從粉筆到軟件代碼，數(shù)學家和科學家使用各種方法來表達方程式和公式，他們對數(shù)字文章背后的含義有不同的想法。

粉紅色背景的數(shù)學方程式

在過去的幾十年里，當研究人員不得不敲打打字機來撰寫他們的科學論文時，他們經(jīng)常會遇到障礙。這些機器，包括1960年代至1980年代流行的IBM Selectric系列，不包含數(shù)學符號的鍵，例如用于表示微積分的長“S”。當需要輸入等式時，研究人員不得不尋找高爾夫球大小的銀色球體，其中包含適當?shù)淖址钥ㄈ氪蜃謾C。有些人尋求解決方法來避免麻煩。

“我沒有耐心使用IBM Selectric并切換球，”理查德·費曼理論物理學教授John Preskill（約翰·普雷斯基爾）說?！爱斘疫€是一名本科生時，我打出我的畢業(yè)論文，但為方程式留出了空間，然后用手寫了出來。在我的博士論文中，一位技術(shù)打字員用手寫出了我寫的東西。

今天，打字機已經(jīng)讓位于PC個人計算機和其他現(xiàn)代技術(shù)，數(shù)學家和科學家更容易將他們的數(shù)學方程式傳達給合作者和世界其他地區(qū)。研究人員在虛擬白板上分享他們的公式，用智能手機拍攝方程式的照片，并使用一種名為LaTeX（發(fā)音為lay-tech）的備受贊譽的軟件程序在文檔中寫出方程式。在整個加州理工學院校園里，科學家和數(shù)學家都有各種用數(shù)學語言寫作的方法。有些人已經(jīng)數(shù)字化，而另一些人仍然更喜歡黑板的堅毅觸覺。布倫理論物理學教授Fernando Brand?o（費爾南多·布蘭多）說，他已經(jīng)改用數(shù)字筆和平板來寫方程式。

“我曾經(jīng)把方程式寫在到處都是的紙上，”他說。“現(xiàn)在我節(jié)約紙張和樹木”。

并非所有研究人員都以相同的方式看待這些手寫符號和軟件代碼。有些人稱數(shù)學為自然的語言，而另一些人則將其描述為抽象推理的工具。盡管如此，研究人員一致認為，數(shù)學符號使他們能夠揭示我們世界中與股票市場，計算機，黑洞甚至生物相關(guān)的隱藏模式和結(jié)構(gòu)。

“數(shù)學可以讓你一次封裝很多想法。它可以讓你找到切入問題核心的精辟解決方案，“數(shù)學教授Tom Hutchcroft（湯姆·哈奇克羅夫特）說?！跋胂笠幌孪缕澹孔咭徊狡宥嫉脤懴乱欢斡涗浺幌?。這就是在沒有方程式的情況下做數(shù)學的樣子。

古代算術(shù)

第一個書面的數(shù)學符號可以追溯到幾千年前，可以發(fā)現(xiàn)雕刻在黏土片、石頭和木頭上。古埃及人用符號或象形文字描繪了以10的冪排序的數(shù)字，例如蓮花，手指和青蛙。

我們所知道的現(xiàn)代數(shù)學符號直到14世紀開始的文藝復興時期才開始流行起來。例如，在引入符號之前，古希臘數(shù)學家阿基米德通過使用六邊形來近似圓來推導出pi的值，但是在不使用pi符號——π的情況下這樣做，而π直到18世紀初才被引入來表示數(shù)學常數(shù)。

左圖：公元前2000年的巴比倫黏土片，上面刻有算術(shù)表。

圖片提供：Osama Shukir Muhammed Amin FRCP(Glasg)

右圖：一個信封，上面有阿爾伯特·愛因斯坦在1919年手寫的計算結(jié)果。

圖片提供：阿爾伯特·愛因斯坦檔案館，希伯來大學。

隨著數(shù)學的進步，數(shù)學家和科學家寫下方程式的需求也在增加。19 世紀 70 年代打字機的出現(xiàn)使這項工作變得更容易，但這仍然是一項繁瑣的任務(wù)。事實上，許多已發(fā)表的論文，包括阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）的論文，他曾三次擔任加州理工學院的客座教授，以及加州理工學院長期擔任物理學教授理查德·費曼（Richard Feynman）的論文，都包含夾在打字文本之間的手寫方程。

愛因斯坦實際上在信封的正面和背面寫字以進行計算，加州理工學院的Robert M. Abbey（羅伯特·艾比）歷史教授兼愛因斯坦論文項目主任Diana Kormos-Buchwald（戴安娜·科爾莫斯-布赫瓦爾德）解釋說。該檔案包括一個1919年的信封，愛因斯坦在上面記下了未確認的計算?！斑@是第一次世界大戰(zhàn)結(jié)束后的一年，紙張嚴重短缺。在紙張回收被發(fā)明之前，人們再利用了所有的紙張”，她說。

