使用聯(lián)想鏈條和幾何直觀，輔以從實(shí)際需求衍生概念的思考模式，詳解什么是傅立葉變換，為什么要做傅立葉變換等，幫助記憶和理解，目的當(dāng)然是標(biāo)題所說：讓你永遠(yuǎn)忘不了傅里葉變換這個(gè)公式。另，這篇博客還從側(cè)面一定程度上回答了另一個(gè)問題：為什么要研究復(fù)數(shù)

本篇博客為形象展示傅里葉變換和歐拉公式與初等群論兩個(gè)視頻的筆記結(jié)合，希望通過此篇讓所有讀者對傅立葉變換有一個(gè)全新的認(rèn)知，并且宣傳一波 3b1b 良心視頻系列！重塑對未知和知識(shí)的渴求

知乎相關(guān)問題鏈接，小伙伴們求點(diǎn)贊！沒有功勞也有苦勞?。?/p>

歐拉公式與旋轉(zhuǎn)

在開始一步一步接近【傅立葉變換】前，先說一下群論 提前說明，此部分有地方會(huì)提到【群論】這個(gè)概念，但博主并不是要試圖把什么環(huán)、域、向量空間、代數(shù)結(jié)構(gòu)、線性代數(shù)群、李群等等一大堆很抽象的概念灌輸給大家，我們只是為了利用群論的概念，加深或者說建立一個(gè)對【理解傅立葉變換】極度有幫助的直觀概念：指數(shù)函數(shù)（逆操作對數(shù)函數(shù)同理）是加法和乘法運(yùn)算的橋梁，在自變量包含復(fù)數(shù)時(shí)表示旋轉(zhuǎn)。 以具體的一個(gè)例子來說: e^(πi)表示的是在單位圓上逆時(shí)針在旋轉(zhuǎn)180°這個(gè)變換。 等等，這不是排行世界上最偉大的十個(gè)公式第二名的歐拉公式（上帝公式）嘛？（BTW，我們今天的主角【傅立葉變換】排行第七，這陣容著實(shí)強(qiáng)大）

是的，這第一部分，捎帶，會(huì)帶你更進(jìn)一步的重新認(rèn)識(shí)這個(gè)公式的偉大

對稱性 symmetry

首先，假設(shè)我們有以下陳述：正方形是對稱圖形 那么從數(shù)學(xué)（定義 or 公式）角度上來說，怎么描述【對稱】這個(gè)概念呢？我們作為【人】，肯定會(huì)想，不就是看著左右一樣嘛？不夠嚴(yán)謹(jǐn)，不夠優(yōu)雅，繼續(xù)深入，可以這么考慮： 你能對正方形做些什么，并且在這個(gè)操作后，保持正方形的形態(tài)和操作前相同我們把具有上述性質(zhì)的操作都列出來，放在mi一起，如下面動(dòng)圖所示（左右旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)180°，四個(gè)軸對稱，不變，這八個(gè)操作），就構(gòu)成了一個(gè)有限群【對稱群】，更專業(yè)的叫法是【八階二面體群 Dihedral group of order 8】

有了上面的直觀理解，還有一個(gè)無限群需要了解，即【旋轉(zhuǎn)群】，表示的是所有旋轉(zhuǎn)操作，當(dāng)然，因?yàn)榻嵌瓤梢詿o限細(xì)分，這個(gè)操作也是無限的，比如：順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 此時(shí)，能總結(jié)出一個(gè)巧合的現(xiàn)象，按照順序進(jìn)行上面8個(gè)操作的某兩個(gè)，恰好等同于8個(gè)操作中的其他的某一個(gè)（旋轉(zhuǎn)群同理），如下面的動(dòng)圖所示，把這些組合放到一起，才真正的表達(dá)了【群】這個(gè)概念

