2019年3月22日，第十一期北大軟微-八分量協(xié)同實驗室學術沙龍活動如期展開。沙龍上圍繞橢圓曲線的討論共分為三個階段，首先介紹了橢圓曲線，之后重點圍繞橢圓曲線數(shù)字簽名算法（ECDSA）做出了分析，并在最后分享了一下相關技術最新的進展和最受外界關注的領域。

橢圓曲線密碼學（ECC），是一種基于橢圓曲線數(shù)學誕生的非對稱秘鑰加密的算法。在探究ECC之前，我們有必要回顧一下橢圓曲線數(shù)學。

我們定義平行線相交于無窮遠點P∞，使平面上所有直線都統(tǒng)一為有唯一的交點，而區(qū)別于無窮遠點的原來平面上的點為平常點。通過無窮遠點和平常點我們可以引入射影平面的概念。

射影平面：平面上全體無窮遠點與全體平常點構(gòu)成射影平面。

而橢圓曲線，指的就是在射影平面上滿足威爾斯特拉斯方程（Weierstrass）所有點的集合，且曲線上所有點都是非奇異的。

所謂非奇異，指的是曲線上任意一點的偏導數(shù)不能同時為0。

明白了橢圓曲線的由來，我們再來看橢圓曲線在密碼學上應用的方案。首先面對的問題就是橢圓曲線是連續(xù)的，并不適合用于加密。因此，橢圓曲線密碼學的第一要務就是把橢圓曲線定義在有限域上，（有限域Fp ，p為素數(shù)），并提出一條適于加密的曲線：y2=x3+ax+b （modp）。

相比起在商業(yè)中被廣泛采用的RSA加密算法，ECC優(yōu)勢是可以使用更短的密鑰，來實現(xiàn)與RSA相當或更高級別的安全。通過下圖我們清楚的發(fā)現(xiàn)，160位ECC加密安全性相當于1024位RSA加密，而210位ECC加密安全性甚至相當于2048位RSA加密。

眾所周知，比特幣中的公私鑰生成以及簽名算法ECDSA都是基于橢圓曲線加密算法而誕生的。ECDSA算法可以說是應用最廣泛的橢圓曲線簽名算法，從比特幣開始，并且已經(jīng)被其它區(qū)塊鏈項目所廣泛使用。在區(qū)塊鏈中使用的公鑰生成算法是SECP256K1。

其中以太坊和比特幣的在ECDSA中的區(qū)別在于二者使用的哈希算法不同，在比特幣中使用的是SHA2-256，在以太坊中使用的是SHA3-256，同樣字節(jié)數(shù)的SHA3比SHA2更安全。

此外，沙龍還重點分析Schnorr簽名算法。與ECDSA相比，Schnorr具備明顯的優(yōu)勢，如安全證明和不可延展性的保證。更重要的是，Schnorr最大的好處是線性特征，簽名的私鑰可以拆分，而ECDSA沒有這個特點。鑒于Schnorr支持門限簽名，顯然Schnorr更具優(yōu)勢。

最后，大家簡要了解了一些近年來對相關技術算法的一些論文，最受關注的是門限簽名方案的密碼協(xié)議，僅2019年就有多篇相關論文的發(fā)表。在最后，沈晴霓教授和Trias資深系統(tǒng)研發(fā)胡志琳博士就此后的沙龍主題做出了安排，下一期沙龍將會對國內(nèi)外一些比較有創(chuàng)新價值的學術論文進行分析，并對技術的可行性和便利性作出討論。