數(shù)字芯片本質(zhì)是0-1邏輯。我們將用系列文章來一起學習數(shù)字電路基礎。我們的目標不是求大求全，而是整理一些面試過程跟數(shù)字電路基礎相關的知識點，以及平時工作中經(jīng)常用到的數(shù)字電路知識點，大家一起學有所用，學有所成！

上節(jié)我們主要講述了一個數(shù)值的表示方法，用進制來表示，各種進制之間的轉(zhuǎn)換關系。有符號數(shù)是怎么表示的，特別是負數(shù)的原碼、反碼、補碼表示方式。

我們說了數(shù)字電路的本質(zhì)是0-1邏輯，就是通過各種邏輯操作來實現(xiàn)我們想要的功能。本節(jié)我們主要學習邏輯關系，以及卡諾圖。

內(nèi)容概括

這次為大家講述的內(nèi)容包括：

基本邏輯關系

邏輯函數(shù)及其化簡(卡諾圖)

0****1

基本邏輯關系

01

基本概念

邏輯常量與變量 ：邏輯常量只有兩個，即0和1，用來表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。邏輯變量與普通代數(shù)一樣，也可以用字母、符號、數(shù)字及其組合來表示，但它們之間有著本質(zhì)區(qū)別，因為邏輯變量的取值只有兩個，即0和1，而沒有中間值。

邏輯運算 ：在邏輯代數(shù)中，有與、或、非三種基本邏輯運算。表示邏輯運算的方法有多種，如語句描述、邏輯代數(shù)式、真值表、卡諾圖等。

邏輯函數(shù) ：邏輯函數(shù)是由邏輯變量、常量通過運算符連接起來的代數(shù)式。同樣，邏輯函數(shù)也可以用表格和圖形的形式表示。

02

數(shù)字電路基本邏輯運算

與運算 : 只有當一件事情 的幾個條件全部具備之后，這件事情才會發(fā)生。這種關系稱與運算。邏輯表達式為 Y = AB

真值表：

或運算 : 當一件事情的幾個條件中只要有一個條件得到滿足，這件事就會發(fā)生，這種關系稱為或運算。邏輯表達式為 Y = A + B

真值表：

非運算 ：一件事情的發(fā)生是以其相反的條件為依據(jù)。這種邏輯關系為非運算。記作

異或運算 ：如果a、b兩個值不相同，則異或結(jié)果為1。如果a、b兩個值相同，異或結(jié)果為0。它的邏輯表達式為 Y = A ⊕ B =

真值表：

同或運算 ：如果a、b兩個值不相同，則異或結(jié)果為0。如果a、b兩個值相同，異或結(jié)果為1。它的邏輯表達式為 Y = A ⊙ B =

真值表：

03

常用邏輯運算律

接下來的這些常用的邏輯運算律會在日常化簡邏輯表達式上有很大幫助。

02

邏輯函數(shù)及其化簡(卡諾圖)

01

卡諾圖的構成

卡諾圖是一種包含一些小方塊的幾何圖形，圖中每個小方塊稱為一個單元，每個單元對應一個最小項。 兩個相鄰的最小項在卡諾圖中也必須是相鄰的。 卡諾圖中相鄰的含義:幾何相鄰性，即幾何位置上相鄰，世就是左右緊挨著或者上下相接；對稱相鄰性，即圖形中對稱位置的單元是相鄰的。

例如：

兩變量卡諾圖：

三變量卡諾圖:

四變量卡諾圖：

02

邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示

l 給定邏輯函數(shù)為標準“與-或”表達式

當邏輯函數(shù)為標準“與-或”表達式時，只需在卡諾圖上找出和表達式中最小項對應的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

例如，4變量函數(shù)F(A,B,C,D)=∑m(1,5,8,9,10,13)的卡諾圖如圖1所示。

圖1 函數(shù)F(A,B,C)=∑m(1,5,8,9,10,13)的卡諾圖

l 邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達式

當邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達式時，可根據(jù)“與”的公共性和“或”的疊加性作出相應卡諾圖。

