最近，「區(qū)塊鏈」、「聯(lián)邦學(xué)習(xí)」等概念受到了空前的關(guān)注。而在這些概念背后，少不了一項(xiàng)技術(shù)的影子——「同態(tài)加密」。本文介紹了使用 Julia 語(yǔ)言進(jìn)行基于同態(tài)加密數(shù)據(jù)機(jī)器學(xué)習(xí)的全過(guò)程，對(duì)于入門(mén)者具有極大的參考價(jià)值。

注意：本文討論了最前沿的密碼學(xué)技術(shù)，旨在提供一種利用「Julia Computing」進(jìn)行研究的視角。請(qǐng)不要將文中的任何示例用于生產(chǎn)應(yīng)用程序。在使用密碼學(xué)之前一定要咨詢專(zhuān)業(yè)的密碼學(xué)專(zhuān)家。

引言

假設(shè)你開(kāi)發(fā)了一個(gè)酷炫的新機(jī)器學(xué)習(xí)模型，現(xiàn)在你想將部署該模型，為用戶提供服務(wù)。應(yīng)該怎么做呢？最簡(jiǎn)單的方法可能是直接把模型發(fā)布給用戶，然后讓他們使用自己的數(shù)據(jù)在本地運(yùn)行這個(gè)模型。但這種方法存在一些問(wèn)題：

機(jī)器學(xué)習(xí)模型一般都很大，而用戶的設(shè)備實(shí)際上可能沒(méi)有足夠的存儲(chǔ)空間或算力來(lái)運(yùn)行模型機(jī)器學(xué)習(xí)模型一般都會(huì)頻繁地更新，你可能不會(huì)想在網(wǎng)絡(luò)上頻繁傳輸這么大的模型開(kāi)發(fā)機(jī)器學(xué)習(xí)模型需要大量時(shí)間和計(jì)算資源，你可能會(huì)想通過(guò)向使用該模型的用戶收費(fèi)來(lái)收回成本

接下來(lái)，常用的解決方案是將模型作為應(yīng)用程序接口（API）在云上公開(kāi)。在過(guò)去幾年間，這些「機(jī)器學(xué)習(xí)即服務(wù)」產(chǎn)品如雨后春筍般涌現(xiàn)，每個(gè)主要的云平臺(tái)都會(huì)為企業(yè)級(jí)開(kāi)發(fā)者提供這樣的服務(wù)。

但這類(lèi)產(chǎn)品的潛在用戶所面對(duì)的困境也是顯而易見(jiàn)的——處理用戶數(shù)據(jù)的遠(yuǎn)程服務(wù)器可能并不可信。這樣就會(huì)存在明確的倫理和法律的分歧，從而限制這種解決方案的有效范圍。在受監(jiān)管的產(chǎn)業(yè)（尤其是醫(yī)療業(yè)和金融業(yè)）中，一般是不允許將病患或金融數(shù)據(jù)發(fā)送給第三方進(jìn)行處理的。我們可以做得更好嗎？

事實(shí)證明，我們可以！最近，密碼學(xué)方面取得的突破可以在無(wú)需進(jìn)行解密的情況下，直接計(jì)算加密數(shù)據(jù)。在我們的例子中，用戶可以將加密數(shù)據(jù)（例如圖像）傳遞給云 API，以此運(yùn)行機(jī)器學(xué)習(xí)模型，并返回加密的答案。整個(gè)過(guò)程中都沒(méi)有解密用戶數(shù)據(jù)，尤其是云服務(wù)商既不能訪問(wèn)原始圖像，也不能解碼計(jì)算得到的預(yù)測(cè)值。這是怎么做到的呢？本文通過(guò)構(gòu)建一個(gè)進(jìn)行加密圖像的手寫(xiě)識(shí)別（來(lái)自 MNIST 數(shù)據(jù)集）的機(jī)器學(xué)習(xí)模型為大家揭秘背后的原理。

同態(tài)加密（Homomorphic Encryption，HE）的一般解釋

一般而言，對(duì)加密數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算的能力被稱(chēng)為「安全計(jì)算」，這是一個(gè)相當(dāng)大的研究領(lǐng)域，針對(duì)大量不同的場(chǎng)景要用不同的密碼學(xué)方法和技術(shù)解決問(wèn)題。在本例中，我們將關(guān)注所謂的「同態(tài)加密」技術(shù)。在同態(tài)加密系統(tǒng)中，我們一般要進(jìn)行以下操作：

pub_key， eval_key， priv_key = keygen（）encrypted = encrypt（pub_key， plaintext）decrypted = decrypt（priv_key， encrypted）encrypted′ = eval（eval_key， f， encrypted）

