的數(shù)學(xué)原理仍然適用。圖 2.2 顯示了1/f 噪聲的時域情況。請注意，本圖的 X 軸單位為秒，隨時間發(fā)生較慢變化是1/f 噪聲的典型特征。

圖 2.2：時域所對應(yīng)的 1/f 噪聲及統(tǒng)計學(xué)分析結(jié)果

圖 2.3 描述了運算放大器噪聲的標(biāo)準(zhǔn)模型，其包括兩個不相關(guān)的電流噪聲源與一個電壓噪聲源，連接于運算放大器的輸入端。我們可將電壓噪聲源視為隨時間變化的輸入偏移電壓分量，而電流噪聲源則可視為隨時間變化的偏置電流分量。

圖 2.3：運算放大器的噪聲模型

運算放大器噪聲分析方法

運算放大器噪聲分析方法是根據(jù)運放數(shù)據(jù)表上的數(shù)據(jù)計算出運放電路峰峰值輸出噪聲。在介紹有關(guān)方法的時候，我們所用的算式適用于最簡單的運算放大器電路。就更復(fù)雜的電路而言，這些算式也有助于我們大致了解可預(yù)見的噪聲輸出情況。我們也可針對這些更復(fù)雜的電路提供較準(zhǔn)確的計算公式，但其中涉及的數(shù)學(xué)計算將更為復(fù)雜。對更復(fù)雜的電路而言，或許我們最好應(yīng)采用三步走的辦法。首先，用算式進行粗略的估算；然后，采用 spice 仿真程序進行更準(zhǔn)確的估算；最后通過測量來確認(rèn)結(jié)果。

我們將以 TI OPA277 的簡單非反向放大器為例來說明有關(guān)電路的情況（見圖 2.4）。我們的目標(biāo)是測定峰峰值輸出噪聲。為了實現(xiàn)這一目的，我們應(yīng)考慮運算放大器的電流噪聲、電壓噪聲以及電阻熱噪聲。我們將根據(jù)產(chǎn)品說明書中的頻譜密度曲線來確定上述噪聲源的大小。此外，我們還要考慮電路增益與帶寬問題。

圖 2.4：噪聲分析電路示例

首先，我們應(yīng)了解如何將噪聲頻譜密度曲線轉(zhuǎn)換為噪聲源。為了實現(xiàn)這一目的，我們需進行微積分運算。簡單提醒一句，積分函數(shù)確定曲線下方的面積。圖 2.5 顯示，我們只須將長寬相乘（即矩形區(qū)域面積），便能獲得常數(shù)函數(shù)的積分。這種轉(zhuǎn)換頻譜密度曲線為噪聲源的關(guān)系比較簡單。

圖 2.5：通過積分計算曲線下方面積

人們通常會說，只有將電壓頻譜密度曲線進行積分計算，才能得到總噪聲值。事實上，我們必須對功率譜密度曲線進行積分計算。該曲線實際反映的是電壓或電流頻譜密度的平方（請記?。篜 = V2/R 且 P=I2R）。圖 2.6 顯示了對電壓頻譜密度曲線進行積分計算所得的奇怪結(jié)果。圖 2.7 顯示，您可將功率譜密度進行積分計算，再通過求結(jié)果的平方根將其轉(zhuǎn)換回電壓。請注意，我們由此可獲得合理結(jié)果。

圖 2.6：計算噪聲的不正確方法

圖 2.7：計算噪聲的正確方法

通過對電壓與電流頻譜的功率譜密度曲線進行積分計算，我們可得到運算放大器模型信號源的 RMS 幅度（圖 2.3）。不過，頻譜密度曲線將分布在 1/f 區(qū)與帶低通濾波器的寬帶區(qū)（見圖 2.8）。如計算上述兩個區(qū)域的總噪聲，我們要采用微積分計算推導(dǎo)出的算式。再根據(jù)第一部分所討論的處理非相關(guān)信號源的方法，對上述兩個計算的結(jié)果做和的平方根（RSS）運算，對應(yīng)第一部分中提到的非相關(guān)信號源。

首先，我們要對帶低通濾波器的寬帶區(qū)域進行積分計算。理想情況下，曲線的低通濾波器部分是一條縱向直線，我們稱之為磚墻式濾波器（brick wall filter）。由于磚墻式濾波器情況下的曲線下方區(qū)域為矩形，因此這一區(qū)域的問題比較好解決，長乘寬即可。在實際情況下，我們不能實現(xiàn)磚墻式濾波器。不過，我們可用一組常量來將實際情況下的濾波器帶寬轉(zhuǎn)換為等效的磚墻式濾波器帶寬，以滿足噪聲計算的需要。圖 2.9 將理論磚墻式濾波器與一階、二階及三階濾波器進行了對比。

