1、關(guān)于傅里葉變換變換？答：fourier變換是將連續(xù)的時(shí)間域信號(hào)轉(zhuǎn)變到頻率域；它可以說(shuō)是laplace變換的特例，laplace變換是fourier變換的推廣，存在條件比f(wàn)ourier變換要寬，是將連續(xù)的時(shí)間域信號(hào)變換到復(fù)頻率域（整個(gè)復(fù)平面，而fourier變換此時(shí)可看成僅在jΩ軸）；z變換則是連續(xù)信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣之后的離散信號(hào)的laplace變換，再令z=e^sT時(shí)的變換結(jié)果（T為采樣周期），所對(duì)應(yīng)的域?yàn)閿?shù)字復(fù)頻率域，此時(shí)數(shù)字頻率ω=ΩT?！獏⒖监嵕锏摹缎盘?hào)與系統(tǒng)》。

傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)信號(hào)分離為無(wú)窮多多正弦/復(fù)指數(shù)信號(hào)的加成，也就是說(shuō)，把信號(hào)變成正弦信號(hào)相加的形式——既然是無(wú)窮多個(gè)信號(hào)相加，那對(duì)于非周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，每個(gè)信號(hào)的加權(quán)應(yīng)該都是零——但有密度上的差別，你可以對(duì)比概率論中的概率密度來(lái)思考一下——落到每一個(gè)點(diǎn)的概率都是無(wú)限小，但這些無(wú)限小是有差別的。所以，傅里葉變換之后，橫坐標(biāo)即為分離出的正弦信號(hào)的頻率，縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的是加權(quán)密度。對(duì)于周期信號(hào)來(lái)說(shuō)，因?yàn)榇_實(shí)可以提取出某些頻率的正弦波成分，所以其加權(quán)不為零——在幅度譜上，表現(xiàn)為無(wú)限大——但這些無(wú)限大顯然是有區(qū)別的，所以我們用沖激函數(shù)表示。已經(jīng)說(shuō)過(guò)，傅里葉變換是把各種形式的信號(hào)用正弦信號(hào)表示，因此非正弦信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換，會(huì)得到與原信號(hào)頻率不同的成分——都是原信號(hào)頻率的整數(shù)倍。這些高頻信號(hào)是用來(lái)修飾頻率與原信號(hào)相同的正弦信號(hào)，使之趨近于原信號(hào)的。所以說(shuō)，頻譜上頻率最低的一個(gè)峰（往往是幅度上最高的），就是原信號(hào)頻率。傅里葉變換把信號(hào)由時(shí)域轉(zhuǎn)為頻域，因此把不同頻率的信號(hào)在時(shí)域上拼接起來(lái)進(jìn)行傅里葉變換是沒(méi)有意義的——實(shí)際情況下，我們隔一段時(shí)間采集一次信號(hào)進(jìn)行變換，才能體現(xiàn)出信號(hào)在頻域上隨時(shí)間的變化。我的語(yǔ)言可能比較晦澀，但我已盡我所能向你講述我的一點(diǎn)理解——真心希望能對(duì)你有用。我已經(jīng)很久沒(méi)在知道上回答過(guò)問(wèn)題了，之所以回答這個(gè)問(wèn)題，是因?yàn)槲冶救嗽趯W(xué)習(xí)傅里葉變換及拉普拉斯變換的過(guò)程中著實(shí)受益匪淺——它們幾乎改變了我對(duì)世界的認(rèn)識(shí)。傅里葉變換值得你用心去理解——哪怕苦苦思索幾個(gè)月也是值得的——我當(dāng)初也想過(guò)：只要會(huì)算題就行。但浙大校訓(xùn)“求是”時(shí)時(shí)刻刻鞭策著我追求對(duì)理論的理解——最終經(jīng)過(guò)很痛苦的一番思索才恍然大悟。建議你看一下我們信號(hào)與系統(tǒng)課程的教材：化學(xué)工業(yè)出版社的《信號(hào)與系統(tǒng)》，會(huì)有所幫助。（另一種說(shuō)法）對(duì)于周期函數(shù)f，傅立葉變換就是把這個(gè)函數(shù)分解成很多個(gè)正弦函數(shù)fn的和，每個(gè)fn的頻率是f的n倍。所謂二次諧波，就是函數(shù)f2的頻率為f兩倍的那個(gè)函數(shù)。（另二種說(shuō)法）周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)的意義是信號(hào)在每一個(gè)離散頻率分量處的幅度；非周期信號(hào)的傅里葉變換可以理解為周期無(wú)窮大的周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)。這時(shí)，離散的頻率逐漸變成了連續(xù)的頻率，某一點(diǎn)頻率處的頻譜密度值是沒(méi)有意義的，如同概率密度函數(shù)，你只有求那一點(diǎn)附近一小段頻率內(nèi)與頻譜密度函數(shù)形成的面積值才有意義，才表示了信號(hào)在那一頻率點(diǎn)的幅度。具體參考《信號(hào)與系統(tǒng)》鄭君里版清華大學(xué)出版社P91,P111。
2、什么是Laplace變換？答：

