麥克斯韋方程組

麥克斯韋方程組（英語(yǔ)：Maxwell's equations）是英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋在19世紀(jì)建立的描述電磁場(chǎng)的基本方程組。

它含有四個(gè)方程，不僅分別描述了電場(chǎng)和磁場(chǎng)的行為，描述了它們之間的關(guān)系。

在麥克斯韋方程組中，電場(chǎng)和磁場(chǎng)已經(jīng)成為一個(gè)不可分割的整體。

該方程組系統(tǒng)而完整地概括了電磁場(chǎng)的基本規(guī)律，并預(yù)言了電磁波的存在。

麥克斯韋提出的渦旋電場(chǎng)和位移電流假說(shuō)的核心思想是：

變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)渦旋電場(chǎng)，變化的電場(chǎng)可以激發(fā)渦旋磁場(chǎng)；

電場(chǎng)和磁場(chǎng)不是彼此孤立的，它們相互聯(lián)系、相互激發(fā)組成一個(gè)統(tǒng)一的電磁場(chǎng)

（也是電磁波的形成原理）。

麥克斯韋進(jìn)一步將電場(chǎng)和磁場(chǎng)的所有規(guī)律綜合起來(lái)，建立了完整的電磁場(chǎng)理論體系。

這個(gè)電磁場(chǎng)理論體系的核心就是麥克斯韋方程組。

麥克斯韋方程組，是英國(guó)物理學(xué)家詹姆斯·麥克斯韋在19世紀(jì)建立的一組描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)與電荷密度、電流密度之間關(guān)系的偏微分方程。

從麥克斯韋方程組，可以推論出光波是電磁波。

麥克斯韋方程組和洛倫茲力方程是經(jīng)典電磁學(xué)的基礎(chǔ)方程。

從這些基礎(chǔ)方程的相關(guān)理論，發(fā)展出現(xiàn)代的電力科技與電子科技。

麥克斯韋1865年提出的最初形式的方程組由20個(gè)等式和20個(gè)變量組成。

他在1873年嘗試用四元數(shù)來(lái)表達(dá)，但未成功。

現(xiàn)在所使用的數(shù)學(xué)形式是奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表達(dá)的。

麥克斯韋方程組的地位

麥克斯韋方程組在電磁學(xué)中的地位，如同牛頓運(yùn)動(dòng)定律在力學(xué)中的地位一樣。

以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經(jīng)典物理學(xué)最引以自豪的成就之一。

它所揭示出的電磁相互作用的完美統(tǒng)一，為物理學(xué)家樹(shù)立了這樣一種信念：

物質(zhì)的各種相互作用在更高層次上應(yīng)該是統(tǒng)一的。

另外，這個(gè)理論被廣泛地應(yīng)用到技術(shù)領(lǐng)域。

1845年，關(guān)于電磁現(xiàn)象的三個(gè)最基本的實(shí)驗(yàn)定律：

庫(kù)侖定律（1785年）;

安培—畢奧—薩伐爾定律（1820年）;

法拉第定律（1831-1845年）已被總結(jié)出來(lái);

法拉第的“電力線”和“磁力線”概念已發(fā)展成“電磁場(chǎng)概念”。

場(chǎng)概念的產(chǎn)生，也有麥克斯韋的一份功勞，這是當(dāng)時(shí)物理學(xué)中一個(gè)偉大的創(chuàng)舉，因?yàn)檎菆?chǎng)概念的出現(xiàn)，使當(dāng)時(shí)許多物理學(xué)家得以從牛頓“超距觀念”的束縛中擺脫出來(lái)，普遍地接受了電磁作用和引力作用都是“近距作用”的思想。

1855年至1865年，麥克斯韋在全面地審視了庫(kù)侖定律、安培—畢奧—薩伐爾定律和法拉第定律的基礎(chǔ)上，把數(shù)學(xué)分析方法帶進(jìn)了電磁學(xué)的研究領(lǐng)域，由此導(dǎo)致麥克斯韋電磁理論的誕生。

麥克斯韋方程組的積分形式:

