以下文章來源于FPGA算法工程師，作者18線工程師

概述

自適應濾波理論在統(tǒng)計信號處理中占據(jù)非常重要的地位，在通信、控制、雷達等領域獲得廣泛應用。自適應濾波器的基本目標，是通過某種方式對參數(shù)θ(k)進行調(diào)整，使濾波器輸出盡可能使得包含參考信號的某個特定目標函數(shù)達到最小化。

在實時信號處理中，我們希望濾波器在實現(xiàn)濾波、平滑或預測等任務中，能夠跟蹤和適應系統(tǒng)或環(huán)境的動態(tài)變化，這需要濾波器的參數(shù)可以隨時間做簡單的變化或更新，因為復雜的運算不符合實施快速處理的要求。

【自適應濾波算法】系列將介紹常用的匹配濾波器、維納濾波器、Kalman濾波、LMS算法和RLS算法。參考書籍推薦《現(xiàn)代信號處理》和《自適應濾波算法與實現(xiàn)》。

我們從最基礎的匹配濾波器開始。

1. 匹配濾波器的概念

在濾波器設計中，遵循兩種最優(yōu)設計準則：

使濾波器的輸出達到最大的信噪比，稱為匹配濾波器；

使輸出濾波器的均方估計誤差為最小，稱為Wiener濾波器。

考慮接收信號模型:

線性連續(xù)時間濾波器

從接收機的角度看，接收信號y(t)是已知發(fā)送信號s(t)經(jīng)過信道傳播后得到，n(t)為信道傳播過程中引入的零均值平穩(wěn)噪聲。在實際系統(tǒng)中，我們希望進入基帶的接收信號yo(t)信號質(zhì)量盡可能好，于是通過設計濾波器的沖擊響應函數(shù)h(t)，使得濾波器輸出的信噪比最大。

根據(jù)信號與系統(tǒng)的知識，我們可以得到濾波器的輸出可以表示為：

濾波器在t＝To時刻的輸出信噪比定義為：

根據(jù)Parseval定理：

則輸出信號可以寫作：

于是輸出信號在t＝To的瞬時功率：

輸出噪聲的平均功率：

令Pn(w)是加性噪聲n(t)的功率譜密度，則輸出噪聲的功率譜密度為：

于是，輸出噪聲的平均功率可以寫成：

因此，得到信噪比：

再應用柯西-施瓦茨不等式：

得到：

將上式中等號成立時的濾波器傳遞函數(shù)記作Hopt(w),并利用柯西-施瓦茨不等式取等號的條件，則有：

于是，我們可以得到輸出最大信噪比為：

在白噪聲情況下，其功率譜密度Pn(w)＝1，故濾波器傳遞函數(shù)可以簡化為：

因此有|Ho(w)|=|S*(w)=|S(w)|，當濾波器達到最大輸出信噪比時，濾波器的幅頻特性|H(w)|與信號s(t)的幅頻特性|S(w)|相等。

通過對上式兩邊做IFFT，得到：

即：匹配濾波器的沖激響應ho(t)是信號s(t)的一鏡像信號。

2. 匹配濾波器的性質(zhì)

匹配濾波器在很多工程問題中有重要應用，其性質(zhì)概括如下：

性質(zhì)1：在所有線性濾波器中，匹配濾波器輸出的信噪比最大，且SNRmax=2Es/(No)，與輸入信號的波形以及加性噪聲的分布特性無關。

性質(zhì)2：匹配濾波器輸出信號在t＝To時刻的瞬時功率達到最大。

性質(zhì)3：匹配濾波器輸出信噪比達到最大的時刻To，應該選取等于原信號的持續(xù)時間T。

性質(zhì)4：匹配濾波器對波形相同而幅值不同的時延信號具有適應性。

性質(zhì)5：匹配濾波器對頻移信號不具有適應性。

局限性：在匹配濾波器中，接收機必須已知并存儲信號的精確結構或功率譜，并且積分區(qū)間必須與信號取非零值的區(qū)間同步，但顯然在實際系統(tǒng)中，原信號在傳輸過程中發(fā)生傳播延遲，并伴隨相偏和頻偏，信號區(qū)間和積分區(qū)間無法精確同步而造成誤差，匹配濾波難以實現(xiàn)。

