我想大家都有這樣的體會：小學的時候你根本不知道初中數(shù)學是什么樣，高中的時候你也根本想不到大學數(shù)學是什么樣。而大學生，如果你不專注于數(shù)學，恐怕也不知道現(xiàn)代數(shù)學是什么模樣。下面將分別從學數(shù)學的動機、數(shù)學不同學科的分類以及如何切實可行培養(yǎng)數(shù)學能力等幾個方面闡述如何學習數(shù)學。

進入正題:

一、認清你的需要

為什么需要學習數(shù)學，這是你首先需要想清楚的問題。數(shù)學學科子分類多、每一本數(shù)學書中都有許多定理和結(jié)論，需要花大量時間研究。而人的時間是寶貴的、有限的，需不需要學數(shù)學，學數(shù)學到什么程度你需要大體有一個目標和計劃，合理安排時間。

1.1你的目標是精通數(shù)學、鉆研數(shù)學，以數(shù)學謀生，你可能立志掌握代數(shù)幾何，或者想精通前沿物理。那么你需要打下堅實的現(xiàn)代代數(shù)、幾何以及分析基礎(chǔ)，你需要準備大量時間和精力，擁有堅定不移的決心。（要求：精通全部三級高等數(shù)學）

1.2你的目標是能夠熟練運用高等數(shù)學，解決問題，掌握探索新應用領(lǐng)域的武器，你可能立志進入計算機視覺領(lǐng)域、經(jīng)濟學領(lǐng)域或數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域。那么，你需要打下堅實的矩陣論、微積分以及概率統(tǒng)計基礎(chǔ)。（要求：精通第一級高等數(shù)學）

1.3你的目標是想了解數(shù)學的樂趣，把學數(shù)學作為人生一大業(yè)余愛好。那么，你需要打下堅實的線性代數(shù)、數(shù)學分析、拓撲學以及概率統(tǒng)計基礎(chǔ)，對你來說，體會學數(shù)學的樂趣是一個更重要的目標。（精通第一級高等數(shù)學，在第二級高等數(shù)學中暢游，嘗試接觸第三級高等數(shù)學）

二、給自己足夠的動力

學數(shù)學需要智力，更需要時間和精力。下面的幾個事實相大家都深有體會：

1.凡是沒有用的東西，或者雖然有用，但是你用不到的東西，學得快忘得也快。不信你回憶一下你大一或者初一的基礎(chǔ)課，你還記的清楚嗎？

2.凡是你不感興趣（或者感覺不到樂趣）的東西，你很難堅持完成它。很多人都有這樣的經(jīng)歷，一本書，前三章看的很仔細，后面就囫圇吞棗，越看越快，反正既沒意思也沒用。

3.小學數(shù)學是中學數(shù)學的基礎(chǔ)，中學數(shù)學是高中數(shù)學的基礎(chǔ)，高中數(shù)學是大學數(shù)學的基礎(chǔ)（你可以以此類推）。因此，無論你的目標是什么，搞數(shù)學、用數(shù)學、還是體會數(shù)學的樂趣、滿足自己從少年時就有的夢想。學有所樂、學有所用，永遠是維持你動力不衰退的兩個最主要的因素。

三、如何學習現(xiàn)代數(shù)學

首先我們要知道什么是數(shù)學，要對數(shù)學下個定義是很難的。本文的處理途徑是，不去回答它，我不打算給出數(shù)學的定義而是通過描述它的許多最重要的概念，定理，和應用使對于什么是數(shù)學有一個好的看法，而要使這些有意義對數(shù)學進行分類是很有必要的

1現(xiàn)代數(shù)學可以大致被分為兩個領(lǐng)域：純粹數(shù)學（研究數(shù)學本身）和應用數(shù)學（用以解決更實際的問題）。但我們要記住的是，它們之間其實有著緊密的關(guān)聯(lián)。如果能的話，應該畫張圖更好一點，地圖更應該是一張網(wǎng)絡，連接著每個相關(guān)的分支。