（第1種說(shuō)法）拉氏變換的作用：

（1）求解方程得到簡(jiǎn)化。且初始條件自動(dòng)包含在變換式里。

（2）拉氏變換將“微分”變換成“乘法”，“積分”變換成“除法”。即將微分方程變成代數(shù)方程。拉氏變換將時(shí)域中卷積運(yùn)算變換成“乘法”運(yùn)算。

（3）利用系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的規(guī)律。

在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見(jiàn)信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（見(jiàn)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見(jiàn)控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。

現(xiàn)在給你舉個(gè)例子：我們學(xué)控制的時(shí)候，比如一個(gè)二階電路RLC系統(tǒng)微分方程是：LC*Uc''+RC*Uc'+Uc=U設(shè)想你借這個(gè)微分方程多費(fèi)勁，那么你用laplace變換，微分方程變?yōu)長(zhǎng)C*s^2*Uc+RCs*Uc+Uc=U然后Uc=U/(LCs^2+RCs+1)然后可以查表直接得出結(jié)果（就跟查積分表一樣方便），這不比你解微分方程，強(qiáng)多了么！

（第2種說(shuō)法）拉普拉斯變換提供了一種變換定義域的方法，把定義在時(shí)域上的信號(hào)（函數(shù)）映射到復(fù)頻域上（要理解這句話，需要了解一下函數(shù)空間的概念--我們知道，函數(shù)定義了一種“從一個(gè)集合的元素到另一個(gè)集合的元素”的關(guān)系，而兩個(gè)或以上的函數(shù)組合成的集合，就是函數(shù)空間，即函數(shù)空間也是一個(gè)集合；拉普拉斯變換的“定義域”，就是函數(shù)空間，可以說(shuō)，拉普拉斯變換就是一種處理函數(shù)的函數(shù)。由于拉普拉斯變換定義得相當(dāng)巧妙，所以它就具有一些奇特的特質(zhì)），而且，這是一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系（只要給定復(fù)頻域的收斂域），故只要給定一個(gè)時(shí)域函數(shù)（信號(hào)），它就能通過(guò)拉普拉斯變換變換到一個(gè)復(fù)頻域信號(hào)（不管這個(gè)信號(hào)是實(shí)信號(hào)還是復(fù)信號(hào)），因而，只要我們對(duì)這個(gè)復(fù)頻域信號(hào)進(jìn)行處理，也就相當(dāng)于對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行處理（例如設(shè)f(t)←→F(s),Re[s]>a，則若我們對(duì)F(s)進(jìn)行時(shí)延處理，得到信號(hào)F(s-z)，Re[s]>a+Re[z],那么就相當(dāng)于我們給時(shí)域函數(shù)乘以一個(gè)旋轉(zhuǎn)因子e^zt，即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要對(duì)F(s-z)進(jìn)行反變換，就可以得到f(t)e^zt）。

拉普拉斯變換被用于求解微分方程，主要是應(yīng)用拉普拉斯變換的幾個(gè)性質(zhì)，使求解微分方程轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程（因?yàn)榍蠼獯鷶?shù)方程總比求解微分方程容易得多！而且，（可以很方便地）對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯反變換從而得到原微分方程的解）。

