建立起對(duì)計(jì)算電磁學(xué)更為“體系性”的認(rèn)知，有助于電磁CAEer站在更高的視角，去審視我們平時(shí)所使用的各種電磁CAE軟件以及適用于不同計(jì)算場(chǎng)景的各類電磁計(jì)算算法，這一直是作者期望做但還未做的事，直到作者看到胡俊老師去年在“電波傳播年會(huì)”上大會(huì)報(bào)告，回憶不禁被拉回到8年前“計(jì)算電磁學(xué)”的課堂，“清晰的敘述邏輯、縝密的推理過(guò)程、謙遜平和的語(yǔ)調(diào)”一直讓作者記憶深刻。我想，籍此視頻，來(lái)給電磁計(jì)算方法的發(fā)展做一個(gè)系統(tǒng)梳理，循著那些計(jì)算電磁學(xué)巨擘們的研究足跡，了解那段波瀾壯闊的歷史，應(yīng)該是一件很有意義的事。

全文的展開(kāi)主要基于胡俊教授的大會(huì)報(bào)告以及金建銘教授的著作《計(jì)算電磁學(xué)（第二版）》。其中胡俊教授的大會(huì)講演視頻如下： 金建銘是美國(guó)伊利諾伊大學(xué)香檳校區(qū)（UIUC）電子與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院的羅遠(yuǎn)祉講座教授，電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)室和計(jì)算電磁中心主任，IEEE Fellow。著有《The Finite Element Method in Electromagnetics, Third Edition》和《Electromagnetic Analysis and Design in Magnetic Resonance Imaging》；與他人合著了《Computation of Special Functions》、《Finite Element Analysis of Antennas and Arrays》以及《Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics》被ISI列入論文高引用率的作者名單。作者往期關(guān)于計(jì)算電磁學(xué)的文章也多有參考譯本《計(jì)算電磁學(xué)》一書，全書體系完整、層次分明、文字凝練，可讀性較好。 正文自麥克斯韋方程建立以來(lái)，求解已知激勵(lì)、特定邊界條件下的麥克斯韋方程組的解一直是一百多年以來(lái)最受關(guān)注的問(wèn)題之一。

圍繞著麥克斯韋方程組的求解，無(wú)數(shù)科研工作者前赴后繼的努力，才有了計(jì)算電磁學(xué)如今的面貌，發(fā)展過(guò)程大致可以分為四個(gè)階段：

階段1：解析法對(duì)于結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單的模型，依托高超的數(shù)學(xué)技能，基于maxwell方程和邊界條件，可以計(jì)算出空間場(chǎng)分布，即解析解。其優(yōu)點(diǎn)在于：結(jié)果為嚴(yán)格得數(shù)學(xué)推導(dǎo)，結(jié)果完全正確，沒(méi)有誤差，因而可以作為標(biāo)準(zhǔn)去驗(yàn)證各種計(jì)算方法得正確性，也常作為RCS測(cè)試中定標(biāo)體，對(duì)測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行標(biāo)定。

1908年，Gustav Mie 給出了均勻圓球?qū)ζ矫娌ㄉ⑸涞脟?yán)格解（Mie理論）。具體理論推導(dǎo)可以參考江長(zhǎng)蔭于1996年發(fā)表在《電波科學(xué)學(xué)報(bào)》上得論文。

使用CST仿真軟件的時(shí)域求解器（Transistor），對(duì)球的寬帶單站RCS進(jìn)行了計(jì)算：取球半徑為50mm，計(jì)算頻率為0.1GHz~20GHz，參考文獻(xiàn)對(duì)求解結(jié)果的分區(qū)：1）0.1GHz~1GHz頻段內(nèi)，波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于球半徑，為瑞利區(qū)，此時(shí)單站RCS 隨頻率升高而快速變大；2）1GHz~10GHz頻段內(nèi)，波長(zhǎng)與半徑相當(dāng)，為Mie區(qū)，單站RCS隨頻率升高呈現(xiàn)震蕩性起伏；3）10GHz~infinity，波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于半徑，為光學(xué)區(qū)，單站RCS隨頻率變化呈現(xiàn)基本穩(wěn)定。