（1）描述了電場(chǎng)的性質(zhì)。

電荷是如何產(chǎn)生電場(chǎng)的高斯定理。

（靜電場(chǎng)的高斯定理）

電場(chǎng)強(qiáng)度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。

電場(chǎng)E （矢量）通過(guò)任一閉曲面的通量，即對(duì)該曲面的積分等于4π乘以該曲面所包圍的總電荷量。

靜電場(chǎng)（見(jiàn)電場(chǎng)）的基本方程之一，它給出了電場(chǎng)強(qiáng)度在任意封閉曲面上的面積分和包圍在封閉曲面內(nèi)的總電量之間的關(guān)系。

根據(jù)庫(kù)侖定律可以證明電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)任意封閉曲面的通量正比于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和，

通過(guò)任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數(shù)和與電常數(shù)之比。

電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)任意封閉曲面的通量只取決于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和，與曲面內(nèi)電荷的分布情況無(wú)關(guān)，與封閉曲面外的電荷亦無(wú)關(guān)。

在真空的情況下,Σq是包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和。

當(dāng)存在介質(zhì)時(shí),Σq應(yīng)理解為包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷和極化電荷的總和。

在靜電場(chǎng)中，由于自然界中存在著獨(dú)立的電荷，所以電場(chǎng)線有起點(diǎn)和終點(diǎn)，只要閉合面內(nèi)有凈余的正（或負(fù)）電荷，穿過(guò)閉合面的電通量就不等于零，即靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)；

高斯定理反映了靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)這一特性。

凡是有正電荷的地方，必有電力線發(fā)出；凡是有負(fù)電荷的地方，必有電力線會(huì)聚。

正電荷是電力線的源頭，負(fù)電荷是電力線的尾閭。

高斯定理是從庫(kù)侖定律直接導(dǎo)出的，它完全依賴于電荷間作用力的二次方反比律。

把高斯定理應(yīng)用于處在靜電平衡條件下的金屬導(dǎo)體，就得到導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)凈電荷的結(jié)論，因而測(cè)定導(dǎo)體內(nèi)部是否有凈電荷是檢驗(yàn)庫(kù)侖定律的重要方法。

對(duì)于某些對(duì)稱(chēng)分布的電場(chǎng),如均勻帶電球的電場(chǎng),無(wú)限大均勻帶電面的電場(chǎng)以及無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱的電場(chǎng)，可直接用高斯定理計(jì)算它們的電場(chǎng)強(qiáng)度。

電位移對(duì)任一面積的能量為電通量，因而電位移亦稱(chēng)電通密度。

（2）描述了變化的磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)的規(guī)律。

磁場(chǎng)是如何產(chǎn)生電場(chǎng)的法拉第電磁感應(yīng)定律。

（靜電場(chǎng)的環(huán)路定理）

在沒(méi)有自由電荷的空間，由變化磁場(chǎng)激發(fā)的渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)線是一系列的閉合曲線。

在一般情況下，電場(chǎng)可以是庫(kù)侖電場(chǎng)也可以是變化磁場(chǎng)激發(fā)的感應(yīng)電場(chǎng)，而感應(yīng)電場(chǎng)是渦旋場(chǎng)，它的電位移線是閉合的，對(duì)封閉曲面的通量無(wú)貢獻(xiàn)。

麥克斯韋提出的渦旋電場(chǎng)的概念，揭示出變化的磁場(chǎng)可以在空間激發(fā)電場(chǎng)，并通過(guò)法拉第電磁感應(yīng)定律得出了二者的關(guān)系，上式表明，任何隨時(shí)間而變化的磁場(chǎng)，都是和渦旋電場(chǎng)聯(lián)系在一起的。

（3）描述了磁場(chǎng)的性質(zhì)。

論述了磁單極子的不存在的高斯磁定律

（穩(wěn)恒磁場(chǎng)的高斯定理）

在磁場(chǎng)中，由于自然界中沒(méi)有單獨(dú)的磁極存在，N極和S極是不能分離的，磁感線都是無(wú)頭無(wú)尾的閉合線，所以通過(guò)任何閉合面的磁通量必等于零。

由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進(jìn)入一個(gè)閉合曲面的磁力線必定會(huì)從曲面內(nèi)部出來(lái)，否則這條磁力線就不會(huì)閉合起來(lái)了。如果對(duì)于一個(gè)閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進(jìn)入曲面的磁通量為負(fù)，出來(lái)的磁通量為正，那么就可以得到通過(guò)一個(gè)閉合曲面的總磁通量為0。