LaTeX革命

Preskill和其他加州理工學院的研究人員回憶起這項發(fā)明，這項發(fā)明最終減輕了研究人員更換打字機球的負擔。從1970年代后期開始，唐納德·高德納（Donald Knuth，1963年博士）開發(fā)了一種名為TeX的排版語言，使研究人員能夠更輕松地打出數(shù)學符號。萊斯利·蘭波特（Leslie Lamport）是一名計算機科學家，當時在加利福尼亞州門洛帕克的SRI國際公司工作，他讓TeX更進一步，創(chuàng)建了一個名為LaTeX的文檔準備系統(tǒng)，該系統(tǒng)使用TeX的語言。例如，要在文檔中鍵入符號π，研究人員會將命令“$pi$”寫入LaTeX程序。

“LaTeX改變了我們彼此交流的方式，”理論物理教授Xie Chen（謝晨）說，她和許多其他科學家一樣，在撰寫技術(shù)論文甚至給同事的電子郵件時使用TeX語言來表示數(shù)學符號。她說，有時，他們甚至懶得把代碼翻譯回數(shù)學符號，因為這些代碼在他們的腦海中根深蒂固。

智能手機也改變了科學家交流數(shù)學的方式。很容易拍攝圖片并將公式的照片發(fā)送給彼此。虛擬白板也變得越來越流行，John D. MacArthur（約翰·麥克阿瑟）理論物理和數(shù)學教授Sergei Gukov（謝爾蓋·古科夫）說。Gukov和許多其他研究人員在新冠大流行期間參加了在線數(shù)學社區(qū)，使他們能夠在類似教室的環(huán)境中虛擬地相互聯(lián)系，并解決各種數(shù)學和科學問題。這些社區(qū)由美國國家科學基金會資助的美國數(shù)學研究所（AIM）開發(fā)，該研究所將于2023年將其總部遷至加州理工學院?！疤摂M白板是這些在線社區(qū)的關(guān)鍵，感覺非常像真正的黑板，”Gukov說。

視頻會議的日益普及為數(shù)學家們彼此交流增加了另一個工具，Preskill說：“有時在Zoom上，你只需在紙上寫一個方程式，然后把它舉到相機前。

模擬之美

即使隨著新的通信工具的出現(xiàn)，一些研究人員也更喜歡老派。Sherman Fairchild（謝爾曼·費爾柴爾德）博士后理論物理學研究助理Monica Jinwoo Kang（莫妮卡·金宇·康）說，她喜歡在黑板上寫方程?！昂诎暹@么大，這有助于我更清楚地思考，”她說。她甚至還有一個最喜歡的粉筆：一個叫羽衣（Hagoromo）的韓國品牌。

“其他粉筆和羽衣之間的區(qū)別是驚人的：抓力，手感和有效性，”她說。粉筆有點厚，握持感人，同時防止黑板上出現(xiàn)任何刮擦聲。此外，粉筆毫不費力地書寫，無需施加太大的壓力，也不會弄得一團糟。

馬蒂爾德·馬可利（Matilde Marcolli）是羅伯特·克里斯蒂（Robert F. Christy）數(shù)學計算和數(shù)學科學教授，她喜歡通過在她的方程上繪畫來創(chuàng)作彩色水彩畫。她說，創(chuàng)作過程有助于她專注于數(shù)學研究?！皬哪撤N意義上說，這是一種冥想，你正在看你剛剛寫的計算并思考它們;繪畫的過程有助于在頭腦中形成聯(lián)系。這就像一種聯(lián)覺形式（synesthesia），數(shù)學思想帶有附加的顏色和形狀。

數(shù)學家馬蒂爾德·馬可利的水彩畫，以她寫的方程為特色。

圖片提供：馬蒂爾德·馬可利

里奇·阿博特（Rich Abbott）是激光干涉儀引力波天文臺（LIGO）的工程師，他對手寫方程也有類似的親和力，他總是在官方工程文件上手寫方程。“看到方程式寫出來真是太好了，”他說?！八麄兏诵曰?，更引人注目。你想了解他們。

新詞典

數(shù)學也可以用文字交流。當阿基米德向他的同齡人解釋他如何計算圓周率的值時，他沒有引入一種數(shù)學符號的語言。相反，他使用圖片和文字?！拔液茈y理解阿基米德是如何做到這一點的，”Hutchcroft（哈奇克羅夫特）說?！皩δ阏J為事情如何運作有個人的理解是一回事，但向人們解釋你的想法是另一回事。

今天，文字仍然是數(shù)學研究的關(guān)鍵部分。經(jīng)濟學和數(shù)學教授奧馬爾·塔穆茲（Omer Tamuz）對人們發(fā)明的用于解釋數(shù)學的單詞很感興趣。