很多不同的概念都能從對稱性和對稱性的符合構(gòu)建得到，如下圖所示，其中，數(shù)字本身有兩種表達(dá)方式（操作），加法和乘法

對于【數(shù)】這個(gè)集合來說，加法對應(yīng)數(shù)軸的平移變換（一個(gè)操作），乘法對應(yīng)著數(shù)軸的伸縮變換（一個(gè)操作） 把這個(gè)數(shù)軸的概念拓展到平面坐標(biāo)系，1D ? 2D。如果我們要把一個(gè)點(diǎn)，比如（1,0）移動(dòng)到另一個(gè)點(diǎn)，應(yīng)該如何操作？簡單的說，只需要先在橫軸方向上平移，再在縱軸方向上平移即可（核心思想類比于正方形的幾個(gè)操作） 同理，除了平移外，使用伸縮加旋轉(zhuǎn)也可以完成同樣的事情（將任意一點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)位置），伸縮是乘法顯而易見，但是旋轉(zhuǎn)怎么表示呢？（當(dāng)然直接改變坐標(biāo)軸的定義也是能做到的，例子就是極坐標(biāo)系，但我們并不想這么做），我們構(gòu)造以下思考鏈條：

考慮一個(gè)特例操作：一個(gè)點(diǎn)變到另一個(gè)點(diǎn)：（1,0）通過伸縮和旋轉(zhuǎn)到（-1,0），長度不用變，只需旋轉(zhuǎn)即可

此時(shí)，注意到了一個(gè)形式很有特點(diǎn)的定義：，-1 就是我們需要的目標(biāo)位置，那如何從（1,0）出發(fā)進(jìn)行兩次同樣的操作可以得到（-1,0）呢？（這個(gè)操作即?ii?這個(gè)虛數(shù)單位定義的操作）答案即：一個(gè)單位?ii?表示旋轉(zhuǎn)90°即可

更意外的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)行一次ii操作，如果是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，正好會(huì)落在二維平面y軸的（0,1）與單位長度不謀而合

更大膽的假設(shè)，如果y軸自帶虛數(shù)單位，如，就有旋轉(zhuǎn)操作了，是不是就就能通過乘法來描述處在這個(gè)平面上的所有變換了

以上都是假設(shè)和推理，剝絲抽繭后，最關(guān)鍵的部分：如何使用單位i表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并且給出了一種可能的映射規(guī)則，x軸平移表示伸縮，y軸平移表示旋轉(zhuǎn)，這樣就可以保證群的特性？（幾種操作一定可以組合成其他某個(gè)操作，有一個(gè)學(xué)名：保持群結(jié)構(gòu)）i怎么可能表示旋轉(zhuǎn)呢？怎么看都像啊，此時(shí)陷入了死胡同，不妨換個(gè)角度來思考，旋轉(zhuǎn)到底是什么？旋轉(zhuǎn)，是沿著一個(gè)圓?。ㄓ袌A心，轉(zhuǎn)過的角度）運(yùn)動(dòng)的過程 如果你對泰勒公式非常熟悉，就可以通過一系列公式推導(dǎo)得到一個(gè)完美橋梁：【指數(shù)函數(shù)】，形如 如果底數(shù) a=e ，通過泰勒展開式，可以完成一個(gè)十分優(yōu)美的變形，如下：

將 x=iθ帶入（1）式（這里的 θ是一個(gè)未知數(shù)，即自變量），整理項(xiàng)，移動(dòng)，結(jié)合 cos(x) 和sin(x) 的泰勒展開式，還有虛數(shù)單位的定義 i=?1×?1 ， 有下列推導(dǎo)：