這個(gè)規(guī)律類(lèi)似于電場(chǎng)中的高斯定理，因此也稱(chēng)為高斯定理。

（4）描述了變化的電場(chǎng)激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律。

電流和變化的電場(chǎng)是怎樣產(chǎn)生磁場(chǎng)的麥克斯韋-安培定律。

（磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理）

變化的電場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)和傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)相同，都是渦旋狀的場(chǎng)，磁感線是閉合線。因此，磁場(chǎng)的高斯定理仍適用。

在穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度H沿任何閉合路徑的線積分，等于這閉合路徑所包圍的各個(gè)電流之代數(shù)和。

磁場(chǎng)可以由傳導(dǎo)電流激發(fā)，也可以由變化電場(chǎng)的位移電流所激發(fā)，它們的磁場(chǎng)都是渦旋場(chǎng)，磁感應(yīng)線都是閉合線，對(duì)封閉曲面的通量無(wú)貢獻(xiàn)。

麥克斯韋提出的位移電流的概念，揭示出變化的電場(chǎng)可以在空間激發(fā)磁場(chǎng)，并通過(guò)全電流概念的引入，得到了一般形式下的安培環(huán)路定理在真空或介質(zhì)中的表示形式，上式表明，任何隨時(shí)間而變化的電場(chǎng)，都是和磁場(chǎng)聯(lián)系在一起的。

合體：

式中H為磁場(chǎng)強(qiáng)度,D為電通量密度,E為電場(chǎng)強(qiáng)度，B為磁通密度。

在采用其他單位制時(shí),方程中有些項(xiàng)將出現(xiàn)一常數(shù)因子,如光速c等。

上面四個(gè)方程組成：

描述電荷如何產(chǎn)生電場(chǎng)的高斯定律、

描述時(shí)變磁場(chǎng)如何產(chǎn)生電場(chǎng)的法拉第感應(yīng)定律、

論述磁單極子不存在的高斯磁定律、

描述電流和時(shí)變電場(chǎng)怎樣產(chǎn)生磁場(chǎng)的麥克斯韋-安培定律。

綜合上述可知，變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)彼此不是孤立的，它們永遠(yuǎn)密切地聯(lián)系在一起，相互激發(fā)，組成一個(gè)統(tǒng)一的電磁場(chǎng)的整體。

這就是麥克斯韋電磁場(chǎng)理論的基本概念。

麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區(qū)域的電磁場(chǎng)量(D、E、B、H)和場(chǎng)源(電荷q、電流I)之間的關(guān)系。

麥克斯韋方程組微分形式：

式中J為電流密度,，ρ為電荷密度。

H為磁場(chǎng)強(qiáng)度,D為電通量密度,E為電場(chǎng)強(qiáng)度，B為磁通密度。

上圖分別表示為：

（1）磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度（全電流定律）等于該點(diǎn)處傳導(dǎo)電流密度 與位移電流密度 的矢量和；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度（法拉第電磁感應(yīng)定律）等于該點(diǎn)處磁感強(qiáng)度變化率的負(fù)值；
（3）磁感強(qiáng)度的散度處處等于零 （磁通連續(xù)性原理） 。
（4）電位移的散度等于該點(diǎn)處自由電荷的體密度 （高斯定理） 。

在電磁場(chǎng)的實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常要知道空間逐點(diǎn)的電磁場(chǎng)量和電荷、電流之間的關(guān)系。

從數(shù)學(xué)形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。

上面的微分形式分別表示：

（1）電位移的散度等于該點(diǎn)處自由電荷的體密度 （高斯定理） 。
（2）磁感強(qiáng)度的散度處處等于零 （磁通連續(xù)性原理） 。
（3）電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度（法拉第電磁感應(yīng)定律）等于該點(diǎn)處磁感強(qiáng)度變化率的負(fù)值；
（4）磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度（全電流定律）等于該點(diǎn)處傳導(dǎo)電流密度 與位移電流密度 的矢量和；