事實上，從歷史中我們會發(fā)現(xiàn)，有許多數(shù)學家一開始只是出于好奇以及對美的追求去研究數(shù)學，然后發(fā)展了一系列美麗而又有趣的數(shù)學分支，但對于真實世界卻一點用處都沒有。令人驚喜的是，比如在100年后，當有些科學家正在試圖解決物理學或計算機科學最前沿的問題時發(fā)現(xiàn)，他們所需要的數(shù)學其實早就在純粹數(shù)學里被發(fā)展出來了。這樣的例子不勝枚舉，比如廣義相對論的發(fā)展依賴于黎曼度規(guī)；弦理論則需要卡-丘空間等等。這些抽象的概念最終被應用在其它的科學領(lǐng)域中是非常令人欣喜的一件事。先拋開純粹數(shù)學是否有一天能被應用在現(xiàn)實中去，其實研究純粹數(shù)學本身也是非常有價值的事。如果你問一位數(shù)學家為什么要研究純粹數(shù)學，我想很多人的答案會簡潔到只有一個字，那就是：美！

2.純粹數(shù)學

純粹數(shù)學主要包括四個部分：數(shù)字系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)、空間和變化。

2.1【數(shù)字系統(tǒng)】

數(shù)字系統(tǒng)的研究起源于數(shù)，一開始為熟悉的自然數(shù)（1、2、3...）及整數(shù)（…-2、-1、0、1、2...）與被描述在算術(shù)內(nèi)的自然數(shù)及整數(shù)的算術(shù)運算（＋－× ÷）。當數(shù)系進一步發(fā)展時，整數(shù)被視為有理數(shù)（-7、1/2、2.32...）的子集，而有理數(shù)則包含于實數(shù)（-4π、e、√2...）中。實數(shù)則可以進一步被廣義化為復數(shù)（4+3i、-4i...）。除此外，還有其它一系列的數(shù)（比如四元數(shù)、八元數(shù)和基數(shù)等）。還有一些數(shù)深受數(shù)學家的喜愛，比如π、e和質(zhì)數(shù)（1，3，11...）。

剛才提到的這些數(shù)字都有一些有意思的性質(zhì)，例如，盡管實數(shù)和整數(shù)都有無限多，但實數(shù)要比整數(shù)多。所以有一些無限實際要比另一些大。

2.2【結(jié)構(gòu)】

對結(jié)構(gòu)的研究起始于將數(shù)字以變量的形式代入方程（y=mx+c）。如何解這些方程的規(guī)則包含在代數(shù)之中。在這個分支中，還有矢量和矩陣，它們都是多維數(shù)，而它們之間的聯(lián)系于線性代數(shù)中被研究。

在這個分支內(nèi)，有一個被譽為“最純”的數(shù)學領(lǐng)域，那就是數(shù)論。數(shù)論專注于研究在“數(shù)字系統(tǒng)”中提到的所有數(shù)的特征，比如質(zhì)數(shù)的性質(zhì)（質(zhì)數(shù)產(chǎn)生了很多非專業(yè)人士也能理解而又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質(zhì)數(shù)猜想等）。

另一方面，組合數(shù)學是一門研究可數(shù)或離散對象的數(shù)學分支，比如樹、圖論等，一些著名的問題包括地圖著色問題、船夫過河問題等等。群論則是研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，一個熟悉的例子就是魔方，是一個置換群。序理論是研究捕獲數(shù)學排序的直覺概念的各種二元關(guān)系的數(shù)學分支，比如哈斯圖，是用來表示有限偏序集的一種數(shù)學圖標。

2.3【空間】

純粹數(shù)學的另一個部分是研究形狀和它們在空間中的行為。空間的研究源自于幾何——尤其是歐幾里得幾何。三角學則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有著名的勾股定理。還有一些比較有趣的領(lǐng)域，比如分形，它是一種具有尺度不變性的數(shù)學模式，意思是說你無論你怎么放大它們看起來都是一樣的。