使用FEKO仿真軟件對(duì)單頻點(diǎn)（10GHz）處金屬球的雙站RCS進(jìn)行了計(jì)算，其雙站RCS的分布形式與往期文章中介紹的陣列天線的方向圖有些相似，與感性的認(rèn)知不同，其最大散射方向并不是后向，而是前向，即與入射電磁波同向。這是不是就是科幻小說(shuō)《三體》中，使用太陽(yáng)作為無(wú)線電放大器的理論依據(jù)，哈哈。

正如往期文章“緣起“收斂性”——Maxwell方程與求解”中所說(shuō)得那樣，形狀規(guī)則如球形的目標(biāo)，尚可以借助高超的數(shù)學(xué)技巧，完成解析計(jì)算，但是一旦模型的外形變化一下，復(fù)雜的外形所帶來(lái)的復(fù)雜的邊界條件，會(huì)導(dǎo)致Maxwell方程組無(wú)法解析求解。 階段2：近似方法在那個(gè)“算力”尚不發(fā)達(dá)的年代，類似“全波仿真”的精確計(jì)算方法還沒(méi)辦法被實(shí)現(xiàn)，近似方法則因?yàn)槠漭^低的“算力需求”而被廣泛使用，其中要數(shù)幾何光學(xué)算法（GO）和物理光學(xué)算法（PO）應(yīng)用最為廣泛。

GO（Geometrical Optics幾何光學(xué)）

幾何光學(xué)的基本思想基于：高頻電磁波的傳播近似于光，因而波的傳播問(wèn)題可以采用射線追蹤（Ray-Tracing），從而場(chǎng)的振幅可以根據(jù)波前表面的形狀來(lái)確定。顯然，使用幾何光學(xué)方法，陰影區(qū)域中的場(chǎng)完全為零，而被照亮區(qū)域中的場(chǎng)為單獨(dú)的入射場(chǎng)或入射場(chǎng)與反射場(chǎng)的疊加。物體邊沿和尖劈的衍射場(chǎng)被完全忽略，而總場(chǎng)有兩處具有非物理的不連續(xù)性：一處是在亮區(qū)和陰影區(qū)之間的邊界（稱為入射陰影邊界，ISB），另一處是在反射區(qū)和反射不能到達(dá)的區(qū)域之間的邊界（稱為反射陰影區(qū)，RSB）。

其中入射場(chǎng)和反射場(chǎng)可分別由下列公式求得：

入射場(chǎng)和反射場(chǎng)是否被置零則取決于系數(shù)和的取值：

GTD（Geometrical Theory of Diffraction幾何繞射理論）

我們可以在幾何光學(xué)的解中加入衍射場(chǎng)以提高幾何光學(xué)解的精度，由此產(chǎn)生了幾何繞射理論（GTD）。GO的修正繞射線產(chǎn)生于結(jié)構(gòu)不連續(xù)處和材料不連續(xù)處，以及電磁波掠入射光滑凸表面情形，主要有以下集中類型：

UTD（Uniform Theory of Diffraction一致性繞射理論）

Keller導(dǎo)出的GTD理論，在亮區(qū)和陰影區(qū)的邊界兩側(cè)的過(guò)度區(qū)失效，如圖所示，以無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)帶的散射為例，按照GTD理論，則會(huì)在兩個(gè)邊界處產(chǎn)生無(wú)窮大的散射場(chǎng)，與客觀事實(shí)不相符，而UTD則會(huì)通過(guò)比例系數(shù)的引入，將過(guò)渡區(qū)的場(chǎng)控制在一個(gè)有限大范圍內(nèi)，具有更高的計(jì)算精度。

PO（Physical Optics物理光學(xué)）

另外一類高頻近似技術(shù)從物理光學(xué)（PO）出發(fā)，將電大尺寸導(dǎo)體亮區(qū)表面上的感應(yīng)電流密度近似為，而陰影區(qū)的電流密度近似為。進(jìn)而自由空間中的場(chǎng)分布可以依據(jù)源-場(chǎng)關(guān)系求得：

物理光學(xué)算法被廣泛應(yīng)用于反射面天線輻射特性的計(jì)算，饋源使用全波算法，反射面使用PO算法，兩種算法混合，從而使得電大尺寸的反射面能夠快速獲得相對(duì)準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