我們總可以容易地畫出實(shí)變函數(shù)的圖像（絕大多數(shù)函數(shù)的確如此），但我們難以畫出一個(gè)復(fù)變函數(shù)的圖象，這也許是拉普拉斯變換比較抽象的原因之一；而另外一個(gè)原因，就是拉普拉斯變換中的復(fù)頻率s沒(méi)有明確的物理意義。關(guān)于特征根和復(fù)數(shù)，建議提問(wèn)者再去看看書中的定義，應(yīng)該不難理解。
3、什么是z變換？

在離散系統(tǒng)分析中為簡(jiǎn)化運(yùn)算而建立的對(duì)函數(shù)序列的數(shù)學(xué)變換，其作用與拉普拉斯變換在連續(xù)系統(tǒng)分析中的作用很相似。Z變換對(duì)求解線性差分方程是一種簡(jiǎn)單而有效的方法。在采樣控制理論中,Z變換是主要的數(shù)學(xué)工具。Z變換還在時(shí)間序列分析、數(shù)據(jù)平滑、數(shù)字濾波等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。當(dāng)一個(gè)連續(xù)信號(hào)x(t)通過(guò)每隔T秒鐘閉合一次的采樣開(kāi)關(guān)時(shí)，就得到一個(gè)函數(shù)序列x(kT)(k＝0,1,2,…)。函數(shù)序列x(kT)在0、T、2T、…時(shí)刻上具有與連續(xù)信號(hào)x(t)相同的函數(shù)值，而在所有其他時(shí)刻上均恒為零。4、什么是FFT（快速fourier變換）？答：音頻處理里面常用。就是把波形（時(shí)域信號(hào)）變換到頻域，使得用戶更好的分析。頻域就是類似于“千千靜聽(tīng)”的頻譜。這個(gè)過(guò)程叫“離散傅立葉變換”（DFT）。而FFT是DFT的一種高效快速算法?？焖俑盗⑷~變換算法的原理是（來(lái)自百度百科）：快速傅氏變換（FFT）是離散傅氏變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅氏變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對(duì)離散傅立葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的。它對(duì)傅氏變換的理論并沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)，但是對(duì)于在計(jì)算機(jī)系統(tǒng)或者說(shuō)數(shù)字系統(tǒng)中應(yīng)用離散傅立葉變換，可以說(shuō)是進(jìn)了一大步。設(shè)x(n)為N項(xiàng)的復(fù)數(shù)序列，由DFT變換，任一X（m）的計(jì)算都需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法，而一次復(fù)數(shù)乘法等于四次實(shí)數(shù)乘法和兩次實(shí)數(shù)加法，

一次復(fù)數(shù)加法等于兩次實(shí)數(shù)加法，即使把一次復(fù)數(shù)乘法和一次復(fù)數(shù)加法定義成一次“運(yùn)算”（四次實(shí)數(shù)乘法和四次實(shí)數(shù)加法），那么求出N項(xiàng)復(fù)數(shù)序列的X（m）,即N點(diǎn)DFT變換大約就需要N2次運(yùn)算。當(dāng)N=1024點(diǎn)甚至更多的時(shí)候，需要N2=1048576次運(yùn)算，在FFT中，利用WN的周期性和對(duì)稱性，把一個(gè)N項(xiàng)序列（設(shè)N=2k,k為正整數(shù)），分為兩個(gè)N/2項(xiàng)的子序列，每個(gè)N/2點(diǎn)DFT變換需要（N/2）2次運(yùn)算，再用N次運(yùn)算把兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT變換組合成一個(gè)N點(diǎn)的DFT變換。這樣變換以后，總的運(yùn)算次數(shù)就變成N+2（N/2）2=N+N2/2。繼續(xù)上面的例子，N=1024時(shí)，總的運(yùn)算次數(shù)就變成了525312次，節(jié)省了大約50%的運(yùn)算量。而如果我們將這種“一分為二”的思想不斷進(jìn)行下去，直到分成兩兩一組的DFT運(yùn)算單元，那么N點(diǎn)的DFT變換就只需要Nlog2N次的運(yùn)算，N在1024點(diǎn)時(shí)，運(yùn)算量?jī)H有10240次，是先前的直接算法的1%，點(diǎn)數(shù)越多，運(yùn)算量的節(jié)約就越大，這就是FFT的優(yōu)越性。