將偏差的比例（Proportion）、積分（Integral）和微分（Differential）通過線性組合構(gòu)成控制量，用這一控制量對被控對象進行控制，這樣的控制器稱PID控制器。在社區(qū)開源的CW32L011無刷電機驅(qū)動器有感控制代碼就用到了相關(guān)方法。也是電機控制必備知識。

1模擬PID控制原理

在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制規(guī)律是PID控制。為了說明控制器的工作原理，先看一個例子。如圖1所示是一個小功率直流電機的調(diào)速原理圖。給定速度n0(t)與實際轉(zhuǎn)速進行比較，其差值e(t)=n0(t)-n(t)，經(jīng)過PID控制器調(diào)整后輸出電壓控制信號u(t)，u(t)經(jīng)過功率放大后，驅(qū)動直流電動機改變其轉(zhuǎn)速。

圖1 小功率直流電機調(diào)速系統(tǒng)

常規(guī)的模擬PID控制系統(tǒng)原理框圖如圖2所示。該系統(tǒng)由模擬PID控制器和被控對象組成。圖中，r(t)是給定值，y(t)是系統(tǒng)的實際輸出值，給定值與實際輸出值構(gòu)成控制偏差e(t)，所以：

圖2 模擬PID控制系統(tǒng)原理圖

e(t)作為PID控制的輸入，u(t)作為PID控制器的輸出和被控對象的輸入。所以模擬PID控制器的控制規(guī)律為：

其中：Kp為控制器的比例系數(shù)；Ti為控制器的積分時間，也稱積分系數(shù)；Td為控制器的微分時間，也稱微分系數(shù)。

1）．比例部分

比例部分的數(shù)學式表示是：Kp* e(t)。

在模擬PID控制器中，比例環(huán)節(jié)的作用是對偏差瞬間作出反應。偏差一旦產(chǎn)生控制器立即產(chǎn)生控制作用，使控制量向減少偏差的方向變化。控制作用的強弱取決于比例系數(shù)，比例系數(shù)越大，控制作用越強，則過渡過程越快，控制過程的靜態(tài)偏差也就越??；但是越大，也越容易產(chǎn)生振蕩，破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。故而，比例系數(shù)選擇必須恰當，才能過渡時間少，靜差小而又穩(wěn)定的效果。

2）．積分部分

積分部分的數(shù)學式表示是：

從積分部分的數(shù)學表達式可以知道，只要存在偏差，則它的控制作用就不斷的增加；只有在偏差為零時，它的積分才能是一個常數(shù)，控制作用才是一個不會增加的常數(shù)?？梢?，積分部分可以消除系統(tǒng)的偏差。

積分環(huán)節(jié)的調(diào)節(jié)作用雖然會消除靜態(tài)誤差，但也會降低系統(tǒng)的響應速度，增加系統(tǒng)的超調(diào)量。積分常數(shù)越大，積分的積累作用越弱，這時系統(tǒng)在過渡時不會產(chǎn)生振蕩；但是增大積分常數(shù)會減慢靜態(tài)誤差的消除過程，消除偏差所需的時間也較長，但可以減少超調(diào)量，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當積分常數(shù)較小時，則積分的作用較強，這時系統(tǒng)過渡時間中有可能產(chǎn)生振蕩，不過消除偏差所需的時間較短。所以必須根據(jù)實際控制的具體要求來確定積分系統(tǒng)。

3）．微分部分

微分部分的數(shù)學式表示是：

實際的控制系統(tǒng)除了希望消除靜態(tài)誤差外，還要求加快調(diào)節(jié)過程。在偏差出現(xiàn)的瞬間，或在偏差變化的瞬間，不但要對偏差量做出立即響應（比例環(huán)節(jié)的作用），而且要根據(jù)偏差的變化趨勢預先給出適當?shù)募m正。為了實現(xiàn)這一作用，可在PI控制器的基礎上加入微分環(huán)節(jié)，形成PID控制器。