PTD（Physical Theory of Diffraction物理衍射理論）

物理光學(xué)理論（PO）近似忽略了幾何不連續(xù)性對(duì)感應(yīng)電流的影響，因此近似的感應(yīng)電流在亮區(qū)和暗區(qū)邊界處存在不連續(xù)，這種不連續(xù)影響了計(jì)算結(jié)果的精度，通過(guò)在感應(yīng)電流中加入非均勻的邊緣電流，以此來(lái)改善物理光學(xué)的計(jì)算精度。這一思想導(dǎo)致了物理衍射理論（PTD），詳細(xì)可以閱讀Petr Ufimtsve教授的著作《Fundamentals of the Physical Theory of Diffraction》。

后來(lái)聞名世界的第一款隱身戰(zhàn)斗機(jī)F-117的隱身設(shè)計(jì)正是基于此理論而完成的設(shè)計(jì)。

SBR（shooting and bouncing ray彈跳射線算法）

將幾何光學(xué)與物理光學(xué)的方法結(jié)合起來(lái)，開(kāi)發(fā)出了功能強(qiáng)大的算法，用于計(jì)算大尺寸復(fù)雜目標(biāo)的電磁散射，這種混合技術(shù)稱為彈跳射線（SBR）法。在該方法中，從源出發(fā)的入射波用指向物體的射線簇表示。當(dāng)每條射線反彈時(shí)，其相關(guān)的振幅和相位均被追蹤，而反彈過(guò)程受幾何光學(xué)的約束。在射線與目標(biāo)的每一個(gè)交點(diǎn)應(yīng)用物理光學(xué)法做積分,以確定射線對(duì)散射場(chǎng)或輻射場(chǎng)的貢獻(xiàn),最終解是所有射線貢獻(xiàn)的總和。這種算法已經(jīng)被實(shí)現(xiàn)并廣泛用于計(jì)算雷達(dá)散射特征、大型平臺(tái)上天線的輻射特性和復(fù)雜城市環(huán)境中的電磁波傳播。 依托CST軟件的Asymptotic Sovler（漸進(jìn)求解器）的SBR算法，使用個(gè)人筆記本（8GHz內(nèi)存）即可完成電尺寸達(dá)200倍波長(zhǎng)的縮比艦船模型的散射特性的計(jì)算，計(jì)算效率可以說(shuō)相當(dāng)之高。

階段3：數(shù)值方法階段隨著電子計(jì)算機(jī)“ENIAC”的誕生以及其后“計(jì)算能力”飛速發(fā)展，基于“數(shù)值計(jì)算”的全波分析方法也迎來(lái)了爆發(fā)式發(fā)展。其中要以時(shí)域有限差分算法（FDTD），有限元算法（FEM）以及矩量法（MOM）發(fā)展最為完備，成為三種最主流的電磁數(shù)值計(jì)算方法。

FDTD（時(shí)域有限差分）：

1966年，加州大學(xué)伯克利分校的Kane S. Yee教授發(fā)表了基于交替網(wǎng)格的有限差分求解Maxwell方程的論文，1980年，該方法正是被命名為FDTD，全文的被被引用次數(shù)高達(dá)8000次。其離散的對(duì)象直接是時(shí)域微分形式的Maxwell方程組:

FDTD所使用離散形式也是最為簡(jiǎn)單的立方體網(wǎng)格，每一個(gè)立方體網(wǎng)格就是一個(gè)Yee元胞。

每個(gè)元胞上的電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以分解為直角坐標(biāo)系下的三方向分量、、以及、、，上述矢量形式的Maxwell方程即可以展開(kāi)為標(biāo)量形式的maxwell方程：

