在之前的格物匯文章中，我們介紹了特征抽取的經(jīng)典算法——主成分分析（PCA），了解了PCA算法實質(zhì)上是進行了一次坐標軸旋轉(zhuǎn)，盡可能讓數(shù)據(jù)映射在新坐標軸方向上的方差盡可能大，并且讓原數(shù)據(jù)與新映射的數(shù)據(jù)在距離的變化上盡可能小。方差較大的方向代表數(shù)據(jù)含有的信息量較大，建議保留。方差較小的方向代表數(shù)據(jù)含有的信息量較少，建議舍棄。今天我們就來看一下PCA的具體應用案例和特征映射的另一種方法：線性判別分析（LDA）。

PCA案例

在機器學習中，所使用的數(shù)據(jù)往往維數(shù)很大，我們需要使用降維的方法來突顯信息含量較大的數(shù)據(jù)，PCA就是一個很好的降維方法。下面我們來看一個具體的應用案例，為了簡單起見，我們使用一個較小的數(shù)據(jù)集來展示：

顯而易見，我們數(shù)據(jù)有6維，維數(shù)雖然不是很多但不一定代表數(shù)據(jù)不可以降維。我們使用sklearn中的PCA算法擬合數(shù)據(jù)集得到如下的結果：

我們可以看到經(jīng)過PCA降維后依然生成了新的6個維度，但是數(shù)據(jù)映射在每一個維度上的方差大小不一樣。我們會對每一個維度上的方差進行歸一化，每一個維度上的方差量我們稱為可解釋的方差量（Explained Variance）。由圖可知，每一個維度上可解釋方差占比為：0.4430，0.2638，0.1231，0.1012，0.0485，0.0204。根據(jù)經(jīng)驗來說我們期望可解釋的方差量累計值在80%以上較好，因此我們可以選擇降維降到3維（82.99%）或者4維（93.11%），括號中的數(shù)字為累計可解釋的方差量，最后兩維方差解釋只有7%不到，建議舍去。圖中的柱狀圖表示原維度在新坐標軸上的映射向量大小。在前兩維度上表現(xiàn)如下圖所示：

PCA雖然能實現(xiàn)很好的降維效果，但是它卻是一種無監(jiān)督的方法。實際上我們更加希望對于有類別標簽的數(shù)據(jù)（有監(jiān)督），也能實現(xiàn)降維，并且降維后能更好的區(qū)分每一個類。此時，特征抽取的另一種經(jīng)典算法——線性判別分析（LDA）就閃亮登場了。

LDA簡介

LDA是一種監(jiān)督學習的降維技術，也就是說它的數(shù)據(jù)集的每個樣本是有類別輸出的。這點和PCA不同。PCA是不考慮樣本類別輸出的無監(jiān)督降維技術。LDA的思想可以用一句話概括，就是“投影后類內(nèi)方差最小，類間方差最大”。什么意思呢？ 我們要將數(shù)據(jù)在低維度上進行投影，投影后希望每一種類別數(shù)據(jù)的投影點盡可能的接近，而不同類別的數(shù)據(jù)的類別中心之間的距離盡可能的大。

上圖中提供了兩種投影方式，哪一種能更好的滿足我們的標準呢？從直觀上可以看出，右圖要比左圖的投影效果好，因為右圖的黑色數(shù)據(jù)和藍色數(shù)據(jù)各個較為集中，且類別之間的距離明顯。左圖則在邊界處數(shù)據(jù)混雜。LDA的降維效果更像右圖，它能在新坐標軸上優(yōu)先區(qū)分出兩個類別，它是如何實現(xiàn)的呢？

LDA的原理

LDA的主要思想是“投影后類內(nèi)方差最小，類間方差最大”。實質(zhì)上就是很好的區(qū)分出兩個類的分布。我們知道衡量數(shù)據(jù)分布的兩個重要指標是均值和方差，對于每一個類，他們的定義如下：

與PCA一樣，LDA也是對數(shù)據(jù)的坐標軸進行一次旋轉(zhuǎn)，假設旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)移矩陣是w，那么新的旋轉(zhuǎn)數(shù)據(jù)可以表示為：

同理，兩個類別的中心點也轉(zhuǎn)換成了:

我們求解這個最優(yōu)化問題，即可求出轉(zhuǎn)移變換矩陣w,即LDA的最終結果。

PCA vs LDA

LDA用于降維，和PCA有很多相同，也有很多不同的地方，因此值得好好的比較一下兩者的降維異同點。首先我們看看相同點：

1、兩者均可以對數(shù)據(jù)進行降維

2、兩者在降維時均使用了矩陣特征分解的思想

3、兩者都假設數(shù)據(jù)符合高斯分布

我們接著看看不同點：

1、LDA是有監(jiān)督的降維方法，而PCA是無監(jiān)督的降維方法

2、LDA降維最多降到類別數(shù)k-1的維數(shù)，而PCA沒有這個限制

3、LDA除了可以用于降維，還可以用于分類

4、LDA選擇分類性能最好的投影方向，而PCA選擇樣本點投影具有最大方差的方向

在某些數(shù)據(jù)分布下LDA比PCA降維較優(yōu)(左圖)，在某些數(shù)據(jù)分布下，PCA比LDA降維較優(yōu)。

好了，以上就是本期格物匯的內(nèi)容，我們下期見。

本文作者：格創(chuàng)東智 OT團隊（轉(zhuǎn)載請注明作者及來源）