為什么電容、電感的阻抗表達(dá)式要用虛數(shù)？

為什么在傅立葉變換中要有虛數(shù)？

為什么在濾波器的傳遞函數(shù)中會出現(xiàn)虛數(shù)？

最初遇到“虛數(shù)”的概念是在高中數(shù)學(xué)中，我大概將它看成一維（實(shí)數(shù)）到二維的擴(kuò)展。書上也就是畫成兩個坐標(biāo)軸來表示復(fù)數(shù)嘛。那么，為什么只有一個虛數(shù)單位 i， 沒有再定義一個更高級的復(fù)數(shù)來描述三維空間呢？從來沒想過。

大學(xué)學(xué)了高等代數(shù)，補(bǔ)充了復(fù)數(shù)域，多項(xiàng)式這些知識后大概知道為什么要發(fā)明出復(fù)數(shù)來補(bǔ)充實(shí)數(shù)的不足了。至于維數(shù)的擴(kuò)展，也不是復(fù)數(shù)的用途。再后來，學(xué)了傅立葉變換之后，我對為什么要用復(fù)數(shù)來表示信號仍然沒有理解。數(shù)學(xué)上這沒有問題，數(shù)學(xué)是對世界的一種描述，是抽象出來的，又如直線、空間等等概念也是抽象出來的。但現(xiàn)實(shí)世界里面的物理量，電流電壓都是實(shí)際存在的，哪來的虛部呢（別扯到量子物理，不在電子工程討論范圍）？ 更后來修《小波分析》課的時候，有個同學(xué)在課間問了這個問題，老師說的是“采兩個信號”的意思。可是，畢竟復(fù)信號和二維信號不是一個處理方法呀。

自學(xué)了些電路基礎(chǔ)，我才發(fā)現(xiàn)在電路里面用虛數(shù)是提供了很大的方便。如果不用虛數(shù)，就沒法對電容、電感使用歐姆定律了。

借用了虛數(shù)，將電感、電容中的電抗成分（就是和純電阻不一樣的那個交流特性）計(jì)成歐姆單位

然后，歐姆定律、戴維南定理等等都可以照樣用了，甚是方便，只不過把電壓、電流也要換成復(fù)數(shù)了。

什么，電壓能有個虛部？示波器能看到這個虛部嗎？

反過來看，若不引入虛數(shù)的話，怎么處理電路中的電感和電容呢？那必然是要使用微分方程、積分方程來表達(dá)電壓和電流的關(guān)系。的確不方便啊，求解穩(wěn)態(tài)電路這樣就費(fèi)太多工夫了。借助拉普拉斯變換工具，看輸入和輸出關(guān)系的話，就又出來虛數(shù)了。

交流電是隨時間變化的，若用正弦函數(shù)來表達(dá)，u=Asin（ωt+θ） 就包含了幅度、頻率和相位三個量。電容和電感會改變交流電的相位，因此在分析頻率特性的時候，僅用幅度描述是不夠的。虛數(shù)因?yàn)榭梢员硎緸榉岛拖嘟堑男问?，剛好可以刻畫交流電輸入和輸出的關(guān)系。

說到底，這還是一個數(shù)學(xué)工具在解釋世界。正弦波就正弦波嘛，一定要虛數(shù)么？Euler 公式

看起來很漂亮，但是對交流信號，那個憑空整出來的虛部又是什么意思？電場能是實(shí)部，磁場能是虛部？不對。

畢業(yè)數(shù)年以后，我對這個疑問的解釋是如下這樣：

世界有兩種最基本的運(yùn)動形式：一種是勻速直線運(yùn)動，一種是勻速圓周運(yùn)動（轉(zhuǎn)動）。轉(zhuǎn)動就有了半徑、周期。如果認(rèn)為勻速直線運(yùn)動是一種恒定狀態(tài)，那么勻速轉(zhuǎn)動也屬于恒定的——周而復(fù)始，你只要知道了它的無限短的一段時間的運(yùn)動，就能知道它的過去和未來。

也就是說，一個單一頻率的信號是可以用一個恒定轉(zhuǎn)速的圓周運(yùn)動來代表的。

在平面上看這個圓周運(yùn)動，它的軌跡是一個圓。

如果增加一個時間維度，想象一下，看起來是什么樣子？

一圈一圈的螺線，對了吧，沿著時間軸方向的。

再側(cè)過來一些看，更清楚一點(diǎn)：

再換個角度：

當(dāng)垂直于時間軸去“看”這個圓周運(yùn)動的時候，看到什么呢？

正弦型??！ 換個角度也可以看到是這樣的：

注意，正弦函數(shù)的相位發(fā)生了變化。

當(dāng)我們觀察到一個正弦形的信號（電壓、電流，也可以是其它的物理量），所觀察到的認(rèn)為是它的實(shí)部。假設(shè)（用腦補(bǔ)一下）這個信號其實(shí)是一個在轉(zhuǎn)動的信號，它還有一個對應(yīng)的虛部看不見。 正弦信號經(jīng)過一個線性系統(tǒng)（黑盒子）出來之后，除了轉(zhuǎn)動半徑（幅度）可能發(fā)生改變外，轉(zhuǎn)角也會發(fā)生偏移，于是被我們觀察到的波形也產(chǎn)生了相位差。隨著我們觀察角度的不同，初始相位也可以不同，但是輸入和輸出的相位差是穩(wěn)定的。

總結(jié)：能夠被觀察到的信號是實(shí)的，然而在補(bǔ)充了一個不存在的虛部之后，信號從來回振蕩的形式變成了更簡單更基本的圓周運(yùn)動。復(fù)雜的信號也可以分解為很多乃至無窮多個圓周運(yùn)動的疊加，我們總是從某個固定的角度去觀察的。在描述兩個同頻的圓周運(yùn)動的相對關(guān)系（比如輸入和輸出）時，使用虛數(shù)可以更方便地表達(dá)幅度和相角的差異。

編輯：hfy