由標(biāo)量形式方程可知，方程中包含了對(duì)電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布函數(shù)的時(shí)間微分運(yùn)算以及空間微分運(yùn)算，以電場(chǎng)為例，其中表示對(duì)時(shí)間的微分運(yùn)算，和表示對(duì)空間的微分運(yùn)算，其中和最終均可以拆解為，，的組合，這四種微分運(yùn)算可以用這種通用的表達(dá)式進(jìn)行描述，其可近似為一種簡(jiǎn)單差分形式： 利用這個(gè)近似運(yùn)算，可以將電場(chǎng)對(duì)時(shí)間的微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換成前一時(shí)刻的電場(chǎng)與后一時(shí)刻電場(chǎng)之間的運(yùn)算關(guān)系。同樣地電場(chǎng)E對(duì)空間微分運(yùn)算轉(zhuǎn)換成前一位置處的電場(chǎng)與后一位置處的電場(chǎng)之間的運(yùn)算關(guān)系 ，因而只要給定了電磁場(chǎng)的初始值和(初始條件)以及邊界值和（邊界條件），即可以基于差分關(guān)系式，通過(guò)不斷的循環(huán)迭代，求解出任意時(shí)刻，任意位置處的電磁場(chǎng)分布和和。 ? 想要深入學(xué)習(xí)FDTD知識(shí)的讀者，可以閱讀IEEE Fellow、美國(guó)西北大學(xué)教授Allen Taflove的教材《Computational Electromanetics：The Finite-Difference Time-Domain Method》，該教材位于《The Electric Engineering Handbooks》（見(jiàn)附件）的第629~670頁(yè)。

MOM（矩量法）：矩量法的的基本數(shù)學(xué)概念最初在20世紀(jì)初被提出，直到20世紀(jì)60年代中期，隨著K. K. Mei教授等研究人員將其引電磁學(xué)的數(shù)值計(jì)算，才逐漸被大家廣泛關(guān)注，1968年，Harrintong教授在其開(kāi)創(chuàng)性的專著《Field Computation by Moment Methods》中對(duì)矩量法進(jìn)行了統(tǒng)一闡述。此后，矩量法得到進(jìn)一步發(fā)展，并被廣泛用于求解各類重要的電磁問(wèn)題。

FDTD和FEM的統(tǒng)治方程均基于微分形式的Maxwell方程，其特點(diǎn)為：1）其通過(guò)直接求解“場(chǎng)”（電場(chǎng)或磁場(chǎng)）滿足的方程來(lái)獲得空間電磁場(chǎng)的分布；2）求解對(duì)象為“微分形式”的Maxwell方程。而MoM則基于一種完全不同的求解思路。 MoM算法理論主要分為兩個(gè)部分：一個(gè)是矩量法支撐理論，主要包括“格林函數(shù)”，“源-場(chǎng)關(guān)系”，“等效原理”三個(gè)子理論，它們是MoM算法如此特立獨(dú)行的根本原因；另一個(gè)則是矩量法計(jì)算理論，主要包括四個(gè)步驟：建立支配方程—>離散—>匹配—>矩陣求解，這與FEM或FDTD算法的求解過(guò)程并無(wú)明顯區(qū)別。詳細(xì)的推理過(guò)程，作者在往期文章“CAE設(shè)計(jì)師的你，有必要了解計(jì)算電磁學(xué)嗎？”中已做了詳盡展示，此處就不在贅述。

FEM（有限元）：1969年，P. P. Silvester使用有限元方法分析了空心波導(dǎo)中波的傳播，這是有限元方法第一次被應(yīng)用于微波工程和電磁學(xué)中。

有限元法基于頻域Maxwell方程，其求解的對(duì)象是時(shí)諧電磁場(chǎng)，即電磁場(chǎng)在時(shí)間維度上是周期性分布，循環(huán)往復(fù)，無(wú)始無(wú)終，時(shí)間變量自然也就失去了意義，電磁場(chǎng)只是空間變量的分布函數(shù)：