前三步非常直觀，之前使用過(guò)任何非對(duì)稱(chēng)加密技術(shù)的人都會(huì)對(duì)此感到很熟悉（就像通過(guò)安全傳輸層協(xié)議（TLS）連接到本文）。最后一步才是神奇之處。它使用加密數(shù)據(jù)評(píng)估了 f，并返回了另一個(gè)與基于加密值評(píng)估 f 的結(jié)果對(duì)應(yīng)的加密值。這一性質(zhì)正是我們將這種技術(shù)稱(chēng)為「同態(tài)加密」的原因。評(píng)估操作與下面的加密操作等價(jià)：

f（decrypt（priv_key， encrypted）） == decrypt（priv_key， eval（eval_key， f， encrypted））

（同樣地，可以基于加密值評(píng)估任意的同態(tài) f）

支持哪些函數(shù) f 取決于加密方案和支持的運(yùn)算。如果只支持一種函數(shù) f（比如 f=+），我們可以將這種加密方案稱(chēng)為「部分同態(tài)」。如果 f 是可以建立任意電路的完整的門(mén)的集合，如果電路大小有限，稱(chēng)之為「有限同態(tài)」（Somewhat Homomorphic Encryption， SHE）；如果電路大小不受限制，稱(chēng)之為「全同態(tài)」（Fully Homomorphic Encryption， FHE）。一般可以通過(guò)自助法（bootstrapping），將「有限」同態(tài)轉(zhuǎn)換為「全」同態(tài)，但這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)超過(guò)了本文所討論的內(nèi)容。

全同態(tài)加密是最近的研究，Craig Gentry 在 2009 年發(fā)表了第一個(gè)可行（但不實(shí)際）的方?，F(xiàn)在陸續(xù)出現(xiàn)了一些更新也更實(shí)際的 FHE 方案。更重要的是，還有一些可以高效地實(shí)現(xiàn)這一方案的軟件包。最常用的兩個(gè)軟件包是 Microsoft SEAL和 PALISADE。此外，我最近還開(kāi)源了這些算法的 Julia 實(shí)現(xiàn)（https://github.com/JuliaComputing/ToyFHE.jl）。出于我們的目的，我們將使用后者中實(shí)現(xiàn)的 CKKS 加密。

高級(jí) CKKS

CKKS（以 Cheon-Kim-Kim-Song 的名字命名，他在 2016 年的論文「Homomorphic Encryption for Arithmetic of Approximate Numbers」提出）是一種同態(tài)加密方案，可以對(duì)以下基本操作進(jìn)行同態(tài)評(píng)估：

長(zhǎng)度為 n 的復(fù)數(shù)向量的對(duì)應(yīng)元素相加長(zhǎng)度為 n 的復(fù)數(shù)向量的對(duì)應(yīng)元素相乘向量中元素的旋轉(zhuǎn)（通過(guò)循環(huán)移位實(shí)現(xiàn)）向量元素的復(fù)共軛

這里的參數(shù) n 取決于需要的安全性和準(zhǔn)確性，該值一般都比較高。在本例中，n=4096（值越高越安全，但是計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)也更大，時(shí)間復(fù)雜度大致會(huì)縮放為 nlog^n）。

此外，用 CKKS 計(jì)算是有噪聲的。因此，計(jì)算結(jié)果一般都只是近似值，而且要注意確保評(píng)估結(jié)果足夠準(zhǔn)確，不會(huì)影響結(jié)果的正確性。

也就是說(shuō)，對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)程序包的開(kāi)發(fā)者而言，這些限制并不罕見(jiàn)。像 GPU 這樣有特殊用途的加速器，也可以處理數(shù)字向量。同樣，許多開(kāi)發(fā)者會(huì)因算法選擇的影響、多線程等原因，認(rèn)為浮點(diǎn)數(shù)噪聲太多（我要強(qiáng)調(diào)的是，有一個(gè)關(guān)鍵的區(qū)別是，浮點(diǎn)算法本身是確定性的，盡管因?yàn)閷?shí)現(xiàn)的復(fù)雜性，它有時(shí)不會(huì)展現(xiàn)出這種確定性，但 CKKS 原語(yǔ)的噪聲真的很多，但這也許可以讓用戶意識(shí)到噪聲并沒(méi)有第一次出現(xiàn)時(shí)那么可怕）。

