本文討論了信號(hào)經(jīng)過(guò)傅立葉變換所得頻譜的物理意義，其中著重于負(fù)頻率成分。許多信號(hào)與系統(tǒng)的教材中，都認(rèn)為負(fù)頻率成分沒(méi)有物理意義。本文以多方面的實(shí)例證明了負(fù)頻率成分不但具有明確的物理意義，而且有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。文章還用Matlab程序演示了如何用幾何方法求傅立葉反變換，把集總頻譜合成為時(shí)域信號(hào)，從中也可鮮明地看出負(fù)頻率成分的意義。

1 負(fù)頻率與復(fù)信號(hào)

頻率的原始定義是每秒出現(xiàn)的次數(shù)，可用以衡量機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電信號(hào)、乃至任何事件重復(fù)出現(xiàn)的頻度，這當(dāng)然不存在有“負(fù)”的概念。當(dāng)用頻率描述圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)（即進(jìn)入了二維信號(hào)平面），產(chǎn)生了角頻率ω的概念。從機(jī)械旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)出發(fā)，ω=dθdt定義為角速度。對(duì)于周期運(yùn)動(dòng)，角速度也就是角頻率。通常以逆時(shí)針為正，因此轉(zhuǎn)動(dòng)的正頻率是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度，負(fù)頻率就是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角速度。正號(hào)和負(fù)號(hào)是非常自然形成的，不存在有無(wú)物理意義的問(wèn)題。

電的單位向量（電壓或電流）圍繞原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，可以用0 表示，這是在電路中都清楚的。θ的正負(fù)所代表的物理意義從來(lái)沒(méi)有什么爭(zhēng)議，它的導(dǎo)數(shù)ω=dθ/dt的物理意義不言自明。取正取負(fù)都不影響定義，為什么取負(fù)就會(huì)失去物理意義了呢？

在信號(hào)與系統(tǒng)課程中為簡(jiǎn)化問(wèn)題，便于初學(xué)者掌握概念，開(kāi)宗明義地把研究范圍限定于實(shí)信號(hào)f（t），也就是在電壓旋轉(zhuǎn)向量）中，只研究它在實(shí)平面或虛平面上的一個(gè)投影sin（ωt）或cos（ωt），研究復(fù)信號(hào) ejωt的特性與只研究實(shí)信號(hào)sin（ωt）或cos（ωt）是兩個(gè)不同的層次。前者（復(fù)信號(hào)）是反映信號(hào)在空間的全面特性，如圖1所示。后者（實(shí)信號(hào)）只研究了信號(hào)在一個(gè)平面（x-t或y-t組成的平面）上投影的特性。這就必然要丟掉一些重要的信息，以致x=sin（ωt）與sin（?ωt）在z-t平面中的波形沒(méi)有任何差別，這是人們對(duì)負(fù)頻率的意義產(chǎn)生疑問(wèn)的直接原因之一。很顯然，在x-t 或y-t的平面內(nèi)，是不可能看出旋轉(zhuǎn)的。既看不到θ ，也看不到ω 。只有在x-y平面上才能看到這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

注意上述所說(shuō)的x平面對(duì)應(yīng)實(shí)部 ，y平面對(duì)應(yīng)虛部，也就是說(shuō)此文章是站立在復(fù)數(shù)表示已經(jīng)有相應(yīng)的物理意義的前提下進(jìn)行的討論，那么我先給了j一個(gè)有效的理論支持，電路理論中 j，-j，-1， 都可以看成是旋轉(zhuǎn)因子。復(fù)數(shù) F 乘以j，相當(dāng)于 F 在復(fù)平面中逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度 ；復(fù)數(shù) F 乘以 -j，相當(dāng)于順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90度；F 乘以或除以 -1， 相當(dāng)于 F 順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度

圖1 復(fù)信號(hào)ejωt

2 復(fù)信號(hào)與實(shí)信號(hào)的頻譜

同樣，用 ejωt、sin（ωt）或cos（ωt）作為核來(lái)做傅立葉變換所得的結(jié)果也是復(fù)信號(hào)全面，實(shí)信號(hào)片面。對(duì)實(shí)信號(hào)做傅立葉變換時(shí)，如果用指數(shù)ejωt為核，將得到雙邊頻譜。以角頻率為n的余弦信號(hào)為例，它有具有位于±n兩處的、幅度各為0.5、相角為零的頻率特性。它的幾何關(guān)系可以用圖2表示。兩個(gè)長(zhǎng)度為0.5的向量：分別以士n等速轉(zhuǎn)動(dòng)，它們的合成向量就是沿實(shí)軸方向酌余弦向量 簡(jiǎn)沿虛軸方向的信號(hào)為零?？梢?jiàn)必須有負(fù)頻率的向量存在，才可能構(gòu)成純粹的實(shí)信號(hào)。所以歐拉公式）

圖2 實(shí)數(shù)信號(hào)由正負(fù)頻率復(fù)向量合成

4）多普勒頻率

多普勒頻率又是一個(gè)負(fù)頻率的實(shí)例，如果信號(hào)的發(fā)射源向我們運(yùn)動(dòng)而來(lái)，那么多普勒頻率就是正頻率；如果信號(hào)的發(fā)射源向我們遠(yuǎn)離而去，那么多普勒頻率就是負(fù)頻率，在這里正負(fù)頻率都是有明確物理意義的。多普勒頻率雖是一種差頻，它表現(xiàn)為合成信號(hào)的包絡(luò)頻率，因此仍然符合上述的原理，在實(shí)信號(hào)域只能求出多普勒頻率的大小，但檢測(cè)不出它的正負(fù)。要得到負(fù)頻率，必須從復(fù)信號(hào)域考慮。可見(jiàn)，不懂得這一點(diǎn)，就無(wú)法找到多普勒測(cè)速的原理框圖。