在其許多分支中，拓撲學可能是20世紀數(shù)學中有著最大進展的領(lǐng)域。拓撲學研究的是空間的不同性質(zhì)，你可以連續(xù)不斷地將它們變形，但不能將它們撕裂或粘合。例如，無論你對莫比烏斯帶做什么，它永遠只有一個面和一個邊界。在拓撲學里，咖啡杯和甜甜圈是一樣的東西。拓撲學包含了存在已久的龐加萊猜想（2006年由數(shù)學家格里戈里·佩雷爾曼證明）以及頗有爭議的四色定理（1976年由計算機證明）。

測度論是一種給空間或集分配數(shù)值的數(shù)學分支，它將數(shù)和空間聯(lián)系起來。最后，微分幾何是非常重要的一個數(shù)學分支，它研究在彎曲表面上的形狀的性質(zhì)，比如三角形在彎曲的表面中內(nèi)角和跟在歐式空間中的不一樣。

2.4【變化】

了解及描述變化在自然科學里是一個普遍的議題，而微積分更加使研究變化的有力工具。函數(shù)誕生于此，作為描述一變化的量的核心概念。微積分是研究極限、微分學（函數(shù)的梯度的行為）、積分學（函數(shù)下的面積）和無窮級數(shù)的一個分支。而向量分析關(guān)注的則是向量場的微分和積分。除此外，還有一系列其它的研究方向。動力系統(tǒng)描述的是系統(tǒng)如何隨著時間流逝從一個狀態(tài)演化到另一個狀態(tài)，比如流體流動或任何有反饋環(huán)路的東西（如生態(tài)系統(tǒng)）?；煦缋碚搫t是對系統(tǒng)的既不可預測而又是決定的行為作明確的描述，它對于初始條件非常敏感，比如著名的蝴蝶效應。最后是復分析，對于實數(shù)及實變函數(shù)的嚴格研究為實分析，而復分析則為復數(shù)的等價領(lǐng)域。數(shù)學中最大的未解問題之一——黎曼猜想便是以復分析來描述的。

以上這些便是純粹數(shù)學的各個分支。接下來我們進入應用數(shù)學的領(lǐng)域。應用數(shù)學的主旨在于將抽象的數(shù)學工具運用在解答科學、工程、商業(yè)及其他領(lǐng)域上的現(xiàn)實問題。

3.應用數(shù)學

數(shù)學被廣泛地應用在各個科學領(lǐng)域。

3.1我們從物理學開始。基本上在純粹數(shù)學提到的所有分支都多多少少的被應用于物理學上。數(shù)學和理論物理跟純粹數(shù)學的關(guān)系是密不可分的。許多數(shù)學理論是在物理問題的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的；也有很多數(shù)學方法和工具通常只在物理學中找到實際應用。例如，微分方程被應用在經(jīng)典力學和量子力學；場論被應用在電磁場、引力場和規(guī)范場；群論和表示論別應用在粒子物理學中。

3.2除了物理外，數(shù)學也被應用在其它的自然科學上，特別是在數(shù)學化學和生物數(shù)學上。在數(shù)學化學中，數(shù)學模型通常被用以模擬分子；拓撲化學也是一個熱門的研究領(lǐng)域（2016年的諾貝爾化學獎就跟拓撲有關(guān)）。數(shù)學也大量應用在生物學中，如由于基因?qū)W的發(fā)展，生物學家采集到的大量數(shù)據(jù)必須通過解析方法加以處理；演化生物學和生態(tài)學都大量使用數(shù)學理論等等。

3.3數(shù)學也被大量應用在工程學上，自古埃及和巴比倫時期，數(shù)學就被大量應用在建筑上。非常復雜的電路系統(tǒng)，比如在飛機或電網(wǎng)中，就利用了動力系統(tǒng)的方法，叫控制理論。