這個(gè)公式有什么用呢？可視化后，如下圖所示

假設(shè)縱坐標(biāo)自帶虛數(shù)單位 i （復(fù)平面），那么，sin(θ)為縱坐標(biāo)（自帶虛數(shù)單位 i ），cos(θ)為橫坐標(biāo)，則可以發(fā)現(xiàn)：e^(iθ)表示一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的單位圓（圖中是 α ，因?yàn)樽鲌D軟件的限制，換不成 θ ，但不影響） e^(iθ)這個(gè)公式等價(jià)于一種旋轉(zhuǎn)，θθ為旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)（統(tǒng)一單位，弧度制，即把°轉(zhuǎn)換成實(shí)數(shù)）θ=2π即為360°，是單位圓 我們已經(jīng)優(yōu)雅的找到了這個(gè)橋梁，接下來仔細(xì)研究一下它意味著什么

指數(shù)函數(shù) Exponentiation

指數(shù)函數(shù)有一個(gè)非常重要的特性：加法變乘法，即 也就是說通過指數(shù)函數(shù)，可以做到使用平移變換來描述伸縮變換，這具體是什么意思呢？參考下面的動(dòng)圖

上方的數(shù)軸，表示的是平移變換-1（左移一個(gè)單位） 和 2（右移兩個(gè)單位）（加法），下方的數(shù)軸將兩個(gè)數(shù)作為輸入，代入到一個(gè)指數(shù)函數(shù)中，對于函數(shù)來說，這個(gè)輸出值，就是兩次伸縮變換?（乘法），一次是收縮為原來的?，另一次是拉伸成原來的?倍 ? 注意，所謂可以變的意思是說，加法運(yùn)算可以成立，意味著先往左平移1單位，再往右平移一單位，組合起來的左右就是往右平移一到位（-1+2=1, 群論的保持結(jié)構(gòu)特性) ,? 而乘法運(yùn)算成立也要滿足這個(gè)特性?? ?

復(fù)平面 Complex Plane

至此，構(gòu)造復(fù)平面，把虛數(shù)單位ii加到縱軸上。我們就同時(shí)擁有了伸縮和旋轉(zhuǎn)，最關(guān)鍵的是，有了這兩個(gè)操作，我們同時(shí)也可以維持的群的特性（使用乘法） 如下面動(dòng)圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，以指數(shù)函數(shù)為橋梁，實(shí)軸橫向平移對應(yīng)伸縮，虛軸縱向平移對應(yīng)旋轉(zhuǎn)

橫坐標(biāo)紅線，橫向平移映射到伸縮操作的可視化 縱坐標(biāo)虛數(shù)單位，縱向平移映射到旋轉(zhuǎn)操作的可視化，正為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 現(xiàn)在使用的橋梁是底數(shù)為2的指數(shù)函數(shù)，我們知道e^(πi)代表的半個(gè)圓周，我們希望把底數(shù)變成?e ,?這樣更加方便表達(dá)圓的概念 每走一個(gè)單位的縱向位移，在圓周上旋轉(zhuǎn)的圓弧長度就是1，參照下面的動(dòng)圖，e^(πi)?恰好代表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，并且落在的位置為（-1,0），這就是歐拉公式，或者說是歐拉公式的幾何直觀可視化

總結(jié)

這第一部分到底干了啥？其實(shí)就是想建立一個(gè)觀念（或者說常識(shí)）e^x 在復(fù)平面，或者說 x=ai（a為某個(gè)常數(shù)，就是弧度制的圓周長度）代表的變換是：旋轉(zhuǎn)如果你之前學(xué)過傅立葉變換，那么會(huì)明白為什么需要花費(fèi)這么大篇幅來講這個(gè)，因?yàn)楣街校?e^(iπ)那是可是相當(dāng)重要的一部分啊

傅里葉變換

正式進(jìn)入傅立葉變換的部分，老規(guī)矩，先做一下基本信息整理

什么是傅立葉變換

首先，還是先弄清楚我們理解的目標(biāo)是什么 傅立葉變換（如果不加限定，這個(gè)詞對應(yīng)的是連續(xù)傅立葉變換）
傅立葉級數(shù) 傅立葉變換還有很多其他的內(nèi)容：離散時(shí)間傅立葉變換，離散傅立葉變換，傅立葉逆變換，快速傅立葉變換等，進(jìn)一步的拉普拉斯變換，小波變換，z變換等

[ 公式表示 ]

傅立葉變換，變換作用是時(shí)域映射到頻域，公式是長這樣的：

很多時(shí)候，這里的會(huì)寫成 F(w) 或 F(f) 表示角速度或者頻率，當(dāng)然后面的公式的量綱也需要對應(yīng)的修改；后面的自變量 x 大多數(shù)時(shí)候都是寫成 t 表示時(shí)間。當(dāng)然，他們表示的都是同一個(gè)東西 ?

