麥克斯韋方程組是一組描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。它由四個(gè)方程組成：描述電荷如何產(chǎn)生電場(chǎng)的高斯定律、論述磁單極子不存在的高斯磁定律、描述電流和時(shí)變電場(chǎng)怎樣產(chǎn)生磁場(chǎng)的麥克斯韋-安培定律、描述時(shí)變磁場(chǎng)如何產(chǎn)生電場(chǎng)的法拉第感應(yīng)定律。四個(gè)方程中，兩個(gè)方程涉及到散度，另外兩個(gè)方程涉及到旋度。散度和旋度是對(duì)向量場(chǎng)進(jìn)行微分運(yùn)算的兩種方式，它們可以用來(lái)刻畫(huà)向量場(chǎng)的性質(zhì)。那么，散度和旋度具體有什么物理意義呢？

散度

散度是一個(gè)標(biāo)量，它表示一個(gè)向量場(chǎng)在某一點(diǎn)處的發(fā)散程度。如果一個(gè)向量場(chǎng)在某一點(diǎn)處的散度為正，那么說(shuō)明該點(diǎn)附近有向量從內(nèi)部向外部發(fā)散；如果為負(fù)，那么說(shuō)明有向量從外部向內(nèi)部匯聚；如果為零，那么說(shuō)明該點(diǎn)附近向量場(chǎng)沒(méi)有發(fā)散或收斂的趨勢(shì)。散度的物理意義是，如果在一個(gè)向量場(chǎng)中取一個(gè)小閉合曲面，那么該曲面上的向量通量與曲面包圍的體積成正比。

在麥克斯韋方程組中，高斯定律和高斯磁定律都涉及到了散度。高斯定律可以表示成如下形式：??E=ρ/ε_(tái)0。其中?·表示散度運(yùn)算，E表示電場(chǎng)強(qiáng)度，ρ表示電荷密度，ε_(tái)0表示真空中的介電常數(shù)。這個(gè)方程告訴我們，電場(chǎng)在某一點(diǎn)處的散度等于該點(diǎn)處單位體積內(nèi)的凈電荷除以真空介電常數(shù)。也就是說(shuō)，電荷是產(chǎn)生電場(chǎng)散度的源頭。如果某一點(diǎn)處有正電荷，那么該點(diǎn)處的電場(chǎng)散度為正，說(shuō)明有電場(chǎng)線從該點(diǎn)向外發(fā)散；如果有負(fù)電荷，那么該點(diǎn)處的電場(chǎng)散度為負(fù)，說(shuō)明有電場(chǎng)線從外部向該點(diǎn)匯聚；如果沒(méi)有凈電荷，那么該點(diǎn)處的電場(chǎng)散度為零，說(shuō)明該點(diǎn)附近電場(chǎng)沒(méi)有發(fā)散或收斂的趨勢(shì)。

另一方面，高斯磁定律可以寫(xiě)成如下的微分形式：??B=0。其中B表示磁場(chǎng)強(qiáng)度。這個(gè)方程告訴我們，磁場(chǎng)在某一點(diǎn)處的散度等于零，也就是說(shuō)，該點(diǎn)附近沒(méi)有磁荷或磁單極子。如果某一點(diǎn)處有磁荷，那么該點(diǎn)處的磁場(chǎng)散度不為零，說(shuō)明有磁場(chǎng)線從該點(diǎn)向外發(fā)散或從外部向該點(diǎn)收斂。但是，目前還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何證據(jù)表明磁單極子的存在，因此高斯磁定律是一個(gè)普遍成立的定律。

旋度

旋度是一個(gè)向量，它表示一個(gè)向量場(chǎng)在某一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)程度。旋度的物理意義是，如果在一個(gè)向量場(chǎng)中取一個(gè)小閉合回路，那么該回路上的向量環(huán)流與回路包圍的面積成正比。旋度的方向由右手定則確定，即如果右手四指沿著回路方向彎曲，那么大拇指指向的方向就是旋度的方向。如果旋度不為零，表示向量場(chǎng)在該點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)性；如果旋度為零，表示向量場(chǎng)在該點(diǎn)無(wú)旋轉(zhuǎn)性。法拉第感應(yīng)定律可以寫(xiě)成?×E=??B/?t，其中?×表示旋度運(yùn)算。它告訴我們，當(dāng)一個(gè)閉合回路在一個(gè)變化的磁場(chǎng)中時(shí)，會(huì)在回路上感應(yīng)出一個(gè)電動(dòng)勢(shì)，從而產(chǎn)生電流。這個(gè)電動(dòng)勢(shì)的大小等于回路包圍的面積內(nèi)磁通量的變化率的負(fù)值。

從公式可以看出，感應(yīng)電場(chǎng)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)性的場(chǎng)，它的旋度方向垂直于磁通量的變化方向。這樣，我們就可以用右手定則來(lái)判斷感應(yīng)電流的方向：如果右手大拇指指向磁通量增加的方向，那么右手四指彎曲的方向就是感應(yīng)電流的方向。同樣地，麥克斯韋-安培定律可以表示為：?×B=μ_0（J+ε_(tái)0?E/?t），它告訴我們，當(dāng)一個(gè)閉合回路在一個(gè)變化的電場(chǎng)中時(shí)，會(huì)在回路上產(chǎn)生一個(gè)磁動(dòng)勢(shì)，從而形成磁場(chǎng)。從公式我們可以看出，產(chǎn)生磁場(chǎng)的原因有兩個(gè)：一是電流，二是變化的電場(chǎng)。這兩個(gè)因素都會(huì)使得磁場(chǎng)具有旋轉(zhuǎn)性，它們的旋度方向垂直于電流或電場(chǎng)矢量的變化方向。這樣，我們也可以用右手定則來(lái)判斷磁場(chǎng)線的方向：如果右手四指指向電流或電位移矢量增加的方向，那么右手大拇指指向的方向就是磁場(chǎng)線的方向。

通過(guò)以上分析，我們可以發(fā)現(xiàn)，散度和旋度是描述電磁場(chǎng)分布和變化的兩個(gè)重要工具。散度反映了電荷或磁單極子（如果存在）對(duì)電場(chǎng)或磁場(chǎng)的影響；旋度反映了時(shí)變電場(chǎng)或時(shí)變磁場(chǎng)對(duì)彼此產(chǎn)生影響的方式。麥克斯韋方程組用散度和旋度將四個(gè)基本定律統(tǒng)一起來(lái)，揭示了電磁現(xiàn)象背后的普遍規(guī)律。

編輯：黃飛