一維數(shù)據(jù)的均值和方差計(jì)算可以說是幾乎是最常用的統(tǒng)計(jì)分析方法。這個(gè)初中就學(xué)過的概念，在嵌入式系統(tǒng)中卻有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用：

傳感器故障檢測(cè)

正常工作的傳感器數(shù)據(jù)波動(dòng)應(yīng)在一定范圍內(nèi)

突然的均值漂移或方差劇變，往往意味著傳感器故障

如溫度傳感器讀數(shù)突然劇烈波動(dòng)，很可能是接觸不良

信號(hào)質(zhì)量評(píng)估

GPS信號(hào)強(qiáng)度的均值和方差可以反映定位質(zhì)量

方差過大說明信號(hào)不穩(wěn)定，可能處于多路徑效應(yīng)區(qū)域

均值過低說明信號(hào)較弱，可能在遮擋環(huán)境下

機(jī)器人控制

舵機(jī)位置反饋的方差可以用來檢測(cè)是否卡死

電機(jī)電流的均值可以估計(jì)負(fù)載大小

輪速反饋的方差可以判斷地面情況

電池管理

電壓的滑動(dòng)均值可以平滑瞬時(shí)波動(dòng)

電流的方差可以反映負(fù)載的穩(wěn)定性

溫度的異常波動(dòng)可能預(yù)示電池問題

這些場(chǎng)景都需要實(shí)時(shí)、高效地計(jì)算數(shù)據(jù)流的統(tǒng)計(jì)特征。雖然計(jì)算公式簡單，但在實(shí)際工程中，有限的資源限制及實(shí)時(shí)性要求、數(shù)值穩(wěn)定性和存儲(chǔ)效率成為主要挑戰(zhàn)。

本文主要探討如何在有限的計(jì)算能力和內(nèi)存條件下，優(yōu)雅地實(shí)現(xiàn)高效的均值和方差計(jì)算。通過優(yōu)化算法、減少計(jì)算復(fù)雜度、利用遞推公式和定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，文章提供了一系列使用技巧，幫忙開發(fā)者在保持精度的同時(shí)，顯著降低計(jì)算開銷。這些方法特別適用于物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備、嵌入式系統(tǒng)等對(duì)資源敏感的領(lǐng)域。

基礎(chǔ)知識(shí)

1.1 定義

眾所周知:均值(mean)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)：

方差(variance)反映數(shù)據(jù)的離散程度：

基于以上兩個(gè)定義式出發(fā),可以很簡單的轉(zhuǎn)換為C code, 淺顯易懂:

使用示例：

但是這種最基礎(chǔ)的實(shí)現(xiàn)存在幾個(gè)嚴(yán)重問題:

1）數(shù)據(jù)存儲(chǔ)問題

需要保存全部歷史數(shù)據(jù)

對(duì)于高頻采樣的傳感器（如IMU 200Hz），1s就需要存儲(chǔ)200個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)

在嵌入式系統(tǒng)中，內(nèi)存資源寶貴，這種方式極其浪費(fèi)

2）計(jì)算效率問題

每次計(jì)算都需要遍歷全部數(shù)據(jù)，時(shí)間復(fù)雜度為O(n)

對(duì)于實(shí)時(shí)系統(tǒng)，隨著數(shù)據(jù)量增加，計(jì)算延遲會(huì)越來越大

不適合需要快速響應(yīng)的實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)

3）數(shù)值穩(wěn)定性問題

直接累加可能導(dǎo)致數(shù)值溢出

對(duì)于很大或很小的數(shù)據(jù)，浮點(diǎn)數(shù)精度損失明顯

特別是在計(jì)算方差時(shí)，（Xi-u）的計(jì)算可能產(chǎn)生很大的舍入誤差

4）實(shí)時(shí)性問題

無法進(jìn)行增量計(jì)算

新數(shù)據(jù)到來時(shí)需要重新計(jì)算所有統(tǒng)計(jì)量

不適合流數(shù)據(jù)處理

在線算法(Online Algorithm)

在線方法也叫做流式方法, 針對(duì)批量方法的缺點(diǎn),在線方法不需要保存歷史數(shù)據(jù)，在線算法中比較經(jīng)典的是Welford算法。

Welford算法是由B.P. Welford在1962年提出的一種在線計(jì)算均值和方差的算法。它的核心思想是：每來一個(gè)新數(shù)據(jù)，就遞增地更新均值和方差，而不需要存儲(chǔ)所有歷史數(shù)據(jù)。

2.1 Welford算法

這是一種數(shù)值穩(wěn)定的在線算法，特別適合處理數(shù)據(jù)流。Welford算法的核心是遞推公式的推導(dǎo)。設(shè)第n個(gè)數(shù)據(jù)到來時(shí)：

1) 均值更新

2)方差更新： 3) 關(guān)鍵推導(dǎo)步驟： 2.2 Welford算法實(shí)現(xiàn) 2.2.1 核心結(jié)構(gòu)和函數(shù)

2.2.2 使用示例

2.2.3 算法步驟解釋

1) 每次新數(shù)據(jù)到來：

計(jì)數(shù)加1

計(jì)算新數(shù)據(jù)與當(dāng)前均值的差

更新均值

更新M2（用于方差計(jì)算）

2) 方差計(jì)算：

直接用M2除以樣本數(shù)

樣本數(shù)小于2時(shí)返回0

算法對(duì)比小結(jié)

本文介紹了Welford方差計(jì)算方法，它是一種在線、一次遍歷的方差計(jì)算算法，能在不存儲(chǔ)所有樣本的情況下，逐步計(jì)算所有樣本的方差。與傳統(tǒng)的方差計(jì)算方法相比，Welford方法在降低訪存次數(shù)的同時(shí)，也做到了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。因此，Welford方法更適合處理海量數(shù)據(jù)，也更適合在高性能計(jì)算環(huán)境中使用。

事實(shí)上，Welford算法啟發(fā)了 NVIDIA 在2018年提出的Online Softmax算法，該算法降低了Softmax計(jì)算的訪存次數(shù)，提高了計(jì)算性能。而Online Softmax則直接啟發(fā)了FlashAttention，后者已經(jīng)成為支撐當(dāng)前最流行的Transformer架構(gòu)的最核心的計(jì)算優(yōu)化手段。

END

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