3. 匹配濾波器示例

MATLAB示例： 在原點放置一個各向同性天線元件（0;0;0）。然后，在距離發(fā)射機約7公里處放置一個RCS（雷達截面積）為1平方米、不動的目標，位置為（5000;5000;10）。將工作（載波）頻率設置為10 GHz。模擬單基地雷達的發(fā)送和接收,計算發(fā)射機到目標的距離和角度。

產(chǎn)生一個時長25us、脈沖頻率為10 kHz的矩形脈沖波形。利用雷達方程確定探測目標所需的峰值功率。該目標在發(fā)射機工作頻率和增益的最大不模糊距離下，RCS為1平方米。信噪比基于非相干檢測期望的誤檢率10-6。

在接收端收集回波，并通過匹配濾波器提升信噪比。

matlab示例代碼：

```

antenna = phased.IsotropicAntennaElement('FrequencyRange',[5e9 15e9]);

transmitter = phased.Transmitter('Gain',20,'InUseOutputPort',true);

fc = 10e9;

target = phased.RadarTarget('Model','Nonfluctuating',...

'MeanRCS',1,'OperatingFrequency',fc);

txloc = [0;0;0];

tgtloc = [5000;5000;10];

transmitterplatform = phased.Platform('InitialPosition',txloc);

targetplatform = phased.Platform('InitialPosition',tgtloc);

[tgtrng,tgtang] = rangeangle(targetplatform.InitialPosition,...

transmitterplatform.InitialPosition);

waveform = phased.RectangularWaveform('PulseWidth',25e-6,...

'OutputFormat','Pulses','PRF',10e3,'NumPulses',1);

c = physconst('LightSpeed');

maxrange = c/(2*waveform.PRF);

SNR = npwgnthresh(1e-6,1,'noncoherent');

lambda = physconst('LightSpeed')/target.OperatingFrequency;

Ts = 290;

dbterms = db2pow(SNR - 2*transmitter.Gain);

Pt = (4*pi)^3*physconst('Boltzmann')*Ts/waveform.PulseWidth/target.MeanRCS/(lambda^2)*maxrange^4*dbterms;

transmitter.PeakPower = Pt;

radiator = phased.Radiator('PropagationSpeed',c,...

'OperatingFrequency',fc,'Sensor',antenna);

channel = phased.FreeSpace('PropagationSpeed',c,...

'OperatingFrequency',fc,'TwoWayPropagation',false);

collector = phased.Collector('PropagationSpeed',c,...

'OperatingFrequency',fc,'Sensor',antenna);

receiver = phased.ReceiverPreamp('NoiseFigure',0,...

'EnableInputPort',true,'SeedSource','Property','Seed',2e3);

mfilter = phased.MatchedFilter(...

'Coefficients',getMatchedFilter(waveform),...

'GainOutputPort',true);

wf = waveform();

[wf,txstatus] = transmitter(wf);

wf = radiator(wf,tgtang);

wf = channel(wf,txloc,tgtloc,[0;0;0],[0;0;0]);

wf = target(wf);

wf = channel(wf,tgtloc,txloc,[0;0;0],[0;0;0]);

wf = collector(wf,tgtang);

rx_puls = receiver(wf,~txstatus);

[mf_puls,mfgain] = mfilter(rx_puls);

Gd = length(mfilter.Coefficients)-1;

mf_puls=[mf_puls(Gd+1:end); mf_puls(1:Gd)];

subplot(2,1,1)

t = unigrid(0,1e-6,1e-4,'[)');

rangegates = c.*t;

rangegates = rangegates/2;

plot(rangegates,abs(rx_puls))

title('Received Pulse')

ylabel('Amplitude')

hold on

plot([tgtrng, tgtrng], [0 max(abs(rx_puls))],'r')

subplot(2,1,2)

plot(rangegates,abs(mf_puls))

title('With Matched Filtering')

xlabel('Meters')

ylabel('Amplitude')

hold on

plot([tgtrng, tgtrng], [0 max(abs(mf_puls))],'r')

hold off

```

接收脈沖匹配濾波