“數(shù)學不僅僅是方程式，”他說?！?x=0'，可以寫成'x消失'。數(shù)以千計的單詞被發(fā)明來表示數(shù)學中的對象或函數(shù)。有時，發(fā)明的單詞很聰明，可以幫助你記住含義。

想想“matroid”（擬陣）這個詞，塔穆茲說。擬陣（matroid）類似于稱為矩陣（matrix）的數(shù)學對象，并將向量和圖形等不同概念聯(lián)系在一起。“有人編造了這個愚蠢的詞，但它很有用，因為你記得它，它是有道理的，”他說?！?strong>pointless topology”（無點拓撲）是塔穆茲喜歡的另一個數(shù)學術(shù)語，因為它是個好的“文字游戲”。他說，無點拓撲是指一種思考沒有點的幾何物體的性質(zhì)的方式，并補充道，他認為將發(fā)明的一個數(shù)學概念標記為“pointless”（無意義，該單詞的另一含義）是幽默的。

數(shù)學的含義是什么？

如果數(shù)學可以用文字表達，這對數(shù)學的真正本質(zhì)有什么影響？數(shù)學符號僅僅是人類用來表達抽象思想的發(fā)明，還是獨立于我們而存在的宇宙基本語言的一部分？

Christopher Hitchcock（克里斯托弗·希區(qū)柯克），是J.O.和 Juliette Koepfli（朱麗葉·科普夫利）哲學教授，說在數(shù)學和數(shù)字的含義方面，有兩個主要陣營。第一組遵循古希臘哲學家柏拉圖提出的想法，柏拉圖認為數(shù)學對象是真實的，并且擁有超越我們自己的身份。

“柏拉圖認為，即使我們不存在，數(shù)學真理也是正確的，”希區(qū)柯克解釋說?！跋胂霂缀螌W中的一條線，它是無限直的，非常薄的。它不是一個物理對象：在我們的世界中沒有任何東西是這樣的。但它仍然獨立于我們而存在。另一種思考方式是問：如果森林里有奇數(shù)的樹木，沒有人在那里數(shù)它們，那么這個數(shù)字仍然是奇數(shù)嗎？柏拉圖會說是的。

許多科學家同意柏拉圖的觀點。特別是物理學家經(jīng)常將數(shù)學描述為自然的語言。已故諾貝爾獎獲得者費曼在加州理工學院教授物理學近四十年，直到1988年去世，他在1964年在康奈爾大學的一次演講中說：“對于那些不懂數(shù)學的人來說，很難對自然界的美麗，最深層次的美麗產(chǎn)生真正的感覺。...如果你想了解自然，欣賞自然，就有必要理解她所說的語言。

但正如希區(qū)柯克所解釋的那樣，其他哲學家認為數(shù)學只是科學的發(fā)明工具，而不是我們現(xiàn)實的固有部分。紐約大學的 Hartry Field（哈特里·菲爾德）甚至在沒有引用數(shù)字的情況下重新表述牛頓力學。菲爾德認為數(shù)學描述的結(jié)構(gòu)是虛構(gòu)的，而不是字面上的真實。為了理解這一觀點，希區(qū)柯克舉了一張桌子上三個盤子的例子。他說，有可能在不使用數(shù)字3的情況下描述這些盤子。你可以描述每個板塊并指出它們彼此不同。以類似的方式，你可以說每個盤子有六片餅干。你可以使用乘法來計算總共有18片餅干，但你也可以在不使用數(shù)字18的情況下推導一個描述句子。他說，像這樣的練習旨在說明數(shù)學只是一種工具。

“你可以使用邏輯推理來解釋沒有數(shù)字的事情，”希區(qū)柯克說?！暗S著數(shù)字越來越高，這變得越來越困難。這些數(shù)字使計算變得更加簡單。希區(qū)柯克本人也相信柏拉圖式的數(shù)字觀。他說，它們是真實的，但“以自己獨特的方式”。

數(shù)字和數(shù)學是否是真實的可能仍然是一個懸而未決的問題，但有一點是明確的：在紙張，數(shù)碼平板上涂鴉并用LaTeX編碼的數(shù)學著作繼續(xù)闡明我們世界的奇跡。Fred and Nancy Morris（弗雷德和南?！つ锼梗┥镂锢韺W、生物學和物理學教授羅伯·菲利普斯（Rob Phillips）在《加州理工學院2021年夏季》雜志的一篇文章中回憶說，他的一位研究生院老師的門上有一塊黑板，他曾經(jīng)告訴他，如果他有什么話要說，他應(yīng)該用方程式寫下來?！拔覀冊趯嶒炇依镎f的語言不是英語，而是數(shù)學，”菲利普斯說。

審核編輯：劉清