（這里推薦一本Mary Boas寫的教材《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，對于那些本科選擇物理、化學和工程專業(yè)的學生，這本書可以快速的幫你們掌握所需要的數(shù)學知識。）

3.4當一些數(shù)學太過于復雜我們無法有效地解決時，我們就會用到數(shù)值分析，它也包含了對計算中舍入誤差或其它來源的誤差之研究。例如，如果你把一個圓圈放進一個正方形中，并向它扔許多的飛鏢，接著比較飛鏢在圓圈和正方形的數(shù)量，你就可以得到π的近似值。但在現(xiàn)實中，數(shù)值分析通常會使用大型計算機來實現(xiàn)。

3.5博弈論專注于思考游戲中的個體的預測行為和實際行為，并研究它們的優(yōu)化策略。主要研究公式化了的激勵結(jié)構(gòu)（游戲）間的相互作用。其中一個代表性的應用例子是囚徒困境。博弈論在經(jīng)濟學、心理學、生物學、國際關(guān)系、政治學等其它學科都有廣泛的應用。

3.6概率論是集中研究概率及隨機現(xiàn)象的數(shù)學分支，最簡單的隨機事件為扔硬幣、抽撲克或擲骰子。應用數(shù)學中的一個重要領(lǐng)域為統(tǒng)計學，它利用概率論為其工具并允許對含有機會成分的現(xiàn)象進行描述、分析與預測。大部分的實驗、調(diào)查及觀察研究都依賴于統(tǒng)計分析。因此被廣泛地應用在各門學科，從自然科學、社會科學到人文學科。特別是在金融行業(yè)，通過統(tǒng)計分析以獲取最大的利益。

3.7跟最大化利益相關(guān)的是最優(yōu)化，你試圖計算的是在一系列不同選擇或限制下的最佳選擇，也就是找到一個函數(shù)的最高或最低點。最優(yōu)化問題是人類的第二天性，我們一直在都在進行最優(yōu)化選擇，比如試圖最優(yōu)化我們的快樂程度，購買的時候想要物有所值等等。

3.8另一個領(lǐng)域跟純數(shù)學有非常深的聯(lián)系，那就是計算機科學。計算機科學的規(guī)則事實上是從純數(shù)學中推導出來的。機器學習是實現(xiàn)人工智能的一個途徑，即以機器學習為手段解決人工智能中的問題。機器學習是一門多領(lǐng)域的交叉學科，利用了數(shù)學的許多領(lǐng)域，比如線性代數(shù)、最優(yōu)化、動力系統(tǒng)和概率論等等。

3.9最后，密碼術(shù)也是非常重要且實用的一個數(shù)學分支，應用到了純粹數(shù)學研究，比如組合數(shù)學和數(shù)論等。

現(xiàn)在我們已經(jīng)概括了純粹數(shù)學和應用數(shù)學的主要部分。但是，還沒有結(jié)束，我們不能夠忽略數(shù)學的基礎(chǔ)。

4.基礎(chǔ)

數(shù)學的基礎(chǔ)試圖理解數(shù)學本身的性質(zhì)，并且追問所有數(shù)學規(guī)則的基礎(chǔ)是什么。是否存在著一套稱為公理的完整的基本規(guī)則？我們要如何證明它是否自洽？數(shù)理邏輯、集合論和范疇論就試圖回答這個問題。在數(shù)理邏輯中有一個非常著名的成果叫做哥德爾不完備定理，對大多數(shù)人來說，數(shù)學并沒有一套完整和自洽的公理，意味著它們都是由我們?nèi)祟悇?chuàng)造的。這聽起來很奇怪，因為數(shù)學如此完美的解釋了宇宙中的許多事物。為什么我們會認為由人類創(chuàng)造的東西可以做到如此地步？這是一個非常深奧的謎題。我們還有計算理論，它專注于研究不同的計算模型，基于這些模型如何能夠有效地解決問題。它包含了復雜性理論，其中P/NP問題是該領(lǐng)域中至今沒有解決的問題。數(shù)學是一個非常抽象和美妙的世界，如果要用一句話形容它的重要性，那么我會選擇伽利略曾經(jīng)說過的：“如果一個人不懂得宇宙的語言，即數(shù)學的語言，他就不能夠閱讀宇宙這本偉大的書。”