考慮到這一點(diǎn)，我們?cè)倏纯慈绾卧?Julia 中執(zhí)行這些運(yùn)算（注意：這里有一些非常不安全的參數(shù)選擇，這些操作的目的是說(shuō)明這個(gè)庫(kù)在交互式解釋器（REPL）中的用法）。

julia》 using ToyFHE# Let‘s play with 8 element vectorsjulia》 N = 8;# Choose some parameters - we’ll talk about it laterjulia》 = NegacyclicRing（2N， （40， 40， *40*））/（x + 1）# We‘ll use CKKS julia》 params = CKKSParams（）CKKS parameters# We need to pick a scaling factor for a numbers - again we’ll talk about that laterjulia》 Tscale = FixedRational{2^40}FixedRational{1099511627776，T} where T# Let‘s start with a plain Vector of zerosjulia》 plain = CKKSEncoding{Tscale}（zero（））8-element CKKSEncoding{FixedRational{1099511627776，T} where T} with indices 0:7：0.0 + 0.0im0.0 + 0.0im0.0 + 0.0im0.0 + 0.0im0.0 + 0.0im0.0 + 0.0im0.0 + 0.0im0.0 + 0.0im# Ok， we’re ready to get started， but first we‘ll need some keysjulia》 kp = keygen（params）CKKS key pairjulia》 kp.privCKKS private keyjulia》 kp.pubCKKS public key# Alright， let’s encrypt some things:julia》 foreach（i-》plain［i］ = i+1， 0:7）; plain8-element CKKSEncoding{FixedRational{1099511627776，T} where T} with indices 0:7：1.0 + 0.0im2.0 + 0.0im3.0 + 0.0im4.0 + 0.0im5.0 + 0.0im6.0 + 0.0im7.0 + 0.0im8.0 + 0.0imjulia》 c = encrypt（kp.pub， plain）CKKS ciphertext （length 2， encoding CKKSEncoding{FixedRational{1099511627776，T} where T}）

# And decrypt it againjulia》 decrypt（kp.priv， c）8-element CKKSEncoding{FixedRational{1099511627776，T} where T} with indices 0:7：0.9999999999995506 - 2.7335193113350057e-16im1.9999999999989408 - 3.885780586188048e-16im3.000000000000205 + 1.6772825551165524e-16im4.000000000000538 - 3.885780586188048e-16im4.999999999998865 + 8.382500573679615e-17im6.000000000000185 + 4.996003610813204e-16im7.000000000001043 - 2.0024593503998215e-16im8.000000000000673 + 4.996003610813204e-16im# Note that we had some noise. Let‘s go through all the primitive operations we’ll need:julia》 decrypt（kp.priv， c+c）8-element CKKSEncoding{FixedRational{1099511627776，T} where T} with indices 0:7：1.9999999999991012 - 5.467038622670011e-16im3.9999999999978817 - 7.771561172376096e-16im6.00000000000041 + 3.354565110233105e-16im8.000000000001076 - 7.771561172376096e-16im9.99999999999773 + 1.676500114735923e-16im12.00000000000037 + 9.992007221626409e-16im14.000000000002085 - 4.004918700799643e-16im16.000000000001346 + 9.992007221626409e-16imjulia》 csq = c*cCKKS ciphertext （length 3， encoding CKKSEncoding{FixedRational{1208925819614629174706176，T} where T}）julia》 decrypt（kp.priv， csq）8-element CKKSEncoding{FixedRational{1208925819614629174706176，T} where T} with indices 0:7：0.9999999999991012 - 2.350516767363621e-15im3.9999999999957616 - 5.773159728050814e-15im9.000000000001226 - 2.534464540987068e-15im16.000000000004306 - 2.220446049250313e-15im24.99999999998865 + 2.0903753311370056e-15im36.00000000000222 + 4.884981308350689e-15im49.000000000014595 + 1.0182491378134327e-15im64.00000000001077 + 4.884981308350689e-15im

這很簡(jiǎn)單！敏銳的讀者可能已經(jīng)注意到了 csq 和之前的密文看起來(lái)有點(diǎn)不同。尤其是，它是「長(zhǎng)度為 3」的密文，范圍也更大。要說(shuō)明它們是什么，以及它們是做什么用的有點(diǎn)太過(guò)復(fù)雜。我只想說(shuō)，在進(jìn)一步計(jì)算之前，我們要得讓這些值降下來(lái)，否則我們會(huì)盡密文中的「空間」。幸運(yùn)的是，有一種方法可以解決這兩個(gè)問(wèn)題：

