射頻技術的故事，要從麥克斯韋和他的方程組講起。對很多行業(yè)的人來說，麥克斯韋這個名字或許有些陌生—— 他的名氣似乎遠不及電學領域的安培、法拉第，也比不上發(fā)明大王愛迪生、交流電先驅特斯拉。但對每一個射頻人而言，他卻是不折不扣的 “祖師爺”：是他第一個預言了電磁波的存在，第一個將電與磁的規(guī)律統(tǒng)一成完整體系，第一個揭示了電磁波與光的統(tǒng)一性，更是我們?nèi)缃襁@個無線通信時代的 “奠基者”。所以，當我們刷著抖音、玩著王者，享受無線連接帶來的便利時，別忘了背后站著這位用方程點亮無線世界的先驅 —— 麥克斯韋。

圖1 麥克斯韋和麥克斯韋方程的微積分形式

麥克斯韋方程組，就是圖 1 里的那兩組公式：左邊是微分形式，右邊是積分形式。對不少 “高等數(shù)學恐懼癥” 患者來說，這組方程簡直是 “勸退現(xiàn)場”—— 微積分符號看得人頭暈，那個倒三角▽像個神秘符號，中間帶圈的符號更是讓人摸不著頭腦。我當初也一樣：公式里的 E、B、ρ 這些字母代表什么意思還能看懂，但前面的符號是啥？它們又在表達什么規(guī)律？

直到朋友圈里兩篇爆文的出現(xiàn)，才讓我對這組方程有了新的認識——《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）》《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（積分篇）》。那陣子，這兩篇文章幾乎刷爆了所有射頻人的朋友圈：原來祖師爺留下的 “硬核知識”，也能被解讀得這么通透易懂？于是我也跟著 “啃起了硬骨頭”，拼命查資料、翻論文，甚至把麥克斯韋當年的三篇經(jīng)典著作都翻了出來 ——《論物理力線》（1861）、《電磁場的動力學理論》（1865）、《電磁學通論》第二卷（1873 年，牛津大學克拉倫登出版社）。坦白說，這些一百多年前的文字讀起來并不容易：古英語的表述方式、略顯晦澀的推導邏輯，越讀越覺得自己像在 “啃天書”

但或許，我們可以換個角度：先拋開那些復雜的運算符號，從物理意義入手理解麥克斯韋方程組，會不會更容易些？

先看第一個方程。不管是微分形式還是積分形式，左邊都是對電場 E 的操作，右邊則是和電荷相關的量 —— 微分形式里是電荷密度 ρ，積分形式里是總電荷 Q。說白了，它描述的就是電場和電荷的關系。這一點，很多中學生都能脫口而出：電荷會產(chǎn)生電場。理解了這層，再看微分和積分形式就簡單了：微分，就像把一個大物體切成無數(shù)小塊，看每一小塊的電場與電荷的關系；積分，則是把這些小塊 “拼” 回去，看整個封閉曲面內(nèi)的總電場與總電荷的關系。所以麥克斯韋方程組第一個方程的微分形式，說的是 “當我們觀察一個無限小的封閉曲面時，電場的特性由這一小塊空間里的電荷密度 ρ 決定”；積分形式則是 “某個封閉曲面內(nèi)的電場總和，等于這個曲面里包含的總電荷量”。更進一步說，電場是 “有源的”，而產(chǎn)生它的 “源”，就是電荷。這其實就是我們中學學過的 “電場高斯定律”，是庫倫定律的延伸。配合圖示理解，這種 “電荷生電場” 的關系會更清晰。

相應地，第二個方程就好理解了。左邊的量從電場 E 變成了磁感應強度 B，右邊則變成了 0。這又是什么意思呢？比如微分形式，說的是 “一個無限小的封閉曲面內(nèi)，磁通量等于 0”；積分形式則是 “任意封閉曲面內(nèi)的總磁通量之和為 0”。

之所以會這樣，是因為磁場的磁力線永遠是閉合的：一個磁體，無論你怎么切割，它總有 N 極和 S 極，磁力線從 N 極出發(fā)，必然會回到 S 極。這意味著，任何封閉曲面內(nèi) “穿進” 多少磁力線，就會 “穿出” 多少，總和永遠是 0。換句話說，自然界中不存在 “單磁體”（比如只有 N 極或只有 S 極的磁體）。雖然科學家們至今還在努力尋找單磁體，但至少目前，這個方程依然成立。想想看，這條 “高斯磁定律” 是高斯在 200 多年前提出的。