四、如何學習

4.1適量做題

千萬千萬千萬不要狂做題。比如說你先花5年做完吉米諾維奇六本數(shù)學分析習題集，那么到時候你就30歲了，后面的二級課程還沒開始學呢。因此，做一些課后習題，幫助你復習、思考、維持大腦運轉(zhuǎn)就行，要不斷地向后學。如果完全學不懂了，返回來做習題幫自己理清頭緒。

4.2了解思想

數(shù)學的精髓不是做題的數(shù)量，而是掌握思想。每一個數(shù)學分支都有自己的主線思想和方法論，不同分支也有相互可供對比和借鑒的思維方式。留意它，模仿它，瑣碎的知識就串成了一條項鏈，你也就掌握了一門課。思想并不是讀一本教材就能輕易了解的，你要讀好幾本書，了解一些應用才能體會。舉兩個例子：

微積分的主線有這么幾條：認識到微觀和宏觀是有聯(lián)系的，微分用來刻畫事物如何變化，它把細節(jié)放大給你看，而積分用來刻畫事物的整體性質(zhì)；微分和積分有時是描述一個現(xiàn)象的不同方式，這一點你在數(shù)學分析書中可能不容易發(fā)現(xiàn)，但是如果學點物理，就會發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程組同時有等價的微分形式和積分形式；積分變換能夠建立不同空間之間的的聯(lián)系，建立空間和空間邊界的聯(lián)系，這就是Stokes定理，這個公式最遲要在微分流形中你才能一窺全貌。

矩陣是空間中線性變換的抽象，線性代數(shù)這門課的全部意義在于研究如何表達、化簡、分類空間線性變換算子；SVD分解不僅在應用學科用有極為廣泛的亮相，也是你理解矩陣的有力工具；矩陣是有限維空間上的線性算子，對"空間"的理解不僅能讓你重新認識矩陣，更為泛函分析的學習開了個好頭。

4.3漸進式迂回式學習，對比學習

很多時候，只讀一本書，可能由于作者在某處思維跳躍了一下，以后你就再也跟不上了。學習數(shù)學的一個訣竅，就是你同時拿到好幾本國際知名教材，相互對比著看，或者看完一本然后再看同一主題的另一本書，已經(jīng)熟悉的內(nèi)容跳過去，如果看不懂了，停下來思考或者做做習題，還是不懂則往后退一退，從能看懂的部分向前推進，當你看的多了，就會發(fā)現(xiàn)一個東西出現(xiàn)在很多地方，對它的理解就加深了。舉兩個例子：

a.外微分這個東西，國內(nèi)有的數(shù)學分析書里可能不介紹，我第一次遇到是在彭家貴的《微分幾何》里，覺得這是個方便巧妙的工具；后來讀卓里奇的《數(shù)學分析》和Rudin的《數(shù)學分析原理》，都講了這個東西，可見在西方外微分是一個基礎(chǔ)知識。你要讀懂它，可能要首先理解矩陣，明白行列式恰好是空間體積在矩陣的變換下拉伸的倍數(shù)，它是一種線性形式。最后，當你讀微分流形后，將發(fā)現(xiàn)外微分是獲得流形上的Stokes定理的工具。

b.點集拓撲學這個東西，搞應用用不到。但是但凡你想往深處學，這一門學科就必須要掌握，因為它提供對諸如開集、緊集、連續(xù)、完備等數(shù)學基本概念的精準刻畫。往后學泛函分析、微分流形，沒有這些概念你將寸步難行。首先你要讀芒克里斯的曠世名著《拓撲學》，接著在讀其他外國人寫的書時，或多或少都會接觸一些相關(guān)概念，你的理解就加深了，比如讀Rudin的《泛函分析》，開始就是介紹線性拓撲空間，前面的知識你就能用上了。