微分環(huán)節(jié)的作用是阻止偏差的變化。它是根據(jù)偏差的變化趨勢（變化速度）進行控制。偏差變化的越快，微分控制器的輸出就越大，并能在偏差值變大之前進行修正。微分作用的引入，將有助于減小超調(diào)量，克服振蕩，使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，特別對髙階系統(tǒng)非常有利，它加快了系統(tǒng)的跟蹤速度。但微分的作用對輸入信號的噪聲很敏感，對那些噪聲較大的系統(tǒng)一般不用微分，或在微分起作用之前先對輸入信號進行濾波。

微分部分的作用由微分時間常數(shù)決定。微分系統(tǒng)越大時，則它抑制偏差變化的作用越強；越小時，則它反抗偏差變化的作用越弱。微分部分顯然對系統(tǒng)穩(wěn)定有很大的作用。

適當?shù)剡x擇微分常數(shù)，可以使微分作用達到最優(yōu)。

由于計算機的出現(xiàn)，計算機進入了控制領(lǐng)域。人們將模擬PID控制規(guī)律引入到計算機中來。對式2的PID控制規(guī)律進行適當?shù)淖儞Q，就可以用軟件實現(xiàn)PID控制，即數(shù)字PID控制。

數(shù)字式PID控制算法可以分為位置式PID和增量式PID控制算法。

2位置式PID算法

由于計算機控制是一種采樣控制，它只能根據(jù)采樣時刻的偏差計算控制量，而不能像模擬控制那樣連續(xù)輸出控制量量，進行連續(xù)控制。由于這一特點，式2中的積分項和微分項不能直接使用，必須進行離散化處理。離散化處理的方法為：以T作為采樣周期，k作為采樣序號，則離散采樣時間kT對應著連續(xù)時間t，用矩形法數(shù)值積分近似代替積分，用一階后向差分近似代替微分，可作如下近似變換：

上式中，為了表示的方便，將類似于e(kT)簡化成ek等。

將式3代入式2，就可以得到離散的PID表達式為：

或：

其中，k為采樣序號，k＝0，1，2，……；

uk為第次采樣時刻的計算機輸出值；

ek為第次采樣時刻輸入的偏差值；

ek-1為第k-1次采樣時刻輸入的偏差值；

Ki為積分系數(shù)，Ki=Kp*T/Ti；

為微分系數(shù)，Kd=Kp*Td/T；

如果采樣周期足夠小，則式4或式5的近似計算可以獲得足夠精確的結(jié)果，離散控制過程與連續(xù)過程十分接近。

式4或式5表示的控制算法直接按式2所給出的PID控制規(guī)律定義進行計算的，所以它給出了全部控制量的大小，因此被稱為全量式或位置式PID控制算法。

這種算法的缺點是：由于全量輸出，所以每次輸出均與過去狀態(tài)有關(guān)，計算時要對ek進行累加，工作量大；并且，因為計算機輸出的uk對應的是執(zhí)行機構(gòu)的實際位置，如果計算機出現(xiàn)故障，輸出的uk將大幅度變化，會引起執(zhí)行機構(gòu)的大幅度變化，有可能因此造成嚴重的生產(chǎn)事故，這在實生產(chǎn)際中是不允許的。

增量式PID控制算法可以避免這種現(xiàn)象發(fā)生。

3增量式PID算法

所謂增量式PID是指數(shù)字控制器的輸出只是控制量的增量Δuk。當執(zhí)行機構(gòu)需要的控制量是增量，而不是位置量的絕對數(shù)值時，可以使用增量式PID控制算法進行控制。