# To get back down to length 2， we need to `keyswitch` （aka# relinerarize）， which requires an evaluation key. Generating# this requires the private key. In a real application we would# have generated this up front and sent it along with the encrypted# data， but since we have the private key， we can just do it now.julia》 ek = keygen（EvalMultKey， kp.priv）CKKS multiplication keyjulia》 csq_length2 = keyswitch（ek， csq）CKKS ciphertext （length 2， encoding CKKSEncoding{FixedRational{1208925819614629174706176，T} where T}）

# Getting the scale back down is done using modswitching.julia》 csq_smaller = modswitch（csq_length2）CKKS ciphertext （length 2， encoding CKKSEncoding{FixedRational{1.099511626783e12，T} where T}）

# And it still decrypts correctly （though note we‘ve lost some precision）julia》 decrypt（kp.priv， csq_smaller）8-element CKKSEncoding{FixedRational{1.099511626783e12，T} where T} with indices 0:7：0.9999999999802469 - 5.005163520332181e-11im3.9999999999957723 - 1.0468514951188039e-11im8.999999999998249 - 4.7588542623100616e-12im16.000000000023014 - 1.0413447889166631e-11im24.999999999955193 - 6.187833723406491e-12im36.000000000002345 + 1.860733715346631e-13im49.00000000001647 - 1.442396043149794e-12im63.999999999988695 - 1.0722489563648028e-10im

此外，modswitching（模轉(zhuǎn)換：modulus switching 的簡(jiǎn)寫(xiě)）減少了密文模的大小，所以我們不能無(wú)限地這么做下去。（用上文提到的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，我們?cè)谶@里使用的是 SHE 方案）：

julia》 # Remember the ring we initially created/（x + 1）julia》 ToyFHE.ring（csq_smaller） # It shrunk！/（x + 1）

我們要做的最后一步運(yùn)算是：旋轉(zhuǎn)。就像上文的密鑰轉(zhuǎn)換（KeySwitching），在這里也需要評(píng)估密鑰（也稱(chēng)為伽羅瓦（galois）密鑰）：

julia》 gk = keygen（GaloisKey， kp.priv; steps=2）CKKS galois key （element 25）julia》 decrypt（circshift（c， gk））decrypt（kp， circshift（c， gk））8-element CKKSEncoding{FixedRational{1099511627776，T} where T} with indices 0:7：7.000000000001042 + 5.68459112632516e-16im8.000000000000673 + 5.551115123125783e-17im0.999999999999551 - 2.308655353580721e-16im1.9999999999989408 + 2.7755575615628914e-16im3.000000000000205 - 6.009767921608429e-16im4.000000000000538 + 5.551115123125783e-17im4.999999999998865 + 4.133860996136768e-17im6.000000000000185 - 1.6653345369377348e-16im# And let’s compare to doing the same on the plaintextjulia》 circshift（plain， 2）8-element OffsetArray（：：Array{Complex{Float64}，1}， 0:7） with eltype Complex{Float64} with indices 0:7：7.0 + 0.0im8.0 + 0.0im1.0 + 0.0im2.0 + 0.0im3.0 + 0.0im4.0 + 0.0im5.0 + 0.0im6.0 + 0.0im

好了，我們已經(jīng)了解了同態(tài)加密庫(kù)的基本用法。在思考如何用這些原語(yǔ)進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)推斷之前，我們先觀察并訓(xùn)練我們需要使用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

機(jī)器學(xué)習(xí)模型

如果你不熟悉機(jī)器學(xué)習(xí)或 Flux.jl 機(jī)器學(xué)習(xí)庫(kù)，我建議你先快速閱讀一下 Flux.jl 文檔或我們?cè)?JuliaAcademy 上發(fā)布的免費(fèi)機(jī)器學(xué)習(xí)介紹課程，因?yàn)槲覀冎粫?huì)討論在加密數(shù)據(jù)上運(yùn)行模型所做的更改。

我們將以 Flux 模型空間中卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的例子為出發(fā)點(diǎn)。在這個(gè)模型中，訓(xùn)練循環(huán)、數(shù)據(jù)預(yù)處理等操作都不變，只是輕微地調(diào)整模型。我們要用的模型是：

functionreshape_and_vcat（x） lety=reshape（x， 64， 4， size（x， 4）） vcat（（y［：，i，：］ for i=axes（y，2））。..） endendmodel = Chain（ # First convolution， operating upon a 28x28 image Conv（（7， 7）， 1=》4， stride=（3，3）， x-》x.^2）， reshape_and_vcat， Dense（256， 64， x-》x.^2）， Dense（64， 10），）