[ 聯(lián)想鏈條 ]

既然是為了【理解】和【記憶】，那么我們還是需要定義一個(gè)聯(lián)想鏈條： 傅立葉變換 ? 分解聲音的過程 這么抽象實(shí)在是因?yàn)椴鹱址ㄕ娴暮茈y聯(lián)想出什么東西來（傅里葉？變換？嗯，很難的樣子），只能這樣了。 接下來就是精華部分：3b1b的傅立葉變換講解內(nèi)的核心內(nèi)容！在筆記完成后，會(huì)給出結(jié)合直觀理解的完整聯(lián)想鏈條，目的當(dāng)然是【讓你永遠(yuǎn)忘不了】嘍，點(diǎn)題！

【看到】傅立葉變換

[ 聲音的表示 ]我們是如何記錄聲音的呢？如果你測量的是揚(yáng)聲器旁的氣壓，那么它會(huì)是一個(gè)隨時(shí)間以正弦函數(shù)形態(tài)不斷震蕩的圖像，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)音 A（下圖黃色），它的頻率是440Hz，表示每秒鐘振動(dòng)440次，比它低一些的D（下圖紫紅），是294Hz，振動(dòng)的慢一些。如果這兩個(gè)音同時(shí)發(fā)出，產(chǎn)生的氣壓隨時(shí)間曲線怎么決定呢？如下動(dòng)圖，其實(shí)就是把所有時(shí)間點(diǎn)的振幅加起來

那么如果給你隨意一段隨時(shí)間變化的氣壓曲線，你如何找到這些原有的組成音符呢？這就是我們的目的，參考下面的動(dòng)圖，感覺有點(diǎn)像是把一盤混好的原料分成組成它的單獨(dú)的顏色，感覺不那么容易吧？

下面就需要一步一步把這件事情做出來[ 可視化方法]首先，假設(shè)我們有一個(gè)每秒鐘3拍子的聲音信號（440Hz實(shí)在太快了），它的圖像如下（Intensity為強(qiáng)度，可以同理成氣壓），并且，我們只關(guān)注前面的4.5秒（即圖像中畫出來的部分）

1. 繞圈記錄法：同一事物的不同角度

千萬不要眨眼！下面是最關(guān)鍵的一步，是【看到】傅立葉變換的核心部分，如下面動(dòng)圖所示

首先把黃色曲線纏繞到一個(gè)圓上，大小就是原本信號的振幅

圓周圍的圖像由白色的箭頭繪制而成，速度可變，上圖中的白色箭頭移動(dòng)速度是每秒鐘轉(zhuǎn)過半圈（這個(gè)速度是對于下面的圓形圖像來說，每秒鐘在圓形圖像中轉(zhuǎn)半圈），對應(yīng)上面的則是虛線表示一圈走到的位置，0.5拍子/秒

此時(shí)，有兩個(gè)頻率在起作用，一個(gè)是信號的頻率：3次震蕩/秒，另一個(gè)是圖像纏繞中心圓的頻率，為0.5圈/秒，第二個(gè)頻率可以自由改變，相當(dāng)于一個(gè)變量，下面的動(dòng)圖直觀的展現(xiàn)了纏繞速度變化時(shí)的可視化表現(xiàn)