后面兩個方程，就更能體現(xiàn)麥克斯韋方程組的“精妙” 了。它們的左邊是描述空間特性的量，右邊是描述時間變化的量 —— 當 “空間” 和 “時間” 在這里相遇，就產(chǎn)生了奇妙的 “變化”。更有意思的是，方程的一側是電場 E 或電位移 D，另一側是磁感應強度 B 或磁場強度 H（注意，E、D、B、H 都是矢量，頭頂上都該帶箭頭）。也就是說，通過 “變化”，電場和磁場被緊緊聯(lián)系在了一起。

先看第三個方程：隨時間變化的磁場，能產(chǎn)生電場。這是法拉第經(jīng)過無數(shù)次實驗得出的結論，也是電動機的原理—— 正因為 “變化的磁場生電場”，人類才從蒸汽時代邁入了電力時代。不過要注意，這里的感應電場和電荷產(chǎn)生的電場不一樣：電荷產(chǎn)生的電場是 “發(fā)散的”，而感應電場是 “漩渦狀” 的，就像水流中的漩渦，所以也叫 “漩渦場”。

第四個方程，則是麥克斯韋方程組的“點睛之筆”。它告訴我們：不僅電流 J 能產(chǎn)生磁場，變化的電場也能產(chǎn)生磁場。正是這一點，讓電和磁實現(xiàn)了 “歷史性握手”：變化的電場生磁場，變化的磁場又生電場，如此交替往復，就形成了向前傳播的電磁波。我們今天的無線電通信、手機信號、衛(wèi)星傳輸，都是靠這種 “交替并進” 的電磁波傳遞信息的?？梢哉f，正是這兩個方程，讓 “電” 和 “磁” 不再是孤立的現(xiàn)象，而是統(tǒng)一成了 “電磁場”，為無線時代埋下了伏筆。

講到這里，或許你對麥克斯韋方程組已經(jīng)有了些感覺。這時候再回頭看那些奇怪的數(shù)學符號，可能就沒那么“可怕” 了。那個倒三角▽，名叫 “哈密頓算子”，讀作 “那勃樂”，它代表著對 x、y、z 三維坐標系的微分運算，而且在運算中既保留了微分的特性，又帶著矢量的 “方向感”，就像一把 “矢量手術刀”，能精準 “切割” 空間中的場分布。

運算方式：

向量點乘：（內(nèi)積）

點乘（Dot Product）的結果是點積，又稱數(shù)量積或標量積（Scalar Product）。從代數(shù)角度看，點積是對兩個向量對應位置上的值相乘再相加的操作，其結果即為點積。從幾何角度看，點積是兩個向量的長度與它們夾角余弦的積。

具體來說，▽?描述的是散度，它描述的是矢量場“發(fā)散” 的強弱。從物理意義上看，它表示矢量場的 “有源性”：如果散度大于 0，說明這個矢量場在這一點有 “正源”（比如正電荷周圍的電場，像泉水一樣向外發(fā)散）；如果散度小于 0，說明有 “負源”（比如負電荷周圍的電場，像下水道一樣向內(nèi)匯聚）；如果散度等于 0，就說明這里沒有 “源”（比如磁場的散度永遠為 0，因為沒有單磁體）。

向量叉乘：（外積）

叉乘（Cross Product）又稱向量積（Vector Product）。對于三維空間中的兩個向量，叉乘的結果是一個新向量 a×b。模長（大?。翰娉私Y果向量的模長等于兩個原始向量的模長與它們夾角的正弦值的乘積。這個模長具有明確的幾何意義：它表示以a 和b 為鄰邊構成的 平行四邊形的面積 。因此叉乘的模長反映了兩個向量的“垂直程度”。

▽× 描述的是旋度，描述的是矢量場在某一點附近的“旋轉程度”。旋度矢量的大小，等于 “繞著某一旋轉軸的環(huán)量” 與 “旋轉路徑圍成的面積” 之比；方向則是這個旋轉最劇烈的軸的方向，和旋轉方向滿足 “右手定則”（比如用右手四指彎曲指向旋轉方向，大拇指就是旋度的方向）。比如水流中的漩渦，旋轉越急，旋度就越大；而均勻流動的水流，旋度則為 0。

理解了這些符號，再看麥克斯韋方程組，是不是就清晰多了？這組方程看似復雜，卻用最簡潔的數(shù)學語言，揭開了電與磁的神秘面紗，也為射頻技術鋪就了起點。

審核編輯 黃宇