其采用了擬合效果更好的四面體網(wǎng)格對(duì)求解區(qū)域體進(jìn)行剖分。

求解空間離散后，緊接著是要空間中待求解的電磁場(chǎng)分布進(jìn)行離散，其核心思想在于尋找到一組展開(kāi)未知解的基函數(shù)： 其中為第j條棱邊的切向分量，為待求的切向分量，而為相應(yīng)棱邊上對(duì)應(yīng)的基函數(shù)，一旦將所有未知量求解出來(lái)，則整個(gè)空間中電場(chǎng)分布就完成了求解。這類似于傅里葉級(jí)數(shù)中使用三角函數(shù)展開(kāi)任意形式的周期函數(shù)，所要做的就是求解每個(gè)基函數(shù)前面系數(shù)，然而對(duì)于形狀不規(guī)則的電磁問(wèn)題，這種基函數(shù)的尋找是及其困難甚至不可能的，有限元法的做法是將目標(biāo)離散成小的單元（三角形，四面體），然后使用非常簡(jiǎn)單的線性函數(shù)或二次函數(shù)來(lái)近似這個(gè)單元上的未知解，這些簡(jiǎn)單的基函數(shù)是一種子域基函數(shù)，其與上文中傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)中的全局基函數(shù)有著很大的不同。利用有限元將目標(biāo)離散，并依據(jù)電場(chǎng)E在空間Ω滿足的波動(dòng)方程和在邊界Γ上滿足的邊界條件條件建立子域基函數(shù)的系數(shù)所滿足的方程組：

該方程未知量為子域基函數(shù)的系數(shù)，完成所有未知量的求解，整個(gè)空間的電場(chǎng)分布既可以表示為子域函數(shù)的疊加。 想要深入學(xué)習(xí)FEM算法的讀者，可以進(jìn)一步閱讀金建銘教授的著作《The Finite Element Method in Electromagnetics》或John L. Volakis教授的著作《Finite Element Method For Electromagnetics》。

階段4：快速計(jì)算傳統(tǒng)的數(shù)值方法（FEM/FDTD/MOM等）精度高，但對(duì)于復(fù)雜電大尺寸目標(biāo)，離散需要的未知量數(shù)目多，計(jì)算存儲(chǔ)巨大，效率低。高頻近似方法（GO/GTD/UTD/PO/PTD等）存儲(chǔ)量要求低，計(jì)算速度快，但是精度難以滿足要求。 尋求精確、高效的數(shù)值建模方法是計(jì)算電磁學(xué)領(lǐng)域高度關(guān)注的重要課題，直到世紀(jì)之交，快速算法的的出現(xiàn)以及后面的迅猛發(fā)展，大大降低了計(jì)算的復(fù)雜度和存儲(chǔ)量。由于胡俊教授所在的電子科大電磁輻射/散射研究團(tuán)隊(duì)研究重點(diǎn)聚焦于“積分方程方法”，因此大會(huì)報(bào)告中關(guān)于“快速算法”的一些進(jìn)展主要圍繞“積分方程展開(kāi)”。積分方程方法的主要特點(diǎn)為：

基于格林函數(shù)：自動(dòng)滿足遠(yuǎn)場(chǎng)輻射條件，無(wú)需設(shè)置吸收邊界條件，沒(méi)有網(wǎng)格截?cái)嗾`差；

等效電流/磁流作為待求未知量：分布在目標(biāo)表面（導(dǎo)體/均勻介質(zhì)）或目標(biāo)體內(nèi)（非均勻介質(zhì)）；

阻抗矩陣元素精確計(jì)算難題：奇異性、近奇異性積分?jǐn)?shù)值計(jì)算；

全局耦合：不同于微分方程產(chǎn)生的稀疏矩陣，積分方程方法導(dǎo)致稠密矩陣，帶來(lái)較高的計(jì)算復(fù)雜度和存儲(chǔ)量；

快速算法按照求解方法可以分為迭代求解技術(shù)和直接求解技術(shù)，其中迭代求解技術(shù)速度更快但是處理病態(tài)矩陣會(huì)存在不收斂的問(wèn)題，直接求解技術(shù)不存在收斂性的問(wèn)題、且適合處理多右端項(xiàng)問(wèn)題。

FMM（快速多級(jí)子）：FMM（快速多級(jí)子算法）最初由耶魯大學(xué)的Rokhlin教授提出，用來(lái)快速求解粒子間的相互作用和靜態(tài)方程。后來(lái)被周永祖（W. C. Chew）教授引入計(jì)算電磁學(xué)，極大的降低了計(jì)算復(fù)雜度和內(nèi)存消耗，其后，國(guó)內(nèi)的聶在平教授帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)獨(dú)立在該領(lǐng)域率先取得突破。

