連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析，是本課程最為重要的內(nèi)容之一，也是考試的重點(diǎn)。包括三方面內(nèi)容：周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)、非周期信號(hào)的傅里葉變換、時(shí)域抽樣。具體內(nèi)容如下圖所示。

本文包括前面兩部分：周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)、非周期信號(hào)的傅里葉變換。

說(shuō)在前頭：

借助傅里葉級(jí)數(shù)這塊敲門(mén)磚，我們就可以邁進(jìn)頻域分析的世界。但是很不幸，傅里葉級(jí)數(shù)稍顯繁瑣的表示形式和推導(dǎo)過(guò)程，使很多人望而生畏，打擊了學(xué)好本課程的自信心，越學(xué)越不想學(xué)，甚至于放棄。所以，我要求大家在學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)這部分內(nèi)容的時(shí)候，要練就一顆火眼金睛，要透過(guò)繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和計(jì)算，看到它背后隱藏的物理意義。特別是到傅里葉變換這部分，會(huì)出現(xiàn)很多神奇而美妙的結(jié)論，就好比閃閃發(fā)光的珠寶，吸引大家學(xué)好信號(hào)與系統(tǒng)。

一、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（CTFS）

“周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)”是打開(kāi)“頻域分析”大門(mén)的敲門(mén)磚，是連接時(shí)域和頻域的橋梁。

主要內(nèi)容包括：

1、三角形式的FS和指數(shù)形式的FS

下圖給出了三角形式和指數(shù)形式的FS展開(kāi)式及系數(shù)求解公式。

三角形式的FS與指數(shù)形式的FS的根本不同之處在于下面這個(gè)式子：

指數(shù)形式傅氏級(jí)數(shù)中有負(fù)頻率項(xiàng)，只是表達(dá)形式的問(wèn)題，并不表示真正存在以負(fù)頻率進(jìn)行振蕩的分量，負(fù)頻率項(xiàng)與相應(yīng)的正的頻率項(xiàng)合起來(lái)才代表一個(gè)振蕩分量。

需要掌握：

第一，兩種形式的正交信號(hào)集的特點(diǎn)；

第二，兩種形式的FS的展開(kāi)式的表達(dá)式及系數(shù)求解（重點(diǎn)）。

根據(jù)周期信號(hào)時(shí)域表達(dá)式的不同，求解方法分為兩種：

第一種，當(dāng)信號(hào)直接寫(xiě)成幾個(gè)正余弦函數(shù)之和的形式時(shí)，直接與FS展開(kāi)式的標(biāo)準(zhǔn)形式對(duì)比，得出FS系數(shù)，例如：

第二種，一般的周期信號(hào)，則需要利用系數(shù)求解公式進(jìn)行積分運(yùn)算。例如周期矩形脈沖信號(hào)的FS。教材上一般都有這道例題，這里不再重復(fù)。

2、周期信號(hào)的頻譜分析

這里是本課程首次給出“頻譜”的概念。用頻譜來(lái)描述信號(hào)，大家一定要接受并掌握這種描述信號(hào)的新形式，理清時(shí)頻對(duì)應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

第一，掌握頻譜的概念。衍生出來(lái)的“幅度譜”、“相位譜”、“單邊譜”、“雙邊譜”等名詞。

再?gòu)淖鲱}的角度總結(jié)一下，如下圖。

第二，周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)：離散性、諧波性、收斂性

第三，周期信號(hào)時(shí)域參數(shù)與頻譜特性的關(guān)系

以周期矩形脈沖信號(hào)為例來(lái)分析。如下圖。

得到以下結(jié)論：

第四，時(shí)域波形對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)與傅里葉系數(shù)的關(guān)系

如果時(shí)域波形有某種對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)，它的傅里葉級(jí)數(shù)會(huì)表現(xiàn)出一些特殊性，如下圖所示。

這種特殊性，在求解一些周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)時(shí)，如果運(yùn)用得當(dāng)，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。

二、非周期信號(hào)的傅里葉變換（CTFT）

傅里葉變換是重點(diǎn)中的重點(diǎn)。包括以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：

