開關(guān)轉(zhuǎn)換器動(dòng)態(tài)分析采用快速分析技術(shù)（一）

如果采用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)（mesh-node）分析能很好地求解電路的傳遞函數(shù)，那么立即獲得一個(gè)有意義的符號(hào)公式通常是不可能的，需要額外的工作才能得出。應(yīng)用經(jīng)典的分析技術(shù)來獲得所謂的低熵表達(dá)式–即分?jǐn)?shù)形式，從中您可識(shí)別增益、極點(diǎn)和零點(diǎn)–往往導(dǎo)致如Middlebrook博士曾在他的文獻(xiàn)[1]、[2]中提到的代數(shù)失效（algebraic paralysis）。

在此，快速分析電路技術(shù)（FACTs）可幫助您基于您在大學(xué)里學(xué)到的東西而擴(kuò)展，以大大簡(jiǎn)化分析。通過使用FACTs，不僅加快您的執(zhí)行速度，而且最終結(jié)果將以有序的多項(xiàng)式形式出現(xiàn)，通常無需進(jìn)一步的因子分解工作[3]、[4]。

本文首先介紹后文用于確定開關(guān)轉(zhuǎn)換器的控制到輸出傳遞函數(shù)的FACTs。這個(gè)主題很大，在此我們只談及表面，希望激勵(lì)您進(jìn)一步挖掘這個(gè)主題。我們選擇了電壓模式耦合電感單端初級(jí)電感轉(zhuǎn)換器（SEPIC）工作于非連續(xù)導(dǎo)電模式（DCM）。PWM開關(guān)[5]將用于形成小信號(hào)模型。

01

快速分析技術(shù)(FACTs)簡(jiǎn)介

FACTs背后的基本原理在于電路時(shí)間常數(shù)的確定–t=RC或t=L/R–此時(shí)在兩種不同的條件下觀察所研究的電路：當(dāng)激勵(lì)信號(hào)降至0時(shí)和響應(yīng)清零時(shí)。通過使用這種技術(shù)，您將體會(huì)到確定特定傳遞函數(shù)有多快和直觀。基于這種方法的分析技術(shù)始于幾十年前，如[6]和[7]中記載的。

傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，它把激勵(lì)信號(hào)、激勵(lì)物，和由這種激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)信號(hào)聯(lián)系起來。如果我們考慮一個(gè)線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)無延時(shí)，具有靜態(tài)增益H0–例如開關(guān)轉(zhuǎn)換器的線性理想功率級(jí)-其連接控制信號(hào)Verr（激勵(lì)）和輸出Vout（響應(yīng)）的傳遞函數(shù)H可表示為：

（1）

首項(xiàng)H0是系統(tǒng)在s=0評(píng)估表現(xiàn)出的增益或衰減。該項(xiàng)將帶傳遞函數(shù)的單位（或維度），如果有的話。如果響應(yīng)和激勵(lì)都用伏特表示，在此我們表示為Verr和Vout，H是沒有單位的。分子N(s)控制傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。數(shù)學(xué)意義上，零點(diǎn)是函數(shù)幅值為零的根。通過FACTs，我們用數(shù)學(xué)抽象思維以輕松地揭開這些零點(diǎn)。我們不會(huì)像通常在諧波分析（s=jw）中所做的僅僅考慮在s平面的垂直軸，而是覆蓋考慮到負(fù)數(shù)根的整個(gè)平面。

因此，如果電路存在零點(diǎn)，將表現(xiàn)為當(dāng)輸入信號(hào)調(diào)到零角頻率sz時(shí)無信號(hào)的輸出響應(yīng)。在這種情況下，在變形的電路中的一些阻抗阻擋了信號(hào)傳播，響應(yīng)為零，盡管存在激勵(lì)源：當(dāng)變形的電路在s=sz點(diǎn)被激勵(lì)時(shí)，在信號(hào)路徑的串聯(lián)阻抗趨于無窮或分支將該激勵(lì)分流到地面。

請(qǐng)注意，這種方便的數(shù)學(xué)抽象通過觀察提供了巨大的幫助來找到零點(diǎn)，通常無需寫一行無源電路的代數(shù)。圖1提供了簡(jiǎn)單的流程圖，詳細(xì)介紹了過程。關(guān)于這種方法的更多細(xì)節(jié)見[8]。