在矩量法中，矩陣向量積的計(jì)算可以等效看成計(jì)算許多電流元的自作用和互作用，即計(jì)算每個(gè)電流元所輻射的被所有電流元接收到的場(chǎng)?？焖俣嗉?jí)子基于這樣的基本思想：首先根據(jù)電流元在空間中的位置將其分成若干組，每一組為相互鄰近電流元的集合，然后基于加法定理，將組內(nèi)不同電流元從不同中心發(fā)出的輻射場(chǎng)變換成一個(gè)共同中心輻射的場(chǎng)。

通俗的理解，可以參考往期文章“CAE設(shè)計(jì)師的你，有必要了解計(jì)算電磁學(xué)嗎？”中“跨省快遞”的類比，由圖可知：快速多級(jí)子算法極大的降低單元之間耦合的計(jì)算量。

CG-FFT（共軛梯度-快速傅里葉變換）：歷史上第一個(gè)為計(jì)算電磁學(xué)開(kāi)發(fā)的快速算法是共軛梯度-快速傅里葉變換法，因?yàn)槠浜?jiǎn)單性，這種方法至今依然是最有效的快速算法。算法的核心思想是將矩量法的矩陣分解成近相互作用和遠(yuǎn)相互作用兩個(gè)部分，這一思想與后來(lái)的快速多級(jí)子具有相同的核心思想。 有關(guān)共軛梯度-快速傅里葉變換算法（CG-FFT）的更加深入的數(shù)理推演，受限于作者目前的認(rèn)知水平和精力，只能暫時(shí)先留下相關(guān)學(xué)習(xí)著作和參考文獻(xiàn)，以備后續(xù)深入學(xué)習(xí)之需要，互勉。

以上簡(jiǎn)單介紹了基于迭代求解技術(shù)的兩種快速算法，有關(guān)直接求解方法等更多關(guān)于“快速算法”研究方向的讀者，可以進(jìn)一步閱讀2013年《Proceedings of The IEEE》雜志第二期關(guān)于“快速算法”的?？?，其中系統(tǒng)就快速算法的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了討論和展示，文末附件摘取了部分文章以供閱讀。

延申：基于積分方程方法的一些最新進(jìn)展由于胡俊教授所在的研究團(tuán)隊(duì)主要致力于“積分方程方法”的研究，因此電磁計(jì)算目前最前沿的研究“引申”也主要圍繞積分方程方法（IE）展開(kāi)。 隨著電磁計(jì)算方法應(yīng)用的日益廣泛，所要面對(duì)的求解問(wèn)題也越來(lái)越復(fù)雜，復(fù)雜目標(biāo)電磁建模面對(duì)的困難主要分為以下幾個(gè)方面：

目標(biāo)由介質(zhì)/金屬組成，多媒質(zhì)問(wèn)題；

細(xì)微于宏觀結(jié)構(gòu)并存，多尺度問(wèn)題；

目標(biāo)電大尺寸/超電大尺寸問(wèn)題；

散射強(qiáng)度較低（隱身），計(jì)算精確性要求高；

多尺度多媒質(zhì)目標(biāo)計(jì)算的收斂性差；

圍繞這些問(wèn)題，主要的研究思路有：1）發(fā)展區(qū)域分解方法；2）發(fā)展直接求解器......DDM（Domain Decomposition Method區(qū)域分解算法）2013年，IEEE Fellow、俄亥俄州立大學(xué)教授Jin-Fa Lee的學(xué)生Zhen Peng發(fā)表了題為《A Discontinuous Galerkin Surface Integral Equation Method for Electromagnetic Wave Scattering From Nonpenetrable Targets》，并于次年獲得“謝昆諾夫最佳論文獎(jiǎng)”，帶動(dòng)了一股積分方程區(qū)域分解方法（IE-DDM）的研究潮。

傳統(tǒng)積分方程方法（Integral Equation），如我們?cè)贔EKO仿真軟件中使用的矩量法（MOM）或基于其上改進(jìn)的多層快速多級(jí)子算法（MLFMM），由于需要保持剖分網(wǎng)格在棱邊上不會(huì)產(chǎn)生電荷積累，因此對(duì)網(wǎng)格的要求是一定要共形，即所有的剖分單元都要共邊。這也有就是為什么使用FEKO對(duì)相接觸的模型進(jìn)行剖分時(shí)，必須要union，以確保相鄰模型會(huì)一體化剖分，維持共形條件。