該模型與「安全外包矩陣的計(jì)算及其在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)上與應(yīng)用」（Secure Outsourced Matrix Computation and Application to Neural Networks）文中所用的模型基本相同，它們用相同的加密方案演示了相同的模型，但有兩個(gè)區(qū)別：（1）他們加密了模型而我們（為簡(jiǎn)單起見(jiàn)）沒(méi)有對(duì)模型加密；（2）我們?cè)诿恳粚又蠖加衅孟蛄浚ㄟ@也是 Flux 的默認(rèn)行為），我不確定這種行為對(duì)本文評(píng)估的模型是否是這樣。也許是因?yàn)椋?），我們模型的準(zhǔn)確率才略高（98.6% vs 98.1%），但這也可能僅僅是因?yàn)槌瑓?shù)的差異。

「x.^2」激活函數(shù)也是一個(gè)不尋常的特征（對(duì)那些有機(jī)器學(xué)習(xí)背景的人來(lái)說(shuō)）。這里更常用的選擇可能是「tanh」、「relu」或者其他更高級(jí)的函數(shù)。然而，盡管這些函數(shù)（尤其是 relu）可以更容易地評(píng)估明文值，但評(píng)估加密數(shù)據(jù)的計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)則相當(dāng)大（基本上是評(píng)估多項(xiàng)式近似值）。幸運(yùn)的是，「x.^2」可以很好地滿足我們的目的。

其余的訓(xùn)練循環(huán)基本上是相同的。我們從模型中刪除了「softmax」，取而代之的是「logitcrossentropy」損失函數(shù)（當(dāng)然也可以保留它，在客戶端解密后再評(píng)估「softmax」）。訓(xùn)練模型的完整代碼見(jiàn) GitHub，在近期發(fā)布的 GPU 上只需要幾分鐘就可以完成訓(xùn)練。

代碼地址：https://github.com/JuliaComputing/ToyFHE.jl/blob/master/examples/encrypted_mnist/train.jl

高效地計(jì)算

好了，現(xiàn)在已經(jīng)明確了我們需要做什么，接下來(lái)看看我們要做哪些運(yùn)算：

卷積 元素平方 矩陣乘法

我們?cè)谏衔闹幸呀?jīng)看到了，元素平方操作是很簡(jiǎn)單的，所以我們按順序處理剩下的兩個(gè)問(wèn)題。在整個(gè)過(guò)程中，假設(shè)批處理大?。╞atch size）為 64（你可能注意到了，我們有策略地選擇模型參數(shù)和批處理大小，從而充分利用 4096 元素向量的優(yōu)勢(shì)，這是我們從實(shí)際的參數(shù)選擇中得到的）。

卷積

讓我們回顧一下卷積是如何工作的。首先，取原始輸入數(shù)組中的一些窗口（本例中為 7*7），窗口中的每個(gè)元素跟卷積掩模的元素相乘。然后移動(dòng)窗口（本例中步長(zhǎng)為 3，所以將窗口移動(dòng) 3 個(gè)元素）。重復(fù)這個(gè)過(guò)程（用相同的卷積掩模）。下面的動(dòng)畫(huà)說(shuō)明了以（2，2）的步長(zhǎng)進(jìn)行 3*3 卷積的過(guò)程（藍(lán)色數(shù)組是輸入，綠色數(shù)組是輸出）。

另外，我們將卷積分成 4 個(gè)不同的「通道」（這意味著用不同的卷積掩模，將卷積又重復(fù)了 3 次）

好了，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了要做什么，接下來(lái)考慮一下該如何實(shí)現(xiàn)。幸運(yùn)的是，卷積是我們模型中的第一步運(yùn)算。因此，可以在加密數(shù)據(jù)之前（無(wú)需模型權(quán)重）先在客戶端上預(yù)處理，來(lái)節(jié)省一些工作。具體而言，我們將執(zhí)行以下操作：

預(yù)先計(jì)算每個(gè)卷積窗口（即從原始圖像中提取 7*7 的窗口），從每個(gè)輸入圖像中得到 64 個(gè) 7*7 的矩陣（注意要在步長(zhǎng)為 2 的情況下得到 7*7 的窗口，要評(píng)估 28*28 的輸入圖像的話，要計(jì)算 8*8 的卷積窗口） 將每個(gè)窗口中的相同位置收集到一個(gè)向量中，即對(duì)每張圖來(lái)說(shuō)，都會(huì)有包含 64 個(gè)元素的向量，或當(dāng)批處理大小為 64 時(shí)，會(huì)得到 64*64 的元素向量（即，共有 49 個(gè) 64*64 的矩陣） 加密

