作為一個(gè)材料人，必須要掌握材料的基本力學(xué)性質(zhì)，包括應(yīng)變、應(yīng)力以及相互之間的關(guān)系等。需要了解材料在不同形式的力的作用下的對(duì)應(yīng)的反應(yīng)形式，并儲(chǔ)備常用的材料的力學(xué)性質(zhì)的知識(shí)。選擇合理的數(shù)學(xué)模型，確定最終的物理方程，這都要求我們了解材料的基本力學(xué)性質(zhì)。

材料的力學(xué)性質(zhì)通常是由試驗(yàn)測(cè)定的。因此，力學(xué)性質(zhì)分為單項(xiàng)加載情況下的力學(xué)特征、單項(xiàng)加載卸載的力學(xué)特征、循環(huán)加載時(shí)材料力學(xué)特征。其中，單項(xiàng)加載情況下獲得的基本力學(xué)數(shù)據(jù)是比較基礎(chǔ)的。進(jìn)行相關(guān)的描述前，首先需要了解力學(xué)的基本概念，包括應(yīng)變、應(yīng)力。

所觀察的物體的變化從物理上來講主要包含位置的變化和形狀的變化。位置變化可以通過旋轉(zhuǎn)、平移來表達(dá)，形狀的變化則是可以通過應(yīng)變來表達(dá)。應(yīng)變包括長度的變化和方向的變化。如下圖所示，長度的相對(duì)變化為線應(yīng)變，可以表示為：

方向的相對(duì)改變?yōu)榧簦ń牵?yīng)變，如：

針對(duì)三維情形，可以獲得應(yīng)變張量如式：

需要說明的是，張量的剪切應(yīng)變分量不等于實(shí)際的剪切應(yīng)變。

圖1 應(yīng)變表達(dá)示意圖

上述定義屬于工程應(yīng)變。工程應(yīng)變?nèi)Q于初始長度，如l，初始長度是事先已知的，所以工程應(yīng)變是線性的。工程應(yīng)變的應(yīng)用局限于材料小旋轉(zhuǎn)，中等大小的剛體旋轉(zhuǎn)將導(dǎo)致非零應(yīng)變。實(shí)際上，一切能夠按照一定的規(guī)律表示形狀變化的量均可以作為應(yīng)變的度量（但應(yīng)變的使用通常需要和應(yīng)力產(chǎn)生極大的關(guān)聯(lián)，方能產(chǎn)生實(shí)際價(jià)值，因此，需要針對(duì)所定義的應(yīng)變度量建立相關(guān)聯(lián)的應(yīng)力度量，即共軛的應(yīng)力定義）。所以，除了上述應(yīng)變定義以外，還有其他一些比較重要的應(yīng)變定義。一維問題中，對(duì)數(shù)應(yīng)變由下面公式計(jì)算：

對(duì)數(shù)應(yīng)變也可以泰勒展開如下式所示，其與工程應(yīng)變存在一定的差別，因此，需要進(jìn)行區(qū)別對(duì)待。在有限元程序編寫時(shí)，特別是靜強(qiáng)度分析時(shí)，通常為小應(yīng)變狀態(tài)，且所劃分的單元較小，因此，兩者的差別并不大。

對(duì)數(shù)應(yīng)變是非線性應(yīng)變，因?yàn)樗俏粗淖罱K長度的非線性函數(shù)。它同樣可稱為log應(yīng)變。三維等效對(duì)數(shù)應(yīng)變是Hencky應(yīng)變。在大應(yīng)變問題中，對(duì)數(shù)應(yīng)變并不能自動(dòng)適應(yīng)任意大的旋轉(zhuǎn)。

一維的Green-Lagrange應(yīng)變由下式計(jì)算：

此應(yīng)變是非線性的，因?yàn)樗Q于未知的更新長度的平方。此種應(yīng)變優(yōu)于對(duì)數(shù)應(yīng)變或Hencky應(yīng)變之處在于，它可自動(dòng)適應(yīng)大應(yīng)變問題中的任意大旋轉(zhuǎn)。這在非線性分析中將會(huì)用到。常見的力學(xué)試驗(yàn)拉伸數(shù)據(jù)如下圖所示。

僅從幾何學(xué)的角度定義如上，直觀易于理解，但實(shí)際應(yīng)用過程中，這種純粹幾何的定義適應(yīng)性較差，通常需要從解析幾何的角度來進(jìn)一步地考慮。因此，需要首先建立坐標(biāo)系。

圖2 位移示意圖

OA和OB兩線元的長度分別為OA=dx，OB=dy。設(shè)O點(diǎn)的位移是u(x, y) 和v(x, y)，A 點(diǎn)的位移是u(x+dx, y)、v(x+dx，y)，

B點(diǎn)的位移是u(x，y+dy)、v(x，y+dy)。

則可以定義工程應(yīng)變?nèi)缦率剿尽?/p>

可以看出，上述的位移的描述都是基于最初狀態(tài)下的位形確定的，我們可以稱為0時(shí)刻狀態(tài)下的位形。顯然位形發(fā)生變化可以通過上述的量進(jìn)行表達(dá)。

那么，對(duì)數(shù)應(yīng)變、Green-Lagrange應(yīng)變應(yīng)當(dāng)如何表達(dá)呢？

如果我們觀察物體上一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，它的初始位置是{X}，最終位置是{x}，它運(yùn)動(dòng)的量為{u}。

變形梯度也是物體變形多少的一個(gè)度量，它的定義是：

變形梯度F，可以過濾掉平動(dòng)（在通過后續(xù)對(duì)數(shù)計(jì)算等可以將平動(dòng)給過濾掉，實(shí)際上F在平動(dòng)時(shí)應(yīng)該為單位矩陣），剩余旋轉(zhuǎn)、由于應(yīng)變?cè)斐傻男螤罡淖?。通過矩陣的極分解，可以獲得去除了旋轉(zhuǎn)變換后的形狀變形。

對(duì)數(shù) (Hencky) 應(yīng)變可由下式計(jì)算：

這里對(duì)數(shù)應(yīng)變是以矩陣形式表示的應(yīng)變張量。在三維問題中，Green-Lagrange 應(yīng)變可直接由拉伸矩陣計(jì)算出，如下式所示：

這種應(yīng)變?cè)谟?jì)算時(shí)直接忽略了旋轉(zhuǎn)矩陣，則可以從變形梯度的形式寫出，如下式所示，前兩項(xiàng)是線性小應(yīng)變項(xiàng)，最后一項(xiàng)是應(yīng)變的非線性項(xiàng)。

當(dāng)然以上的形式可以通過變形前的坐標(biāo)進(jìn)行表示，也可以通過變形后的坐標(biāo)進(jìn)行表示。更新拉格朗日應(yīng)變即為ALMANSI應(yīng)變。此外，常用的概念還有體積應(yīng)變。

審核編輯 ：李倩