網(wǎng)格共形的要求對(duì)于處理一些類似于“多尺度問(wèn)題”時(shí)（同時(shí)包含有精細(xì)結(jié)構(gòu)和平坦結(jié)構(gòu)），則會(huì)遇到較大麻煩：如下圖所示的尖錐模型的剖分示意圖，如果需要較好的擬合頭部（精細(xì)結(jié)構(gòu)）形狀，則剖分尺寸較小，根部平坦區(qū)域的網(wǎng)格則顯得過(guò)于致密，網(wǎng)格數(shù)量多，如果按照根部平坦區(qū)域去設(shè)置剖分尺寸，則網(wǎng)格對(duì)于頭部區(qū)域的擬合則會(huì)出現(xiàn)的失真現(xiàn)象，影響計(jì)算精度；同時(shí)，網(wǎng)格尺寸在模型表面過(guò)快的增長(zhǎng)也會(huì)帶來(lái)矩陣性態(tài)的惡化，從而導(dǎo)致收斂性變差的問(wèn)題。

IE-DDM的思想就是按照模型的精細(xì)程度進(jìn)行分類，不同區(qū)域按照不同的剖分尺寸進(jìn)行進(jìn)行剖分，分別計(jì)算，分而治之。其主要克服的難點(diǎn)就在于解決網(wǎng)格不連續(xù)處的電荷積累問(wèn)題，具體的理論推演可以閱讀Zhen Peng的原文，這里就不作展開(kāi)了。

文中，作者挑戰(zhàn)了一個(gè)包含天線罩、機(jī)載天線、進(jìn)氣道、掛載武器等多種令積分方程較為頭疼部件的F-16戰(zhàn)斗機(jī)整機(jī)的的電磁計(jì)算問(wèn)題。分別計(jì)算了戰(zhàn)機(jī)在3GHz和10GHz頻率下的表面電流分布。

Directive solver（直接求解方法）圍繞著“積分方程”方法，發(fā)展了兩種求解思路，一種類似于上文中所提到的共軛梯度-快速傅里葉變換算法和快速多級(jí)子算法的迭代求解方法。這類方法計(jì)算速度快、內(nèi)存消耗小，針對(duì)絕大部分電磁計(jì)算問(wèn)題，不失為最優(yōu)選擇。但是不太適用于以下情況：

病態(tài)矩陣系統(tǒng)（強(qiáng)諧振、多尺度結(jié)構(gòu)）

多右端項(xiàng)問(wèn)題（單站RCS、不確定性量化）

系統(tǒng)部分更新（逆散射問(wèn)題、閉環(huán)優(yōu)化）

遇到這些情景時(shí)，高效的直接求解算法可能成為更好的選擇。直接求解方法圍繞散射矩陣，直接開(kāi)展計(jì)算，因此不存在收斂的問(wèn)題，且對(duì)于多右端項(xiàng)問(wèn)題，只需計(jì)算一種狀態(tài)，其余狀態(tài)即可快速給出，因此狀態(tài)非常多時(shí)，也不失為一個(gè)好的選擇。 高效的直接求解算法，則是針對(duì)“傳統(tǒng)直接求解算法”矩陣計(jì)算速度太慢、內(nèi)存消耗太大的問(wèn)題而開(kāi)展的，一般基于低秩壓縮，主要方法有：

改進(jìn)型HODLR矩陣方法

增強(qiáng)型Skeletonization方法

Butterfy方法

詳細(xì)的介紹，由于并不是作者了解的領(lǐng)域，暫時(shí)不做展開(kāi)，留下一些相關(guān)參考文獻(xiàn)，以備后續(xù)深入學(xué)習(xí)。

總結(jié)參考電子科技大學(xué)胡俊教授的大會(huì)演講視頻以及UIUC教授金建銘的著作《計(jì)算電磁學(xué)》，完成了“電磁計(jì)算方法的發(fā)展與展望”一文，希望通過(guò)此文，一方面幫助各位讀者更加體系性的了解計(jì)算電磁學(xué)的發(fā)展歷程以及主要算法的核心概念；另一方面整理了各類電磁計(jì)算方法的開(kāi)山之作以及經(jīng)典專著，作為一個(gè)入口，便于有志者更快的深入相關(guān)主題。

審核編輯 ：李倩