然后卷積就變成了整個(gè)矩陣和適當(dāng)掩碼元素的標(biāo)量乘法，對(duì)這 49 個(gè)元素求和，得到了卷積的結(jié)果。這個(gè)方案是這樣實(shí)現(xiàn)的（在明文上）：

function public_preprocess（batch） ka = OffsetArray（0:7， 0:7） # Create feature extracted matrix I = ［［batch［i′*3 .+ （1:7）， j′*3 .+ （1:7）， 1， k］ for i′=ka， j′=ka］ for k = 1:64］ # Reshape into the ciphertext I = ［［I［k］［l.。.］［i，j］ for k=1:64， l=product（ka， ka）］ for i=1:7， j=1:7］endI = public_preprocess（batch）# Evaluate the convolutionweights = model.layers［1］.weightconv_weights = reverse（reverse（weights， dims=1）， dims=2）conved = ［sum（I［i，j］*conv_weights［i，j，1，channel］ for i=1:7， j=1:7） for channel = 1:4］conved = map（（（x，b），）-》x .+ b， zip（conved， model.layers［1］.bias））

這樣的實(shí)現(xiàn)（對(duì)維度重新排序的模）給出了相同的答案，但是用了這樣的操作：

model*.*layers［*1*］（batch）

加入加密操作后，我們得到：

I = public_preprocess（batch）C_I = map（I） do Iij plain = CKKSEncoding{Tscale}（zero（plaintext_space（ckks_params））） plain 。= OffsetArray（vec（Iij）， 0：（N÷2-1）） encrypt（kp， plain）endweights = model.layers［1］.weightconv_weights = reverse（reverse（weights， dims=1）， dims=2）conved3 = ［sum（C_I［i，j］*conv_weights［i，j，1，channel］ for i=1:7， j=1:7） for channel = 1:4］conved2 = map（（（x，b），）-》x .+ b， zip（conved3， model.layers［1］.bias））conved1 = map（ToyFHE.modswitch， conved2）

注意，由于權(quán)重是公開(kāi)的，所以不需要密鑰轉(zhuǎn)換，因此沒(méi)有擴(kuò)展密文的長(zhǎng)度。

矩陣乘法

接下來(lái)看看矩陣乘法是如何實(shí)現(xiàn)的。我們利用這樣的事實(shí)——可以旋轉(zhuǎn)向量中的元素，來(lái)重排序乘法索引。特別是，要考慮向量中矩陣元素的行優(yōu)先排序。然后，如果以行大小的倍數(shù)移動(dòng)向量，就可以得到列旋轉(zhuǎn)的效果，這可以提供充足的原語(yǔ)來(lái)實(shí)現(xiàn)矩陣乘法（至少是方陣）。我們不妨試一下：

function matmul_square_reordered（weights， x） sum（1:size（weights， 1）） do k # We rotate the columns of the LHS and take the diagonal weight_diag = diag（circshift（weights， （0，（k-1）））） # We rotate the rows of the RHS x_rotated = circshift（x， （k-1，0）） # We do an elementwise， broadcast multiply weight_diag .* x_rotatedendendfunction matmul_reorderd（weights， x） sum（partition（1:256， 64）） dorange matmul_square_reordered（weights［：， range］， x［range， ：］） endendfc1_weights = model.layers［3］.Wx = rand（Float64， 256， 64）@assert （fc1_weights*x） ≈ matmul_reorderd（fc1_weights， x）