圖一

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Bring the excitation signal – the stimulus – back in place：將該激勵(lì)信號(hào) – 激勵(lì)-帶回原處

Null the output：將輸出清零

Identify in the transformed network, one or several impedances combinations that could block the stimulus propagation: a transformed open circuit or a transformed short circuit.：在變形的電路中找到一個(gè)或一些可阻擋激勵(lì)傳播的阻抗組合：一個(gè)變形的開路電路或變形的短路電路

Signal：信號(hào)

To response : 到響應(yīng)

If inspection is not possible, go for a Null Double Injection（NDI）：若觀察無用，則進(jìn)行雙重抵消注入(NDI)

圖1：這個(gè)簡(jiǎn)單的流程圖將指導(dǎo)您用最簡(jiǎn)單的方法確定零點(diǎn)。在觀察無用時(shí)，您將需要進(jìn)行雙重抵消注入或NDI。

分母D(s)由電路自然時(shí)間常數(shù)構(gòu)成。通過設(shè)置激勵(lì)信號(hào)為0和確定從電路中臨時(shí)移除的所考慮的電容或電感“所示”的阻抗，來得出這些時(shí)間常數(shù)。

通過“觀察”，您可想象把一個(gè)歐姆表置于暫時(shí)移除的儲(chǔ)能元件（C或L），并讀取它顯示的電阻。這其實(shí)是個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的運(yùn)用，正如圖2中的第二個(gè)流程圖所詳述的。

圖二

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Count energy-storing elements with independent state variables：計(jì)算具有獨(dú)立狀態(tài)變量的儲(chǔ)能元件

Assume there are two energy-storing element, L1 and C2：假設(shè)有兩個(gè)儲(chǔ)能元件，L1和C2

The denominator follow the form：分母遵循此公式

Open the capacitor, short the inductor, determine the dc gain H0 if it exists：電容開路，電感短路，確定直流增益H0，若H0存在

Reduce the excitation to 0 and determine time constants for b1 and b2：減小激勵(lì)至零，并確定b1和b2的時(shí)間常數(shù)

Determine the resistance Ri driving LI while C2 is open circuited：確定驅(qū)動(dòng)L1而C2 開路時(shí)的阻抗Ri

Determine the resistance Rj driving C2 while LI is short circuited：確定驅(qū)動(dòng)C2 而L1短路時(shí)的阻抗Rj

Sum the time constants：將時(shí)間常數(shù)相加

Determine the resistance Rk driving LI while C2 is short circuited：確定驅(qū)動(dòng)L1而C2 短路時(shí)的阻抗Rk

Determine the resistance Rl driving C2 while LI is open circuited：確定驅(qū)動(dòng)C2 而L1開路時(shí)的阻抗Rl

Choose the simplest combination：選擇最簡(jiǎn)單的組合

圖2：該流程圖解釋了用于確定電路時(shí)間常數(shù)的方法。

看到圖3，是一個(gè)涉及注入源的一階無源電路—該激勵(lì)源—加偏壓于左邊網(wǎng)絡(luò)。輸入信號(hào)Vin通過網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)傳播，形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)Vout。我們感興趣的是導(dǎo)出連接Vout和Vin的傳遞函數(shù)G。

圖三

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The response：響應(yīng)

圖3：確定電路的時(shí)間常數(shù)需要將激勵(lì)源設(shè)為0，并看看從電路中暫時(shí)移除的能量存儲(chǔ)元件所提供的電阻。

為確定本例電路的時(shí)間常數(shù)，我們將激勵(lì)源設(shè)為0（由短路代替0V電壓源，開路代替0A電流源），拆下電容器。然后，我們連接一個(gè)歐姆表來確定電容器端提供的電阻。圖4指導(dǎo)您進(jìn)行這些步驟。

圖四

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The excitation is set to 0：激勵(lì)源設(shè)為零

For example：例如

圖4：由短路代替0V源后確定電容器端的電阻。

如果用圖4的做法，您“看到” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián)，所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時(shí)間常數(shù)只通過R和C1即可計(jì)算得出：

（2）

我們可證明第一階系統(tǒng)的極點(diǎn)是其時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。因此：

（3）

現(xiàn)在，s=0時(shí)該電路的準(zhǔn)靜態(tài)增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應(yīng)用于圖3的電路，繪制成如圖5所示。想象在R4前斷開連接，會(huì)看到一個(gè)含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為：

