M-P模型的來源

所謂M-P模型，其實是按照生物神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)和工作原理構(gòu)造出來的一個抽象和簡化了的模型。
下圖是生物神經(jīng)元結(jié)構(gòu)。

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大家可以查一查一些生物方面的書籍，了解一下這個神經(jīng)元是如何工作的。我們可以概括出生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的假定特點：
1. 每個神經(jīng)元都是一個多輸入單輸出的信息處理單元；
2. 神經(jīng)元輸入分興奮性輸入和抑制性輸入兩種類型；
3. 神經(jīng)元具有空間整合特性和閾值特性；
4. 神經(jīng)元輸入與輸出間有固定的時滯，主要取決于突觸延擱

M-P模型

按照生物神經(jīng)元，我們建立M-P模型。為了使得建模更加簡單，以便于進(jìn)行形式化表達(dá)，我們忽略時間整合作用、不應(yīng)期等復(fù)雜因素，并把神經(jīng)元的突觸時延和強(qiáng)度當(dāng)成常數(shù)。下圖就是一個M-P模型的示意圖。

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那么接下來就好類比理解了。我們將這個模型和生物神經(jīng)元的特性列表來比較：

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結(jié)合M-P模型示意圖來看，對于某一個神經(jīng)元j （注意別混淆成變量了，在這里j 只是起到標(biāo)識某個神經(jīng)元的作用），它可能接受同時接受了許多個輸入信號，用 χi 表示。

由于生物神經(jīng)元具有不同的突觸性質(zhì)和突觸強(qiáng)度，所以對神經(jīng)元的影響不同，我們用權(quán)值 ωij 來表示，其正負(fù)模擬了生物神經(jīng)元中突出的興奮和抑制，其大小則代表了突出的不同連接強(qiáng)度。

θj表示為一個閾值（threshold），或稱為偏置（bias）。

由于累加性，我們對全部輸入信號進(jìn)行累加整合，相當(dāng)于生物神經(jīng)元中的膜電位（水的變化總量），其值就為：

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神經(jīng)元激活與否（外接專用水管流出與否）取決于某一閾值電平（水位高度），即只有當(dāng)其輸入總和超過閾值θj 時，神經(jīng)元才被激活而發(fā)放脈沖，否則神經(jīng)元不會發(fā)生輸出信號。整個過程可以用下面這個函數(shù)來表示：

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yj表示神經(jīng)元j的輸出，函數(shù)f稱為激活函數(shù) ( Activation Function )或轉(zhuǎn)移函數(shù) ( Transfer Function ) ，net'j(t)稱為凈激活(net activation)。
若將閾值看成是神經(jīng)元j的一個輸入x0的權(quán)重w0j，則上面的式子可以簡化為：

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若用X表示輸入向量，用W表示權(quán)重向量，即：

則神經(jīng)元的輸出可以表示為向量相乘的形式：

若神經(jīng)元的凈激活net為正，稱該神經(jīng)元處于激活狀態(tài)或興奮狀態(tài)(fire)，若凈激活net為負(fù)，則稱神經(jīng)元處于抑制狀態(tài)。
由此我們可以得到總結(jié)出M-P模型的6個特點：
1. 每個神經(jīng)元都是一個多輸入單輸出的信息處理單元；
2. 神經(jīng)元輸入分興奮性輸入和抑制性輸入兩種類型；
3. 神經(jīng)元具有空間整合特性和閾值特性；
4. 神經(jīng)元輸入與輸出間有固定的時滯，主要取決于突觸延擱；
5. 忽略時間整合作用和不應(yīng)期；
6. 神經(jīng)元本身是非時變的，即其突觸時延和突觸強(qiáng)度均為常數(shù)。

前面4點和生物神經(jīng)元保持一致。

結(jié)合公式來看，輸入χij的下標(biāo) i=1,2,...,n，輸出 yj 的下標(biāo)j 體現(xiàn)了第1個特點“多輸入單輸出”；

權(quán)重值 ωij 的正負(fù)體現(xiàn)了第2個特點中“突觸的興奮與抑制”；

θj 代表第3個特點 中的閾值，當(dāng) net'j(t)?Tj>0 時，神經(jīng)元才能被激活；

為了簡單起見，對膜電位的計算net'j(t) 并沒有考慮時間整合，只考慮了空間整合，即只對每條神經(jīng)末梢傳來的信號根據(jù)權(quán)重進(jìn)行累加整合，而沒有考慮輸入輸出間的突觸時延,體現(xiàn)了第5個特點。