增量式PID控制算法可以通過式4推導出。由式4可以得到控制器的第k-1個采樣時刻的輸出值為：

將式4與6相減并整理，就可以得到增量式PID控制算法公式為：

其中：

由式7可以看出，如果計算機控制系統(tǒng)采用恒定的采樣周期T，一旦確定A、B、C，只要使用前后三次測量的偏差值，就可以由7求出控制量。

增量式PID控制算法與位置式PID算法(如式4）相比，計算量小的多，因此在實際中得到廣泛的應用。

而位置式PID控制算法也可以通過增量式控制算法推出遞推計算公式：

式8就是目前在計算機控制中廣泛應用的數(shù)字遞推PID控制算法。

4控制器參數(shù)整定

控制器參數(shù)整定：指決定調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)Kp、積分時間Ti、微分時間Td和采樣周期Ts的具體數(shù)值。整定的實質(zhì)是通過改變調(diào)節(jié)器的參數(shù)，使其特性和過程特性相匹配，以改善系統(tǒng)的動態(tài)和靜態(tài)指標，取得最佳的控制效果。

整定調(diào)節(jié)器參數(shù)的方法很多，歸納起來可分為兩大類，即理論計算整定法和工程整定法。理論計算整定法有對數(shù)頻率特性法和根軌跡法等；工程整定法有湊試法、臨界比例法、經(jīng)驗法、衰減曲線法和響應曲線法等。工程整定法特點不需要事先知道過程的數(shù)學模型，直接在過程控制系統(tǒng)中進行現(xiàn)場整定，方法簡單、計算簡便、易于掌握。

湊試法

按照先比例（P）、再積分（I）、最后微分（D）的順序。

置調(diào)節(jié)器積分時間Ti=∞，微分時間Td=0，在比例系數(shù)按經(jīng)驗設置的初值條件下，將系統(tǒng)投入運行，由小到大整定比例系數(shù)Kp。求得滿意的1/4衰減度過渡過程曲線。

引入積分作用（此時應將上述比例系數(shù)Kp設置為5/6Kp）。將Ti由大到小進行整定。

若需引入微分作用時，則將Td按經(jīng)驗值或按Td=（1/3～1/4）Ti設置，并由小到大加入。

臨界比例法

在閉環(huán)控制系統(tǒng)里，將調(diào)節(jié)器置于純比例作用下，從小到大逐漸改變調(diào)節(jié)器的比例系數(shù)，得到等幅振蕩的過渡過程。此時的比例系數(shù)稱為臨界比例系數(shù)Ku，相鄰兩個波峰間的時間間隔，稱為臨界振蕩周期Tu。

臨界比例度法步驟：

1、將調(diào)節(jié)器的積分時間Ti置于最大（Ti=∞），微分時間置零（Td=0），比例系數(shù)Kp適當，平衡操作一段時間，把系統(tǒng)投入自動運行。

2、將比例系數(shù)Kp逐漸增大，得到等幅振蕩過程，記下臨界比例系數(shù)Ku和臨界振蕩周期Tu值。

3、根據(jù)Ku和Tu值，采用經(jīng)驗公式，計算出調(diào)節(jié)器各個參數(shù)，即Kp、Ti和Td的值。

按“先P再I最后D”的操作程序?qū)⒄{(diào)節(jié)器整定參數(shù)調(diào)到計算值上。若還不夠滿意，可再作進一步調(diào)整。

臨界比例度法整定注意事項：

有的過程控制系統(tǒng)，臨界比例系數(shù)很大，使系統(tǒng)接近兩式控制，調(diào)節(jié)閥不是全關(guān)就是全開，對工業(yè)生產(chǎn)不利。

有的過程控制系統(tǒng)，當調(diào)節(jié)器比例系數(shù)Kp調(diào)到最大刻度值時，系統(tǒng)仍不產(chǎn)生等幅振蕩，對此，就把最大刻度的比例度作為臨界比例度Ku進行調(diào)節(jié)器參數(shù)整定。

經(jīng)驗法

用湊試法確定PID參數(shù)需要經(jīng)過多次反復的實驗，為了減少湊試次數(shù)，提高工作效率，可以借鑒他人的經(jīng)驗，并根據(jù)一定的要求，事先作少量的實驗，以得到若干基準參數(shù)，然后按照經(jīng)驗公式，用這些基準參數(shù)導出PID控制參數(shù)，這就是經(jīng)驗法。

