從傅里葉級數(shù)、傅里葉變換推出拉普拉斯變換。拉普拉斯變換，這是一個非常有用的工具，建立了時域與復頻域之間的聯(lián)系，它將時域內(nèi)的微分與積分的運算轉換為乘法與除法的運算，它將微分方程轉換成代數(shù)方程，使求解過程更加方便。

一、傅里葉變換的不足

傅里葉變換是非常有用的。因為它將時域中的激勵用頻域中無窮多個正弦分量來表示，使我們能用系統(tǒng)對正弦激勵的穩(wěn)態(tài)響應之和來討論系統(tǒng)對非正弦激勵的響應，從而使瞬變過程問題的求解得到簡化。

特別是有關信號的分析與處理方面，諸如有關諧波成分、頻率響應、系統(tǒng)帶寬、波形失真等問題上，它都能給出物理意義清楚的結果。

但它也有不足之處。

首先，它只能處理符合狄利赫利條件的信號，而在實際中有許多重要的信號是不符合絕對可積可積條件的，即積分不存在，如常見的階躍信號U（t）；階躍正弦信號sinωtU（t）等等。這樣傅里葉變換法的適用范圍就有一定的限制。

補充：

傅里葉級數(shù)分析使用的條件：傅里葉在提出傅里葉級數(shù)時堅持認為，任何一個周期信號都可以展開成傅里葉級數(shù)，雖然這個結論在當時引起許多爭議，但持異議者卻不能給出有力的不同論據(jù)。直到20年后（1829年）狄里赫利才對這個問題作出了令人信服的回答，狄里赫利認為，只有在滿足一定條件時，周期信號才能展開成傅里葉級數(shù)。這個條件被稱為狄里赫利條件，其內(nèi)容為：

⑴ 在一個周期內(nèi)，周期信號 x（t） 必須絕對可積；

⑵ 在一個周期內(nèi)，周期信號 x（t） 只能有有限個極大值和極小值；

⑶ 在一個周期內(nèi)，周期信號 x（t） 只能有有限個不連續(xù)點，而且，在這些不連續(xù)點上， x（t） 的函數(shù)值必須是有限值。

齊次，是在求取時域中的響應時，利用傅里葉反變換要進行對頻域自負無窮大到正無窮大的無限積分，通常這個積分的求解是比較困難的。

二、頻域中的傅里葉變換推廣到復頻域——拉普拉斯變換

將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復頻域來解決這兩個問題。

一個函數(shù)f（t）不滿足絕對可積條件往往是由于在t趨于正無窮大或負無窮大的過程中減幅太慢的緣故。

如果用一個被稱為收斂因子的指數(shù)函數(shù)e-σt去乘f（t），且δ取足夠大的正值，則在時間的正方向上總可以使t→∞時，e-σtf（t）減幅較快。當然，這在時間負方向上反而將起增幅的作用。然而假使原來的函數(shù)在時間的負方向上是衰減的，而且其衰減速率較收斂因子引起的增長更快，則仍可以使得當t→-∞，f（t）e-σt也是減幅的。

例如下面的函數(shù)，在t的正方向上為一單位階躍函數(shù)，在t的負方向上為一指數(shù)衰減函數(shù)，即

上式不難看出，只要σ《β，則函數(shù)f（t）e-σt在時間的正、負方向上將都是減幅的。即函數(shù)滿足絕對可積的條件，可以進行傅里葉變換。

式（1）及式（2）組成了一對新的變換式子，稱之為廣義的傅里葉變換式或雙邊拉普拉斯變換式。

其中前者稱為雙邊拉普拉斯正變換式，后者稱為雙邊拉普拉斯反變換式；

F（s）稱為f（t）的象函數(shù)，f（t）稱為F（s）的原函數(shù)。

雙邊拉普拉斯變換式可用下列符號表示：

在實際應用中所遇到的激勵信號與系統(tǒng)響應大都為有始函數(shù)，在有始函數(shù)的情況下，式（1）及（2）可以簡化。因為有始函數(shù)在t《0范圍內(nèi)函數(shù)值為零，式（1）的積分在-∞到0的區(qū)間中為零，因此積分區(qū)間變?yōu)橛?到∞，亦即

應該指出的是，為了適應激勵與響應中在原點出現(xiàn)沖激函數(shù)或其各階導數(shù)的情況，積分區(qū)間應包括零點在內(nèi)，即式（3）中的積分下限應為0-。為了書寫方便，今后仍寫為0，但其意義表示0-。

至于式（2），則由于F（s）中包含的分量仍為由ω等于-∞到+∞的各個分量，所以其積分區(qū)間不變。但因為原函數(shù)為有始函數(shù)，故由式（2）求得的f（t），在t《0范圍內(nèi)必然為零。因此對有始函數(shù)來說式（2）可寫為：

式（3）及式（4）也是一組變換對。因為現(xiàn)在只是對在時間軸一個方向上的函數(shù)進行變換，為區(qū)別于雙邊拉普拉斯變換式，故稱之為單邊拉普拉斯變換式，并標記如下：

由以上分析可以看出，無論是雙邊或單邊拉普拉斯變換都是傅里葉變換在復變數(shù)域中的推廣。從物理意義上說，傅里葉變換是把函數(shù)分解成許多形式為函數(shù)ejωt的分量之和。每一對正負ω分量組成了一個等幅的正弦振蕩。于此相類似，雙邊或單邊拉普拉斯變換也是把函數(shù)分解成許多形式為函數(shù)est的指數(shù)分量之和。

通常稱s為復頻率，并可把F（s）看成是信號的復頻譜。但嚴格說來，將s稱為復頻率是不太確切的，因為通常頻率是指函數(shù)每秒內(nèi)通過某定值（例如零值）的次數(shù)。而現(xiàn)在象函數(shù)包含的分量中存在有這樣的分量

它是單調(diào)變化的，無頻率可言。所以較為確切的說法應該是每一分量的頻率由其s值的虛部決定。

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