從最開始的 0.79圈/秒（注意這里的速度是指繞單位圓的白色箭頭的滑動(dòng)速度）一直變化到1.55圈/秒，再到最后的恰好是3圈/秒，和原來的信號3拍/秒相同，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)非常穩(wěn)定的圖像，我們可以理解成，同步，這個(gè)繞圈圖像記錄了原信號的幅值變化并且每一圈都相同（周期性） 其實(shí)，我們只是把一個(gè)水平的軸纏繞到一個(gè)單位圓上，并用另一個(gè)速度的記錄標(biāo)尺（白色箭頭）來畫圖，從另一個(gè)角度（維度）來看我們的信號

2. 質(zhì)心記錄法：新維度的特征提取

雖然新圖像挺好看的，但是現(xiàn)在感覺并沒法從中看出什么。也不盡然，我們直觀的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)白色箭頭記錄的速度在某些特定的值時(shí)，畫出來的圖形非常穩(wěn)定，形態(tài)清晰。那如何表現(xiàn)這個(gè)特征呢？ 從兩個(gè)角度來思考 （1）自變量是什么？（輸入特征） 輸入是一個(gè)可變化的轉(zhuǎn)圈速度，既然可變，不妨把它看作自變量，即f(x)中的x （2）輸出（新的圓圈圖）有什么特征？（輸出特征） 觀察到，當(dāng)圖像很混沌（沒有規(guī)律，混亂的）時(shí)候，圖像基本關(guān)于原點(diǎn)對稱；穩(wěn)定時(shí)，其實(shí)是“頭重腳輕”的。描述“頭重腳輕”最好的方法當(dāng)然是用【質(zhì)心】（它描述了物體的空間分布特征） ，下面的動(dòng)圖直觀展現(xiàn)了質(zhì)心特征對圖像特征的描述能力（紅色點(diǎn)為質(zhì)心）

考慮到質(zhì)心其實(shí)是一個(gè)二維坐標(biāo)，這里為了簡潔和直觀，取質(zhì)心的橫坐標(biāo)來表示質(zhì)心的特征 【輸入（橫坐標(biāo)）】?【進(jìn)行采樣的（白色箭頭）的繞圈速度】 【輸出（縱坐標(biāo)）】?【圓圈圖的質(zhì)心位置的橫坐標(biāo)】 按照上面的說明來記錄繪出圖像，記錄每個(gè)纏繞頻率（速度）對應(yīng)的質(zhì)心位置，參看下列動(dòng)圖，隨著圖像的繪制到3圈/秒這個(gè)位置的時(shí)候，是不是感到似曾相識(shí)呢？

我們可以看到，新圖像的橫坐標(biāo)寫的是【頻率 Frequency】，即纏繞圓圈的記錄速度，所以強(qiáng)烈建議看到頻率，想起速度，并且抽象為圍著圓圈跑的速度（個(gè)人感受，對理解【頻率】的概念有助益） 好！有了這個(gè)工具，先把它應(yīng)用到兩個(gè)聲音的組合圖像中看看效果：（這是我最喜歡的一張動(dòng)圖）

什么？還是沒看清上面的振動(dòng)圖像如何變成圓圈圖的？看下面的動(dòng)圖，纏繞圓圈速度為2圈/秒的白色箭頭將時(shí)間信息映射到圓圈圖中的的可視化。再次重復(fù)，白色箭頭以一定的速度（頻率，一秒幾圈）在上圖中向右橫移，同時(shí)，在下面的單位圓內(nèi)被轉(zhuǎn)換成類似鐘表指針移動(dòng)的圓圈運(yùn)動(dòng)，并記錄振幅，畫出圖像

BTW，圖形的一部分有點(diǎn)像動(dòng)畫EVA中某個(gè)使徒的臉，帶給人一種詭異的儀式感。數(shù)學(xué)之令人敬畏，可能在這一刻熠熠生輝，刺的人睜不開眼[ 公式表示 ]大家也發(fā)現(xiàn)了，我們已經(jīng)通過這樣一個(gè)纏繞機(jī)器完成了時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換，總得來說，參看下面的動(dòng)圖