1、傅里葉變換的導(dǎo)出

如下圖所示。

周期T→無(wú)窮大，譜線(xiàn)間隔→無(wú)窮小，離散譜→連續(xù)譜，但同時(shí)，譜線(xiàn)幅度→無(wú)窮小，此時(shí)，用FS表示頻譜就不合適了。我們注意到，雖然譜線(xiàn)幅度趨于無(wú)窮小，但相對(duì)大小依然有區(qū)別。

借助物理上的“密度”的概念，質(zhì)量/體積=密度。導(dǎo)出非周期信號(hào)的傅里葉變換X(jw),它的意義是單位頻帶上的頻譜值，稱(chēng)為“頻譜密度函數(shù)”。

2、常用信號(hào)的傅里葉變換

沖激信號(hào)、階躍信號(hào)、符號(hào)函數(shù)、直流信號(hào)、正弦信號(hào)、余弦信號(hào)、單邊指數(shù)衰減信號(hào)、雙邊指數(shù)衰減信號(hào)、門(mén)函數(shù)（矩形脈沖信號(hào)）、鐘形脈沖信號(hào)（高斯脈沖）、升余弦脈沖信號(hào)、sinc函數(shù)等等。以及它們的各階導(dǎo)數(shù)和微分。

這些常用信號(hào)，有普通信號(hào)，也有奇異信號(hào)；有滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的，也有不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的。它們的傅里葉變換的求解，分為三種情況：

第一種，直接利用定義式求解；第二種，利用已有的變換對(duì)和性質(zhì)求解；第三種，特殊方法（比如階躍信號(hào)u(t)、符號(hào)函數(shù)等）。

有些要記住、有些（比如雙邊指數(shù)信號(hào)、鐘形脈沖、升余弦脈沖等）要能推導(dǎo)出來(lái)。

3、傅里葉變換的性質(zhì)

利用傅里葉變換這個(gè)工具，我們可以從信號(hào)的時(shí)域描述（以時(shí)間t為自變量的函數(shù)x(t)）得到它的頻域描述（X(jw)），反之亦然。傅里葉變換的性質(zhì)就是研究這兩個(gè)域——時(shí)域和頻域之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，什么對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？我們可以用兩句話(huà)來(lái)總結(jié)，第一句話(huà)，一個(gè)域中的某些特性在另外一個(gè)域中對(duì)應(yīng)什么特性？第二句話(huà)，一個(gè)域中的某種運(yùn)算在另外一個(gè)域中發(fā)生什么變化？具體來(lái)說(shuō)，哪些特性、哪些運(yùn)算呢？比如，奇偶對(duì)稱(chēng)特性、展縮運(yùn)算、平移、積分/微分等等。

任何一本教材上，都有傅里葉變換性質(zhì)的列表，這里不面面俱到。重點(diǎn)講以下幾個(gè)：

展縮特性

矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換對(duì)能特別直觀地展現(xiàn)展縮性質(zhì)。

矩形脈沖的脈寬增大，時(shí)域上，非零值的時(shí)間范圍增加；頻域上，頻譜更集中在頻率原點(diǎn)附近。即“時(shí)域擴(kuò)展，頻譜壓縮”，反之亦然。

展縮特性，從理論上證明了時(shí)域與頻域的相反關(guān)系，也證明了信號(hào)的時(shí)寬帶寬積等于常數(shù)的結(jié)論。通信中，若要壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，則信號(hào)的帶寬就要展寬。要壓縮信號(hào)的有效頻帶，就不得不增加信號(hào)的持續(xù)時(shí)間。

一般而言，時(shí)域有限，頻譜無(wú)限，反之亦然。不存在時(shí)域和頻域都有限的信號(hào)。

時(shí)移頻移特性

時(shí)域平移，對(duì)應(yīng)頻域，幅頻特性不變，相位譜產(chǎn)生附加的線(xiàn)性變化（+wt0）。所以波形的形狀不變，因?yàn)楦鱾€(gè)頻率分量的相對(duì)大小關(guān)系不變（對(duì)應(yīng)幅度譜不變）、在時(shí)間軸上的相對(duì)位置關(guān)系也不變（對(duì)應(yīng)相位增加一個(gè)wt0，和w成線(xiàn)性關(guān)系）。

頻移呢，頻譜的搬移是通信系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛的技術(shù)，例如調(diào)制、解調(diào)、變頻等，都是在頻移的基礎(chǔ)上完成的，頻移特性是其理論基礎(chǔ)。