圖 2.8：帶濾波器的寬帶區(qū)

圖 2.9：磚墻式濾波器與實際濾波器相比較

我們可用方程式 2.2 用于轉(zhuǎn)換實際濾波器或做磚墻式濾波器等效。表 2.1 列出了各階濾波器的換算系數(shù) （Kn）。舉例來說，一階濾波器帶寬乘以 1.57 即為磚墻式濾波器帶寬。調(diào)節(jié)后的帶寬有時也稱作噪聲帶寬。請注意，換算系數(shù)隨著濾波器階數(shù)的提升將越來越接近于1。換言之，濾波器階數(shù)越高，就越接近于磚墻式濾波器。

既然我們有了將實際濾波器轉(zhuǎn)換為磚墻式濾波器的算式，那么我們就能很方便地進行功率頻譜的積分運算了。請記住，功率的積分運算為電壓頻譜的平方。我們需將積分結(jié)果進行平方根運算轉(zhuǎn)換回電壓。方程式 2.3 即由此得出（見附錄 2.1）。因此，根據(jù)產(chǎn)品說明書中的數(shù)據(jù)套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可計算出寬帶噪聲。

方程式 2.3：寬帶噪聲方程式

我們需記住，我們的目標(biāo)是測定圖 2.3 中噪聲源 Vn 的幅度。該噪聲源包括寬帶噪聲與 1/f 噪聲。我們用方程式 2.2 與 2.3 可計算出寬帶噪聲?，F(xiàn)在我們應(yīng)計算 1/f 噪聲，這就需求對噪聲頻率密度圖 1/f 區(qū)域的功率頻譜進行積分計算（如圖 2.10所示）。我們可用方程式 2.4 和 2.5 獲得有關(guān)積分結(jié)果。方程式 2.4 將 1/f 區(qū)的噪聲測量結(jié)果歸一化為 1Hz 時的噪聲。某些情況下，我們可從圖中直接讀出該數(shù)值，有時用方程式更方便求得（見圖 2.11）。方程式2.5用歸一化噪聲、上部噪聲帶寬與下部噪聲帶寬來計算 1/f 噪聲。附錄 2.2 給出了整個演算過程。

圖 2.10：1/f 區(qū)域

方程式 2.4：頻率為 1Hz 時的噪聲（歸一化）

圖 2.11：兩個 1/f 歸一化示例

方程式 2.5：1/f 噪聲計算

在考慮 1/f 噪聲時，我們必須選擇低頻截止點。這是因為 1/f 函數(shù)分母為零時無意義（即 1/0 無意義）。事實上，理論上 0 赫茲時噪聲趨近于無窮。但我們應(yīng)當(dāng)考慮到，頻率極低時，其相應(yīng)的時間也非常長。舉例來說，0.1Hz 對應(yīng)于 10 秒，而 0.001Hz則對應(yīng)于 1000 秒。對極低的頻率而言，對應(yīng)的時間有可能為數(shù)年（如 10nHz 對應(yīng)于 3 年）。頻率間隔越大，積分計算所得的噪聲就越大。不過我們也要記住，極低頻噪聲檢測需要很長時間。我們在以后的文章中將更詳細(xì)地探討此問題。目前，我們暫且記住這一點，1/f 計算時通常用 0.1Hz 作為低頻截止點。

既然我們已得到了寬帶與 1/f 噪聲的幅度，現(xiàn)在就用第一部分給出的無相關(guān)噪聲源算式來疊加噪聲源（見如下方程式 2.6 與本系列文章的第一部分中的方程式 1.8）。

方程式 2.6： 1/f 與寬帶噪聲疊加結(jié)果

工程師考慮分析方法時通常會擔(dān)心，1/f 噪聲與寬帶噪聲是否應(yīng)在兩個不同的區(qū)域進行積分計算。換言之，他們認(rèn)為，由于 1/f 噪聲與寬帶噪聲相加后會超出 1/f 區(qū)域，從而出現(xiàn)錯誤。實際上，1/f 區(qū)域與寬帶區(qū)域一樣，都涵蓋所有頻率。我們必須記住，當(dāng)噪聲頻譜顯示在對數(shù)圖上，1/f 區(qū)在降至寬帶曲線以下后影響極小。兩條曲線結(jié)合明顯的唯一區(qū)域就在 1/f 半功率頻點處。在此區(qū)域中，我們看到兩區(qū)域結(jié)合部的情況與數(shù)學(xué)模型相同。圖 2.12 顯示了兩區(qū)實際重疊的情況，并給出了相應(yīng)的幅度。