這是一種【近傅立葉變換】，為什么是【近】，后面會(huì)提到。先考慮，那如何數(shù)學(xué)語言表達(dá)這個(gè)【轉(zhuǎn)圈記錄機(jī)制（工具 or 機(jī)器）】呢？

第一步：旋轉(zhuǎn)的表示

如下面的動(dòng)圖所示，在這個(gè)工具中，非常關(guān)鍵的就是轉(zhuǎn)圈，即表達(dá)旋轉(zhuǎn)這種運(yùn)動(dòng)，根據(jù)第一大部分，這個(gè)橋梁，就是復(fù)平面，其背后的原理是指數(shù)函數(shù)結(jié)合泰勒公式

更進(jìn)一步，指數(shù)函數(shù)中，以ee為底的函數(shù)有著特殊的性質(zhì)，如下面動(dòng)圖所示，ππ單位的就表示一個(gè)單位圓的360°旋轉(zhuǎn)，則表示的就是一秒鐘一圈的旋轉(zhuǎn)方程，感覺速度有點(diǎn)太快了，所以加一個(gè) f?頻率，控制旋轉(zhuǎn)的速度?，圖中為?1/10 , 合起來表示一秒鐘十分之一圈

第二步：纏繞的表示

首先，依據(jù)下面的動(dòng)圖所示，在傅立葉變換中，我們規(guī)定旋轉(zhuǎn)是順時(shí)針的（規(guī)定只是為了統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，并且有時(shí)候也會(huì)考慮書寫簡潔和方便計(jì)算），所以先加一個(gè)負(fù)號。假設(shè)原來的函數(shù)是g(t)，將兩者的幅值相乘就能得到纏繞圖像，，可以說是相當(dāng)機(jī)智了！

第三步：質(zhì)心的表示

那如何表示質(zhì)心這一概念呢？粗略想一下感覺挺難的，但是看起來很難的問題，有一種解決問題的途徑是【演繹推理】，先從簡單的特例出發(fā)，推廣到一般，最后證明正確性即可 考慮如何求一個(gè)正方形的質(zhì)心位置，我們只需在邊框上取n個(gè)等距離分布的點(diǎn)，并且算這幾個(gè)點(diǎn)的位置的平均值。那么推廣到一般情況，也使用類似的采樣點(diǎn)的方式解決，如下面動(dòng)圖所示（紫紅色的點(diǎn)即采樣點(diǎn)），得到

隨著采樣點(diǎn)的增加，需要使用積分來求解這個(gè)問題，如下面動(dòng)圖所示，得到

最終步：整理積分限和系數(shù)

看到常數(shù)項(xiàng)系數(shù)，如果忽略表達(dá)倍數(shù)關(guān)系的系數(shù)，對應(yīng)的含義也會(huì)發(fā)生變化，不再是質(zhì)心，而是信號存在的時(shí)間越久，位置是質(zhì)心位置乘以一個(gè)倍數(shù)，它的值就越大。參看下面的動(dòng)圖，持續(xù)時(shí)長為3秒，那么新的位置就是原來質(zhì)心位置的三倍；為6秒，就是原來的6倍

而去掉系數(shù)的幾何直觀動(dòng)圖變?yōu)椋t色箭頭為去掉系數(shù)后的長度表示），最本質(zhì)的區(qū)別是：可以使得最后繪制的圖像更集中在對應(yīng)的頻率的附近，或者說在對應(yīng)的頻率位置的值更大

繼續(xù)考慮上下限。我們知道，一般傅立葉變換公式的上下限是正負(fù)無窮，那它的幾何直觀是什么呢？參看下面動(dòng)圖，其實(shí)就是看看信號持續(xù)時(shí)間無窮大是什么樣子的