（4）

輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開的，由于電容C1在這直流分析中被移除。因此：

（5）

圖五

圖5：您斷開直流電路中的電容器，計(jì)算這簡(jiǎn)單的電阻配置的傳遞函數(shù)。

基本就是這些了，我們正錯(cuò)過零點(diǎn)。我們?cè)谇拔奶岬?，零點(diǎn)通過阻斷激勵(lì)信號(hào)的傳播而在電路中表現(xiàn)出來，產(chǎn)生一個(gè)無信號(hào)的輸出響應(yīng)（見圖1）。

若我們考慮一個(gè)變形的電路–其中C1由代替–如圖6，當(dāng)激勵(lì)源加偏壓于電路，有什么特定的條件意味著無信號(hào)響應(yīng)？無信號(hào)響應(yīng)只意味流過R3的電流為0。這不是短路，而是相當(dāng)于虛擬的接地。

圖六

圖6：在這變形的電路中，當(dāng)串聯(lián)的rC和C1轉(zhuǎn)化為變形的短路，響應(yīng)消失，R3中無電流流過。

如果在R3中沒有電流，那么串聯(lián)的rC和轉(zhuǎn)化為短路：

（6）

根sz是我們想要的零點(diǎn)位置：

（7）

從而有：

（8）

現(xiàn)在我們可組合所有這些結(jié)果，形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù)：

（9）

這就是所謂的低熵表達(dá)式，從中您可立即識(shí)別靜態(tài)增益G0、極點(diǎn)wp和零點(diǎn)wz。高熵表達(dá)式將在考慮阻抗分壓器時(shí)通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得，如：

（10）

您不只在推導(dǎo)表達(dá)式時(shí)可能會(huì)出錯(cuò)—而且將結(jié)果格式化到像（9）這樣需要更多的精力。另外，請(qǐng)注意，在這特定的例子中，在寫（9）時(shí)我們沒有寫一行代數(shù)。如果我們后來發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，那么很容易回到一個(gè)單獨(dú)的圖紙并單獨(dú)修復(fù)它。（9）的校正很簡(jiǎn)單?，F(xiàn)嘗試對(duì)（10）進(jìn)行相同的修正，您可能會(huì)從頭開始。

02

FACTs應(yīng)用于二階系統(tǒng)

FACTs同樣適用于n階無源或有源電路。通過計(jì)算狀態(tài)變量是獨(dú)立的儲(chǔ)能元件的數(shù)量來確定電路的階數(shù)。若我們考慮一個(gè)具有有限的靜態(tài)增益H0的二階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可表示如下：

（11）

當(dāng)H0帶傳遞函數(shù)的單位，那么N:D的比值是沒有單位的。這意味著a1和b1的單位是時(shí)間[s]。當(dāng)a1無信號(hào)響應(yīng)，b1的激勵(lì)源為零，您將確定的時(shí)間常數(shù)相加。

對(duì)于二階系數(shù)，a2或b2，維度是時(shí)間的平方[s2]，你將時(shí)間常數(shù)結(jié)合為一個(gè)產(chǎn)物。然而，在這時(shí)間常數(shù)產(chǎn)物中，您重用了已經(jīng)確定為a1或b1的一個(gè)時(shí)間常數(shù)，而二階時(shí)間常數(shù)的確定需要一個(gè)不同的符號(hào)：

（12）

在這個(gè)定義中，您設(shè)置標(biāo)號(hào)出現(xiàn)在“冪” 中的儲(chǔ)能元件處于高頻狀態(tài)（電容被短路，電感被開路），當(dāng)我們暫時(shí)從電路中移除二階元件端（參見下標(biāo)），您可從中確定電阻。當(dāng)a2必須為無信號(hào)的輸出和b2的激勵(lì)源減為0時(shí)，您可運(yùn)用此法。

當(dāng)然，當(dāng)觀察有用時(shí)，它總是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有點(diǎn)難以理解，但沒有什么不可克服的，我們用幾句話解釋您就會(huì)明白。

圖七

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Voltage-mode：電壓模式

Small-signal mode：小信號(hào)模式

圖7：工作于CCM的降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗的確定是一個(gè)很好的例子，演示了FACTs如何簡(jiǎn)化分析。