4.4建立不同學科的聯(lián)系

看到一個東西在很多地方用，你對它的理解就加深了，慢慢也就能體會到這個東西的精妙，最后你會發(fā)現(xiàn)所有的基礎(chǔ)學科相互交織，又在后續(xù)應用中相互幫助，切實體會到它們真的很基礎(chǔ)，很有用。這是一種體會數(shù)學樂趣的途徑。

4.5關(guān)注應用學科(上文介紹過一些)

沒有什么比應用更能激發(fā)你對新知識、新工具的渴望。找一些感興趣的應用學科教材，讀一讀，開闊眼界，為自己的未來積累資源。以下結(jié)合自己的專業(yè)（計算機視覺）和愛好說說一些優(yōu)秀的專業(yè)書籍：

學了微積分，就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第一卷》，了解力、熱、光、時空的奧秘；學了偏微分方程，就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第二卷》，了解電的奧秘；學了矩陣論，可以買一本《計算機視覺中的多視圖幾何》，了解成像的奧秘，編程進行圖像序列的三維重建；學了概率論的同學應該會聽說過貝葉斯學派和頻率學派，這兩個學派的人把戰(zhàn)場拉到了機器學習領(lǐng)域，成就了兩本經(jīng)典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《TheElements of Statistical Learning》，讀了它們，我被基礎(chǔ)數(shù)學為機器學習領(lǐng)域提供的豐碩成果和深刻見解深深折服；讀了《Ray Tracing from the Ground Up》，自己寫了一個光線追蹤器渲染真實場景，它的基礎(chǔ)就是一點點微積分和矩陣......

高等數(shù)學的應用實在是太多了，如果你喜歡編程，自動化、機器人、計算機視覺、模式識別、數(shù)據(jù)挖掘、圖形圖像、信息論和密碼學......到處都有大量模型供你玩耍，而且只需要一點點高等數(shù)學。在這些領(lǐng)域，你可能能發(fā)現(xiàn)比數(shù)學書更有趣，也更容易找到工作的目標。

4.6找有趣的書看

數(shù)學家寫的書有時是比較死板的，但是總有一些教材，它們的作者有強烈的欲望想向你展示"這個東西其實很有趣"，"這個東西完全不是你想的那個樣子"等等，他們成功了；還有些作者，他們喜歡把一個東西在不同領(lǐng)域的應用，和不同東西在某一領(lǐng)域的應用集中展示給你看。這樣的書會提供給你充足的樂趣讀下去。典型代表就是國內(nèi)出版的一套《圖靈數(shù)學統(tǒng)計學叢書》，這一套書實在是太棒了，比如《線性代數(shù)應該這樣學》《復分析：可視化方法》《微分方程、動力系統(tǒng)與混沌導論》，個人認為都是學數(shù)學必讀的經(jīng)典教材，非常非常有趣。

五、多讀書，讀好書

如果只有一句話概括如何培養(yǎng)數(shù)學能力，那么就是這一句：多讀書，讀好書。因此這一步我想單獨拿出來多說兩句。

想必大家都十分精通并能熟練應用小學數(shù)學。想讀懂代數(shù)幾何，或者退一步，想讀懂信息論基礎(chǔ)，你就要挑幾本好的基礎(chǔ)教材，最好是外國人寫的，像掌握小學數(shù)學那樣掌握它。不要只看一本，找三本不同作者的書，對比著看，逐行逐字看。有的地方肯定看不懂，記下來，說不定在另一本書的某個地方就從另一個角度說到了這個東西。

如果你以后還要往后學，現(xiàn)在看到的每一個基礎(chǔ)定理，以后還會用到。每一本基礎(chǔ)書，你今天放棄，明天還要乖乖重頭再來。要像讀經(jīng)文一樣，交叉閱讀對比不同教材內(nèi)容的異同。