當(dāng)然，對(duì)于一般的矩陣乘法，我們可能需要更好的方法，但是在本例中，現(xiàn)在這種程度就已經(jīng)足夠了。

優(yōu)化代碼

至此，我們?cè)O(shè)法將所有內(nèi)容整合在一起，而且也確實(shí)奏效了。這里提供了代碼作為參考（省略了參數(shù)選擇等設(shè)置）：

ek = keygen（EvalMultKey， kp.priv）gk = keygen（GaloisKey， kp.priv; steps=64）I = public_preprocess（batch）C_I = map（I） do Iij plain = CKKSEncoding{Tscale}（zero（plaintext_space（ckks_params））） plain 。= OffsetArray（vec（Iij）， 0：（N÷2-1）） encrypt（kp， plain）endweights = model.layers［1］.weightconv_weights = reverse（reverse（weights， dims=1）， dims=2）conved3 = ［sum（C_I［i，j］*conv_weights［i，j，1，channel］ for i=1:7， j=1:7） for channel = 1:4］conved2 = map（（（x，b），）-》x .+ b， zip（conved3， model.layers［1］.bias））conved1 = map（ToyFHE.modswitch， conved2）Csqed1 = map（x-》x*x， conved1）Csqed1 = map（x-》keyswitch（ek， x）， Csqed1）Csqed1 = map（ToyFHE.modswitch， Csqed1）function encrypted_matmul（gk， weights， x：：ToyFHE.CipherText） result = repeat（diag（weights）， inner=64）.*x rotated = x for k = 2:64 rotated = ToyFHE.rotate（gk， rotated） result += repeat（diag（circshift（weights， （0，（k-1））））， inner=64） .* rotated end resultendfq1_weights = model.layers［3］.WCfq1 = sum（enumerate（partition（1:256， 64））） do （i，range） encrypted_matmul（gk， fq1_weights［：， range］， Csqed1［i］）endCfq1 = Cfq1 .+ OffsetArray（repeat（model.layers［3］.b， inner=64）， 0:4095）Cfq1 = modswitch（Cfq1）Csqed2 = Cfq1*Cfq1Csqed2 = keyswitch（ek， Csqed2）Csqed2 = modswitch（Csqed2）function naive_rectangular_matmul（gk， weights， x） @assert size（weights， 1） 《 size（weights， 2） weights = vcat（weights， zeros（eltype（weights）， size（weights， 2）-size（weights， 1）， size（weights， 2））） encrypted_matmul（gk， weights， x）endfq2_weights = model.layers［4］.WCresult = naive_rectangular_matmul（gk， fq2_weights， Csqed2）Cresult = Cresult .+ OffsetArray（repeat（vcat（model.layers［4］.b， zeros（54））， inner=64）， 0:4095）

雖然代碼看起來(lái)不是很清晰，但是如果你已經(jīng)進(jìn)行到這一步了，那你就應(yīng)該理解這個(gè)流程中的每一步。

現(xiàn)在，把注意力轉(zhuǎn)移到可以讓這一切更好理解的抽象上。我們先跳出密碼學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，考慮編程語(yǔ)言設(shè)計(jì)的問(wèn)題。Julia 可以實(shí)現(xiàn)強(qiáng)大的抽象，我們可以利用這一點(diǎn)構(gòu)建一些抽象。例如，可以將整個(gè)卷積提取過(guò)程封裝為自定義數(shù)組類(lèi)型：

using BlockArrays“”“ ExplodedConvArray{T， Dims， Storage} 《： AbstractArray{T， 4}Represents a an `nxmx1xb` array of images， but rearranged into aseries of convolution windows. Evaluating a convolution compatiblewith `Dims` on this array is achievable through a sequence ofscalar multiplications and sums on the underling storage.”“”struct ExplodedConvArray{T， Dims， Storage} 《： AbstractArray{T， 4} # sx*sy matrix of b*（dx*dy） matrices of extracted elements # where （sx， sy） = kernel_size（Dims） # （dx， dy）=output_size（DenseConvDims（。..）） cdims：：Dims x：：Matrix{Storage} function ExplodedConvArray{T， Dims， Storage}（cdims：：Dims， storage：：Matrix{Storage}） where {T， Dims， Storage} @assert all（==（size（storage［1］））， size.（storage）） new{T， Dims， Storage}（cdims， storage） endendBase.size（ex：：ExplodedConvArray） = （NNlib.input_size（ex.cdims）。..， 1， size（ex.x［1］， 1））function ExplodedConvArray{T}（cdims， batch：：AbstractArray{T， 4}） where {T} x， y = NNlib.output_size（cdims） kx， ky = NNlib.kernel_size（cdims） stridex， stridey = NNlib.stride（cdims） kax = OffsetArray（0:x-1， 0:x-1） kay = OffsetArray（0:x-1， 0:x-1） I = ［［batch［i′*stridex .+ （1:kx）， j′*stridey .+ （1:ky）， 1， k］ for i′=kax， j′=kay］ for k = 1:size（batch， 4）］ I = ［［I［k］［l.。.］［i，j］ for k=1:size（batch， 4）， l=product（kax， kay）］ for （i，j） in product（1:kx， 1:ky）］