臨界比例法就是一種經(jīng)驗法。這種方法首先將控制器選為純比例控制器，并形成閉環(huán)，改變比例系數(shù)，使系統(tǒng)對階躍輸入的響應達到臨界狀態(tài)，這時記下比例系數(shù)Ku、臨界振蕩周期為Tu，根據(jù)Z－N提供的經(jīng)驗公式，就可以由這兩個基準參數(shù)得到不同類型控制器的參數(shù)，如表1所示。

表1 臨界比例法確定的模擬控制器參數(shù)

這種臨界比例法是針對模擬PID控制器，對于數(shù)字PID控制器，只要采樣周期取的較小，原則上也同樣使用。在電動機的控制中，可以先采用臨界比例法，然后在采用臨界比例法求得結(jié)果的基礎上，用湊試法進一步完善。

表1的控制參數(shù)，實際上是按衰減度為1/4時得到的。通常認為1/4的衰減度能兼顧到穩(wěn)定性和快速性。如果要求更大的衰減，則必須用湊試法對參數(shù)作進一步的調(diào)整。

采樣周期的選擇

Shannon采樣定律：為不失真地復現(xiàn)信號的變化，采樣頻率至少應大于或等于連續(xù)信號最高頻率分量的二倍。根據(jù)采樣定律可以確定采樣周期的上限值。實際采樣周期的選擇還要受到多方面因素的影響，不同的系統(tǒng)采樣周期應根據(jù)具體情況來選擇。

采樣周期的選擇，通常按照過程特性與干擾大小適當來選取采樣周期：即對于響應快、（如流量、壓力）波動大、易受干擾的過程，應選取較短的采樣周期；反之，當過程響應慢（如溫度、成份）、滯后大時，可選取較長的采樣周期。

采樣周期的選取應與PID參數(shù)的整定進行綜合考慮，采樣周期應遠小于過程的擾動信號的周期，在執(zhí)行器的響應速度比較慢時，過小的采樣周期將失去意義，因此可適當選大一點；在計算機運算速度允許的條件下，采樣周期短，則控制品質(zhì)好；當過程的純滯后時間較長時，一般選取采樣周期為純滯后時間的1/4～1/8。

5參數(shù)調(diào)整規(guī)則探索

人們通過對PID控制理論的認識和長期人工操作經(jīng)驗的總結(jié)，可知PID參數(shù)應依據(jù)以下幾點來適應系統(tǒng)的動態(tài)過程。

1、在偏差比較大時，為使盡快消除偏差，提高響應速度，同時為了避免系統(tǒng)響應出現(xiàn)超調(diào)，Kp取大值，Ki取零；在偏差比較小時，為繼續(xù)減小偏差，并防止超調(diào)過大、產(chǎn)生振蕩、穩(wěn)定性變壞，Kp值要減小，Ki取小值；在偏差很小時，為消除靜差，克服超調(diào)，使系統(tǒng)盡快穩(wěn)定，Kp值繼續(xù)減小，Ki值不變或稍取大。

2、當偏差與偏差變化率同號時，被控量是朝偏離既定值方向變化。因此，當被控量接近定值時，反號的比列作用阻礙積分作用，避免積分超調(diào)及隨之而來的振蕩，有利于控制；而當被控量遠未接近各定值并向定值變化時，則由于這兩項反向，將會減慢控制過程。在偏差比較大時，偏差變化率與偏差異號時，Kp值取零或負值，以加快控制的動態(tài)過程。

3、偏差變化率的大小表明偏差變化的速率，ek-ek-1越大，Kp取值越小，Ki取值越大，反之亦然。同時，要結(jié)合偏差大小來考慮。

4、微分作用可改善系統(tǒng)的動態(tài)特性，阻止偏差的變化，有助于減小超調(diào)量，消除振蕩，縮短調(diào)節(jié)時間ts，允許加大Kp，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差減小，提高控制精度，達到滿意的控制效果。所以，在ek比較大時，Kd取零，實際為PI控制；在ek比較小時，Kd取一正值，實行PID控制。

審核編輯 黃宇