歸根到底，轉(zhuǎn)角和頻率的正負(fù)，必須在x-y平面或二維信號(hào)中才能觀察到。因?yàn)橛^察的方法不對(duì)，看不到其意義，從而否認(rèn)它的存在，這是認(rèn)識(shí)論上的錯(cuò)誤，不是科學(xué)的方法。這就和“瞎子摸象”的故事所說(shuō)的那樣，摸象腿的人否認(rèn)象有鼻子，毛病出在他的驗(yàn)證方法。他老想在象腿（實(shí)信號(hào)域）上找到象鼻子（負(fù)頻率），當(dāng)然也永遠(yuǎn)找不到。正確的方法是必須換一個(gè)角度，摸別的部位（復(fù)信號(hào)域），才能得到全面的知識(shí)。

某些學(xué)者不承認(rèn)負(fù)頻率是由于把“頻率是每秒鐘循環(huán)的次數(shù)”的陳舊概念絕對(duì)化，其實(shí)頻率的概念是不斷發(fā)展充實(shí)的。每秒次數(shù)的概念只能粗糙地研究信號(hào)外部形態(tài)，無(wú)法涉及信號(hào)每周期內(nèi)部的細(xì)微波形特征，而這恰好是傅立葉變換的任務(wù)。從它的核已經(jīng)可以清楚地看到，正是它摒棄（或發(fā)展）了原始的頻率定義，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負(fù)號(hào)。其實(shí)頻率的概念還在繼續(xù)發(fā)展，進(jìn)入到數(shù)字信號(hào)處理時(shí)又進(jìn)一步出現(xiàn)了數(shù)字頻率，它的單位是弧度（去掉了分母上的“秒”），取值范圍是［-π，π］。它的物理意義已變?yōu)閮纱尾蓸訒r(shí)刻之間向量轉(zhuǎn)過(guò)的角度，在文獻(xiàn)［1］中對(duì)此有詳細(xì)的說(shuō)明。如果停留在“每秒次數(shù)”的舊概念上，那“數(shù)字信號(hào)處理”也就無(wú)法發(fā)展了。

5．從認(rèn)識(shí)論角度糾正對(duì)負(fù)頻率的錯(cuò)誤說(shuō)法

這個(gè)問(wèn)題是從教學(xué)中提出的，作者在旁聽(tīng)“信號(hào)與系統(tǒng)”課程時(shí)，在老師的幻燈片上看到了“關(guān)于雙邊譜，負(fù)頻率只有數(shù)學(xué)意義，沒(méi)有物理意義”的提法。我們覺(jué)得這是個(gè)錯(cuò)誤，而且恐怕不是個(gè)別老師的想法。回來(lái)一查，果然如此，很多相當(dāng)權(quán)威的主流教材上都這么寫。

其實(shí)，“×××只有數(shù)學(xué)意義，沒(méi)有物理意義”這樣的“命題”誰(shuí)也沒(méi)有證明過(guò)，也是無(wú)法證明的，它最多只能算是猜想。只要有一個(gè)反例就可被推翻，本文已經(jīng)舉出了多個(gè)反例，說(shuō)明它是完全錯(cuò)誤的。教師絕不該把錯(cuò)誤的猜想說(shuō)成真理，更不能寫在書上和幻燈片上去誤導(dǎo)學(xué)生。數(shù)學(xué)是更抽象、更深刻地描述物理現(xiàn)象的工具，而物理是實(shí)證的科學(xué)。限于條件，人們往往暫時(shí)還認(rèn)識(shí)不到數(shù)學(xué)定理的物理意義。數(shù)學(xué)超前物理是科學(xué)史上多次出現(xiàn)的現(xiàn)象，比如虛數(shù)、非歐氏幾何等。這時(shí)應(yīng)該努力去理解它，認(rèn)識(shí)它，而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒(méi)想通，沒(méi)找到的事物，不能說(shuō)它不存在。給學(xué)生講課時(shí)，只能說(shuō)“我們目前還沒(méi)有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學(xué)上的嚴(yán)肅和謙遜，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)鉆研和創(chuàng)新精神。

6．結(jié)束語(yǔ)

討論這個(gè)問(wèn)題，不僅是理論上的探討，對(duì)于提高教學(xué)質(zhì)量是有重大意義的。今天，信息技術(shù)如此的發(fā)展，很大程度是由于深入大量地開(kāi)發(fā)頻譜資源的結(jié)果。在同學(xué)剛進(jìn)入這個(gè)資源庫(kù)的時(shí)候，我們要引導(dǎo)他們對(duì)這個(gè)寶藏發(fā)生極大的興趣，非常珍惜這個(gè)寶藏，去深鉆，去挖掘它的每一點(diǎn)潛力。不能為了省事，為了堵住學(xué)生的好奇提問(wèn)，輕率地、毫無(wú)根據(jù)地一句話就把頻譜的負(fù)頻率半邊扔掉了。在入門的時(shí)候，當(dāng)然不可能把本文說(shuō)的概念統(tǒng)統(tǒng)灌輸給學(xué)生，要順序漸進(jìn)。但老師首先要有更寬廣的知識(shí)面和更科學(xué)的思維方法，教出的學(xué)生的才會(huì)具備更多的想象力和創(chuàng)造性。

審核編輯：郭婷