ExplodedConvArray{T， typeof（cdims）， eltype（I）}（cdims， I）endfunction NNlib.conv（x：：ExplodedConvArray{《：Any， Dims}， weights：：AbstractArray{《：Any， 4}， cdims：：Dims） where {Dims《：ConvDims} blocks = reshape（［ Base.ReshapedArray（sum（x.x［i，j］*weights［i，j，1，channel］ for i=1:7， j=1:7）， （NNlib.output_size（cdims）。..，1，size（x， 4））， （）） for channel = 1:4 ］，（1，1，4，1）） BlockArrays._BlockArray（blocks， BlockArrays.BlockSizes（［8］， ［8］， ［1，1，1，1］， ［64］））end

注意，如原始代碼所示，這里用 BlockArrays 將 8*8*4*64 的數(shù)組表示成 4 個(gè) 8*8*1*64 的數(shù)組。所以現(xiàn)在，我們已經(jīng)得到了第一個(gè)步驟更好的表征（至少是在未加密數(shù)組上）：

julia》 cdims = DenseConvDims（batch， model.layers［1］.weight; stride=（3，3）， padding=（0，0，0，0）， dilation=（1，1））DenseConvDims： （28， 28， 1） * （7， 7） -》 （8， 8， 4）， stride： （3， 3） pad： （0， 0， 0， 0）， dil： （1， 1）， flip： falsejulia》 a = ExplodedConvArray{eltype（batch）}（cdims， batch）;julia》 model（a）10×64 Array{Float32，2}：［snip］如何將這種表征帶入加密的世界呢？我們需要做兩件事：如何將這種表征帶入加密的世界呢？我們需要做兩件事：

1. 我們想以這樣的方式加密結(jié)構(gòu)體（ExplodedConvArray），以致于對(duì)每個(gè)字段（field）都能得到一個(gè)密文。然后，通過(guò)查詢?cè)摵瘮?shù)在原始結(jié)構(gòu)上執(zhí)行的操作，在加密的結(jié)構(gòu)體上進(jìn)行運(yùn)算，并直接進(jìn)行相同的同態(tài)操作。

2. 我們希望攔截某些在加密的上下文中以不同方式執(zhí)行的操作。

幸運(yùn)的是 Julia 提供了可以同時(shí)執(zhí)行這兩個(gè)操作的抽象：使用 Cassette.jl 機(jī)制的編譯器插件。它是如何起作用的，以及如何使用它，都有些復(fù)雜，本文中不再深入介紹這部分內(nèi)容。簡(jiǎn)言之，你可以定義上下文（即「Excrypted」，然后定義在這樣的上下文中，運(yùn)算是如何起作用的規(guī)則）。例如，第二個(gè)要求可以寫(xiě)成：

所有這一切的最終結(jié)果是，用戶可以以最少的手工工作，寫(xiě)完整個(gè)內(nèi)容：

當(dāng)然，就算經(jīng)過(guò)了以上處理，代碼也不是最優(yōu)的。加密系統(tǒng)的參數(shù)（例如 環(huán)，什么時(shí)候模轉(zhuǎn)換，什么時(shí)候密鑰轉(zhuǎn)換等）表現(xiàn)出了在答案的準(zhǔn)確性、安全性以及性能之間的取舍，而且參數(shù)很大程度上取決于正在運(yùn)行的代碼。一般來(lái)說(shuō)，人們希望編譯器能分析將要運(yùn)行的加密代碼，為給定的安全等級(jí)和所需精度提出參數(shù)建議，然后用戶以最少的人工操作來(lái)生成代碼。

結(jié)語(yǔ)

對(duì)于任何系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，安全地自動(dòng)執(zhí)行任意計(jì)算都是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)，但 Julia 的元編程功能和友好的語(yǔ)法都讓它成為合適的開(kāi)發(fā)平臺(tái)。RAMPARTS 系統(tǒng)已經(jīng)做了一些嘗試，將簡(jiǎn)單的 Julia 代碼編譯到 PALISADE FHE 庫(kù)中。「Julia Computing」正在與 RAMPARTS 背后的專(zhuān)家在 Verona 平臺(tái)上合作，最近已經(jīng)發(fā)布了下一代版本。在過(guò)去的一年中，同態(tài)加密系統(tǒng)的性能才達(dá)到能以實(shí)際可用的速度評(píng)估有趣計(jì)算的程度。一扇嶄新的大門(mén)就此打開(kāi)。隨著算法、軟件和硬件的進(jìn)步，同態(tài)加密必然會(huì)成為保護(hù)數(shù)百萬(wàn)用戶隱私的主流技術(shù)。