利用矢量分析方法，可得：

(1)在不同的慣性參照系中，麥克斯韋方程有同樣的形式。
(2) 應(yīng)用麥克斯韋方程組解決實(shí)際問(wèn)題，還要考慮介質(zhì)對(duì)電磁場(chǎng)的影響。
例如在各向同性介質(zhì)中，電磁場(chǎng)量與介質(zhì)特性量有下列關(guān)系：
在非均勻介質(zhì)中，還要考慮電磁場(chǎng)量在界面上的邊值關(guān)系。
在利用t=0時(shí)場(chǎng)量的初值條件，原則上可以求出任一時(shí)刻空間任一點(diǎn)的電磁場(chǎng)，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。

科學(xué)意義

經(jīng)典場(chǎng)論是19世紀(jì)后期麥克斯韋在總結(jié)電磁學(xué)三大實(shí)驗(yàn)定律，并把它與力學(xué)模型進(jìn)行類(lèi)比的基礎(chǔ)上創(chuàng)立起來(lái)的。

但麥克斯韋的主要功績(jī)恰恰是他能夠跳出經(jīng)典力學(xué)框架的束縛：

在物理上以"場(chǎng)"而不是以"力"作為基本的研究對(duì)象，在數(shù)學(xué)上引入了有別于經(jīng)典數(shù)學(xué)的矢量偏微分運(yùn)算符。

這兩條是發(fā)現(xiàn)電磁波方程的基礎(chǔ)。

這就是說(shuō)，實(shí)際上麥克斯韋的工作已經(jīng)沖破經(jīng)典物理學(xué)和經(jīng)典數(shù)學(xué)的框架，只是由于當(dāng)時(shí)的歷史條件，人們?nèi)匀恢荒軓呐ｎD的經(jīng)典數(shù)學(xué)和力學(xué)的框架去理解電磁場(chǎng)理論。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)，Hilbert空間中的數(shù)學(xué)分析是在19世紀(jì)與20世紀(jì)之交的時(shí)候才出現(xiàn)的。

而量子力學(xué)的物質(zhì)波的概念則在更晚的時(shí)候才被發(fā)現(xiàn)，特別是對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)與量子物理學(xué)之間的不可分割的數(shù)理邏輯聯(lián)系至今也還沒(méi)有完全被人們所理解和接受。

從麥克斯韋建立電磁場(chǎng)理論到現(xiàn)在，人們一直以歐氏空間中的經(jīng)典數(shù)學(xué)作為求解麥克斯韋方程組的基本方法。

我們從麥克斯韋方程組的產(chǎn)生,形式,內(nèi)容和它的歷史過(guò)程中可以看到：

第一，物理對(duì)象是在更深的層次上發(fā)展成為新的公理表達(dá)方式而被人類(lèi)所掌握，所以科學(xué)的進(jìn)步不會(huì)是在既定的前提下演進(jìn)的，一種新的具有認(rèn)識(shí)意義的公理體系的建立才是科學(xué)理論進(jìn)步的標(biāo)志。

第二，物理對(duì)象與對(duì)它的表達(dá)方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達(dá)方法就無(wú)法認(rèn)識(shí)到這個(gè)對(duì)象的"存在"。

第三，我們正在建立的理論將決定到我們?cè)诤畏N層次的意義上使我們的對(duì)象成為物理事實(shí),這正是現(xiàn)代最前沿的物理學(xué)所給我們帶來(lái)的困惑。

麥克斯韋方程組揭示了電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互轉(zhuǎn)化中產(chǎn)生的對(duì)稱(chēng)性優(yōu)美，這種優(yōu)美以現(xiàn)代數(shù)學(xué)形式得到充分的表達(dá)。

但是，我們一方面應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式才能充分展示經(jīng)驗(yàn)方法中看不到的整體性(電磁對(duì)稱(chēng)性)，但另一方面，我們也不應(yīng)當(dāng)忘記，這種對(duì)稱(chēng)性的優(yōu)美是以數(shù)學(xué)形式反映出來(lái)的電磁場(chǎng)的統(tǒng)一本質(zhì)。

因此我們應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到應(yīng)在數(shù)學(xué)的表達(dá)方式中"發(fā)現(xiàn)"或"看出" 了這種對(duì)稱(chēng)性，而不是從物理數(shù)學(xué)公式中直接推演出這種本質(zhì)。

審核編輯：郭婷