例如，4變量函數(shù)F(A,B,C,D)=ABC’D+ABCD+AB’CD的卡諾圖如圖2所示。

圖2 函數(shù)F(A,B,C,D)= ABC'D+ABCD+AB'CD的卡諾圖

填寫該函數(shù)卡諾圖時，只需在4變量卡諾圖上依次找出和“與項”ABC'D、ABCD、AB'CD對應的小方格填上1，便可得到該函數(shù)的卡諾圖。當邏輯函數(shù)表達式為其他形式時，可將其變換成上述形式后再作卡諾圖。為了敘述的方便，通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格，填0的小方格稱為0方格。0方格有時用空格表示。

03

******卡諾圖上最小項的合并規(guī)律

卡諾圖的一個重要特征是，它從圖形上直觀、清晰地反映了最小項的相鄰關系。當一個函數(shù)用卡諾圖表示后，究竟哪些最小項可以合并呢？下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說明。

l 兩個小方格相鄰, 或處于某行(列)兩端時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去一個變量。

例如，圖3給出了2變量卡諾圖上兩個相鄰最小項合并的典型情況的。

圖3 兩個相鄰最小項合并的情況

l 四個小方格組成一個大方格、或組成一行（列）、或處于相鄰兩行（列）的兩端、或處于四角時，所的表的最小項可以合并，合并后可消去兩個變量。

例如，圖4給出了4變量卡諾圖上四個相鄰最小項合并的典型情況的。

圖4 四個相鄰最小項合并的情況

l 八個小方格組成一個大方格、或組成相鄰的兩行（列）、或處于兩個邊行（列）時，所代表的最小項可以合并，合并后可消去三個變量。

例如，圖5給出了4變量卡諾圖上八個相鄰最小項合并的典型情況的。

圖5 八個相鄰最小項合并的情況

至此，以3、4變量卡諾圖為例，討論了2，4，8個最小項的合并方法。依此類推，不難得出n個變量卡諾圖中最小項的合并規(guī)律。

歸納起來，n個變量卡諾圖中最小項的合并規(guī)律如下：

（1）卡諾圈中小方格的個數(shù)必須為2m個，m為小于或等于n的整數(shù)。

（2）卡諾圈中的2m個小方格有一定的排列規(guī)律，具體地說，它們 含有m個不同變量，(n-m)個相同變量 。

（3）卡諾圈中的 2m個小方格對應的最小項可用(n-m)個變量的“與”項表示 ，該“與”項由這些最小項中的相同變量構成。

（4） 當m=n時，卡諾圈包圍了整個卡諾圖，可用1表示 ，即n個變量的全部最小項之和為1。

04

******卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

首先，有這么幾點需要明確：

l 列出邏輯函數(shù)的最小項表達式 ，由最小項表達式確定變量的個數(shù)（如果最小項中缺少變量，應按例的方法補齊）。

l 畫出最小項表達式對應的卡諾圖。

l 將卡諾圖中的1格畫圈。 一個也不能漏圈，否則最后得到的表達式就會與所給函數(shù)不等；1格允許被一個以上的圈所包圍。

l ** 圈的個數(shù)應盡可能得少。**即在保證1格一個也不漏圈的前提下，圈的個數(shù)越少越好。因為一個圈和一個與項相對應，圈數(shù)越少，與或表達式的與項就越少。

l 按照2k個方格來組合（即圈內(nèi)的1格數(shù)必須為1，2，4，8等），圈的面積越大越好。 因為圈越大，可消去的變量就越多，與項中的變量就越少。

l 每個圈應至少包含一個新的1格，否則這個圈是多余的。

l 用卡諾圖化簡所得到的最簡與或式不是唯一的。

例子：

用卡諾圖化簡法化簡下式為最簡單與或邏輯式

Y = ABCD+ BCD + BD

首先可先把他化成最小項之和的形式：

Y = ABCD + (A + A’)BCD + (A + A’) B (C + C’) D

然后我們例如卡諾圖，將可能合并的最小項圈出，并按照前面所述的原則進行化簡后與或式中的乘積項，于是我們得到化簡后的表達式：

Y = BD