說實(shí)話，這個(gè)動(dòng)圖解答了我大學(xué)時(shí)代的一個(gè)疑惑，音樂文件不都是有時(shí)間長度的嘛，我就一直不懂，憑什么對負(fù)無窮到正無窮做傅立葉變換？原來真實(shí)情況是，負(fù)無窮到0，音樂結(jié)尾到正無窮，就像上面的動(dòng)圖，其實(shí)都沒有振動(dòng)幅值（電信號幅值）與之對應(yīng)，再結(jié)合纏繞圓圈的思想：原來，從音樂開始到結(jié)束傅立葉變換和從負(fù)無窮到正無窮做傅立葉變換，是特么的一回事?。。ㄍ虏弁戤叄?/p>

補(bǔ)充

[ 相位 ]在表示質(zhì)心的時(shí)候，我們只取用了x軸坐標(biāo)，下面的圖中的藍(lán)色曲線就是縱坐標(biāo)（y軸 or 虛部）的可視化,紅色曲線是橫坐標(biāo)（x軸 or 實(shí)部）

那么相位是如何表示的呢？如下面動(dòng)圖所示，其中紅色的部分為質(zhì)心，長度為振幅大小，對應(yīng)的角度就是相位

[ 原信號的長度 ]

再追根究底一些，因?yàn)橹耙呀?jīng)提到過，假設(shè)我們的信號有4.5s。 那么考慮原信號的長度的變化呢？首先，假設(shè)信號的長度很長，那么纏繞圓上的線就會(huì)更多，每次接近穩(wěn)定圖像質(zhì)心的變化速度更快（即頻域圖像更加密集），參看下面動(dòng)圖

那么對應(yīng)的，如果原信號的長度縮短呢？如下面動(dòng)圖所示，頻域圖像會(huì)更加稀疏。原因同理，當(dāng)纏繞的內(nèi)容少的時(shí)候，重心變化的速度也相應(yīng)的變慢了

總得來說，基本就上述內(nèi)容就詳細(xì)解釋了下面的現(xiàn)象：

時(shí)域的信號周期越長，那么頻域就越集中，越不容易發(fā)生混疊，越容易抽象出時(shí)間信號的周期性重復(fù)信息，此時(shí)自然而然的，周期性這個(gè)詞就出現(xiàn)了。 另外，可以自己思索一下，比如無窮時(shí)間的周期時(shí)域信號呢？又比如一個(gè)恒定振幅（一個(gè)電平）的時(shí)域信號呢？其實(shí)這里就給出了一個(gè)提示有關(guān)為什么傅立葉變換有那么多需要考慮的變形了，因?yàn)樵诶p繞這件事情發(fā)生的過程中，有幾種情況是特別的（這部分3B1B視頻并沒有講解，可能需要未來再更新了）

總結(jié)

講了這么長，至此全部結(jié)束。估計(jì)讀者都已經(jīng)暈了，那么，在這里為【看到】傅立葉變換做一個(gè)總結(jié)，就來總得說說我們從頭到尾都干了些啥？參看下面動(dòng)圖

（1）e^(πi)表示單位圓，添加自變量即可表示旋轉(zhuǎn)

（2）與原函數(shù)相乘纏繞到單位圓上

（3）為求質(zhì)心的特征，進(jìn)行積分計(jì)算

一步一步寫出傅立葉變換公式的聯(lián)想鏈條

一個(gè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°畫成的圓 ?

表示運(yùn)動(dòng)，需要原函數(shù)的自變量，時(shí)間

表示旋轉(zhuǎn)速度，需要自變量，頻率

規(guī)定變換的采樣方向?yàn)轫槙r(shí)針，加負(fù)號

乘以原函數(shù)纏繞到單位圓并記錄（此處使用g符號標(biāo)識(shí)原函數(shù)是為了和頻率符號區(qū)分

為了計(jì)算質(zhì)心特征，積分

自變量為頻率ff，寫出函數(shù)表達(dá)式

責(zé)任編輯：xj

原文標(biāo)題：讓你永遠(yuǎn)忘不了的傅里葉變換解析

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