圖7是一個(gè)經(jīng)典的二階濾波器，用于確定在連續(xù)導(dǎo)通模式（CCM）中工作的電壓模式降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個(gè)激勵(lì)信號(hào)Iout與響應(yīng)信號(hào)Vout的一個(gè)傳遞函數(shù)。

此處，Iout是我們已安裝的測(cè)試生成器，而Vout是其兩端產(chǎn)生的電壓。要從（11）中確定各種系數(shù)，我們可按照?qǐng)D2的流程圖，從s = 0開始：如圖所示，電感短路，電容開路。該電路是簡(jiǎn)單的，電流源的電阻R0不過是rL和Rload簡(jiǎn)單的并列組合：

（13）

這個(gè)電路中有零點(diǎn)嗎？我們看看圖8所示的變形電路。我們看看當(dāng)激勵(lì)源電流Iout調(diào)為零角頻率sz時(shí)，什么樣的元件組合將使響應(yīng)Vout為零。我們可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變形的短路涉及rL–L1和rc–C2。

圖八

圖8：如果阻抗Z1或Z2轉(zhuǎn)換為短路，響應(yīng)Vout為無信號(hào)輸出。

立即確定這兩個(gè)阻抗的根：

（14）

（15）

因此分母N(s)表示為

（16）

分母D(s)的一階系數(shù)b1是由L1兩端的阻抗提供，而C2處于直流狀態(tài)（開路）：有t1。然后看驅(qū)動(dòng)C2而L1設(shè)置為直流狀態(tài)（短路）時(shí)的阻抗：得出t2。如圖9所示，從該草圖可立即得出b1的定義：

（17）

圖九

圖9：在選定的組件終端中，當(dāng)?shù)诙€(gè)組件處于直流狀態(tài)時(shí)，您會(huì)得出阻抗為多少？

二階系數(shù)b2是用（12）中引入的符號(hào)來確定的。L1設(shè)置在其高頻狀態(tài)（開路），驅(qū)動(dòng)C2以得到的阻抗，C2處于高頻狀態(tài)（短路），則驅(qū)動(dòng)L1而得到的阻抗。圖10顯示了兩種可能的整理結(jié)果。

您通常選擇最簡(jiǎn)單的表達(dá)式，或避免不確定性的一個(gè)，如果有的話(如∞×0或∞/∞)。下面對(duì)于b2的兩個(gè)定義是相同的，您看上面的是最簡(jiǎn)單的：

（18）

現(xiàn)在我們有所有的成分來組合最終的傳遞函數(shù)，定義為：

（19）

我們已經(jīng)確定了這個(gè)傳遞函數(shù)，而沒有寫一行代數(shù)，只是拆分該電路為幾個(gè)簡(jiǎn)單的草圖個(gè)別解決。

此外，正如預(yù)期的那樣，（19）已經(jīng)是一個(gè)規(guī)范的表達(dá)式，您可輕易的看到一個(gè)靜態(tài)增益、兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)可用一個(gè)諧振分量w0和一個(gè)品質(zhì)因數(shù)Q進(jìn)一步整理的二階分母。如果不是迅速考慮Z1、Z2 和Rload的并聯(lián)組合，我們不可能得到這一結(jié)果。

圖十

圖10：在選定的組件終端中，當(dāng)?shù)诙€(gè)組件處于高頻狀態(tài)時(shí)，您會(huì)得出阻抗為多少？

采用FACTs，通過觀察可導(dǎo)出傳遞函數(shù)，特別是對(duì)于無源電路。由于電路復(fù)雜，包括電壓或電流控制源，觀察起來沒那么明顯，您需要利用經(jīng)典的網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)分析。但FACTs提供了幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：由于您將電路拆分為用于確定最終的多項(xiàng)式表達(dá)式系數(shù)的小的單個(gè)草圖，因此如果在最終的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤，您總是可以回到一個(gè)特定的繪圖并個(gè)別修正。

此外，當(dāng)您確定與傳遞函數(shù)的ai和bi相關(guān)的項(xiàng)時(shí)，您自然會(huì)得到一個(gè)多項(xiàng)式表達(dá)式，而不用投入進(jìn)一步的精力來收集和重新排列這些項(xiàng)。最后，如[4]所示，在復(fù)雜的無源和有源電路中，SPICE對(duì)驗(yàn)證個(gè)別極點(diǎn)和零點(diǎn)的計(jì)算有很大幫助。