利用頻移特性，我們可以推導(dǎo)出虛指數(shù)信號(hào)、正弦余弦信號(hào)的傅里葉變換。這三個(gè)信號(hào)都是不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的，其傅里葉變換中都存在沖激函數(shù)。

微分特性

時(shí)域微分特性和頻域微分特性，可以用來(lái)求解利用公式不能或者不易求解的變換對(duì)，比如沖激偶函數(shù)、tu(t)等等。

微分特性，在系統(tǒng)的頻域分析中很重要。因?yàn)槊枋鲞B續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的是微分方程，我們可以想到，傅里葉變換的方法，必將在微分方程求解（即系統(tǒng)響應(yīng)求解）、系統(tǒng)分析中大有用武之地。

積分特性

積分特性也是主要用來(lái)求解一些比較復(fù)雜的信號(hào)的傅里葉變換。但是應(yīng)用的時(shí)候要注意，不能把積分特性當(dāng)做微分特性的倒過(guò)來(lái)，而要注意其中的直流分量，否則就會(huì)出錯(cuò)。

卷積特性

包括時(shí)域卷積特性和頻域卷積特性，一個(gè)域相乘，另外一個(gè)域卷積，這是一個(gè)非?；?、非常重要的關(guān)系。

提供了一種計(jì)算傅里葉變換的方法，同時(shí)，也是系統(tǒng)的頻域分析的基礎(chǔ)。

互易對(duì)稱(chēng)特性

最后來(lái)說(shuō)一說(shuō)這個(gè)神奇而美麗的性質(zhì)。

如果某個(gè)信號(hào)，在時(shí)域上有某種紅色的特性，它在頻域上有藍(lán)色的特性，而另外一個(gè)信號(hào)，在時(shí)域上有這種藍(lán)色的特性，那么它在頻域上，就會(huì)以某種類(lèi)似于剛才那種紅色的特性表現(xiàn)出來(lái)。

很多變換對(duì)體現(xiàn)了這一點(diǎn)。比如，時(shí)域上的沖激信號(hào)，頻譜是1；而時(shí)域上的直流1，對(duì)應(yīng)頻譜為2π乘上沖激函數(shù)。再比如，時(shí)域上的矩形脈沖，頻譜為sinc函數(shù)；而時(shí)域的sinc信號(hào)，頻譜為矩形函數(shù)。

很多傅里葉變換的性質(zhì)也體現(xiàn)了這一點(diǎn)，比如時(shí)移特性與頻移特性、時(shí)域微分與頻域微分，等等。

最后，提一下傅里葉反變換的求解方法，有以下三種：

利用傅里葉反變換的定義式求解

利用FT的性質(zhì)求解

特別注意互易對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用。

部分分式展開(kāi)法

部分分式展開(kāi)法，不僅僅是傅里葉反變換的求解方法之一，也是后面的拉氏變換、z變換的反變換求解方法。

4、周期信號(hào)的傅里葉變換

周期信號(hào)，不滿(mǎn)足絕對(duì)可積，如果帶入到傅里葉變換的公式里，積分是不收斂的，那是不是就意味著，周期信號(hào)的傅里葉變換不存在呢？不是的。我們前面在講解傅里葉變換的性質(zhì)時(shí)，已經(jīng)求解出了正余弦信號(hào)的傅里葉變換對(duì)，發(fā)現(xiàn)它們的傅里葉變換中有沖激函數(shù)，所以，通過(guò)引入沖激函數(shù)，不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件的周期信號(hào)，也可以用傅里葉變換來(lái)表示。這樣，傅里葉變換就把傅里葉級(jí)數(shù)統(tǒng)一起來(lái)了。

傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換之間到底是什么關(guān)系呢？用下圖很容易理解二者的關(guān)系。

周期信號(hào)的傅里葉變換是一系列強(qiáng)度為2πXk，發(fā)生在諧波頻率kw0上的沖激串的線(xiàn)性組合，仍是離散譜。

可以推導(dǎo)出一個(gè)非常重要、非常有趣、非常美麗的一個(gè)變換對(duì)，如下圖

上圖所示的這個(gè)變換對(duì)，會(huì)在“時(shí)域抽樣”部分中發(fā)揮重要的作用。