這種“閾值加權(quán)和”的神經(jīng)元模型稱為M-P模型 ( McCulloch-Pitts Model )，也稱為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一個處理單元( PE, Processing Element )。

常用激活函數(shù)

激活函數(shù)的選擇是構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)過程中的重要環(huán)節(jié)，下面簡要介紹常用的激活函數(shù)。

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以上3個激活函數(shù)都屬于線性函數(shù)，下面介紹兩個常用的非線性激活函數(shù)。

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S形函數(shù)與雙極S形函數(shù)的圖像如下：

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雙極S形函數(shù)與S形函數(shù)主要區(qū)別在于函數(shù)的值域，雙極S形函數(shù)值域是(?1,1)，而S形函數(shù)值域是(0,1)。

由于S形函數(shù)與雙極S形函數(shù)都是可導(dǎo)的(導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)函數(shù))，因此適合用在BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中。（BP算法要求激活函數(shù)可導(dǎo)）

最簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)——感知器

在1958年,美國心理學(xué)家Frank Rosenblatt提出一種具有單層計算單元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),稱為感知器(Perceptron)。它其實就是基于M-P模型的結(jié)構(gòu)。我們可以看看它的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。

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這個結(jié)構(gòu)非常簡單，如果你還記得前面所講的M-P神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)的話，這個圖其實就是輸入輸出兩層神經(jīng)元之間的簡單連接（如果忘了可以看看第一話的模型示意圖）。

由第一話的(2)中我們知道輸入層各節(jié)點的輸入加權(quán)和

我們一般采用符號函數(shù)來當(dāng)作單層感知器的傳遞函數(shù)，即輸出

公式(2)可以進(jìn)一步表達(dá)為：

單層感知器的局限性

雖然單層感知器簡單而優(yōu)雅，但它顯然不夠聰明——它僅對線性問題具有分類能力。什么是線性問題呢？簡單來講，就是用一條直線可分的圖形。比如，邏輯“與”和邏輯“或”就是線性問題，我們可以用一條直線來分隔0和1。

1）邏輯“與”的真值表和二維樣本圖如圖2：

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2）邏輯“或”的真值表如圖3：

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為什么感知器就可以解決線性問題呢？這是由它的傳遞函數(shù)決定的。這里以兩個輸入分量 x1 和 x2 組成的二維空間為例，此時節(jié)點 j 的輸出為

所以，方程

確定的直線就是二維輸入樣本空間上的一條分界線。對于三維及更高維數(shù)的推導(dǎo)過程可以參考其他的Tutorials。
如果要讓它來處理非線性的問題，單層感知器網(wǎng)就無能為力了。例如下面的“異或”，就無法用一條直線來分割開來，因此單層感知器網(wǎng)就沒辦法實現(xiàn)“異或”的功能。

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多層感知器的瓶頸

既然一條直線無法解決分類問題，當(dāng)然就會有人想到用彎曲的折線來進(jìn)行樣本分類。我們常常聽到一句批評人笨的話“你這人腦袋就是不會轉(zhuǎn)彎！”大意就是如此，腦袋會轉(zhuǎn)彎的人才善于解決問題。所以，人們請來了單層感知器他哥——多層感知器來幫忙。所謂多層感知器，就是在輸入層和輸出層之間加入隱層，，以形成能夠?qū)颖菊_分類的凸域。多層感知器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如下圖所示。

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我們可以比較一下單層感知器和多層感知器的分類能力：

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由上圖可以看出，隨著隱層層數(shù)的增多，凸域?qū)⒖梢孕纬扇我獾男螤?，因此可以解決任何復(fù)雜的分類問題。實際上，Kolmogorov理論指出：雙隱層感知器就足以解決任何復(fù)雜的分類問題。

多層感知器確實是非常理想的分類器，但問題也隨之而來：隱層的權(quán)值怎么訓(xùn)練？對于各隱層的節(jié)點來說，它們并不存在期望輸出，所以也無法通過感知器的學(xué)習(xí)規(guī)則來訓(xùn)練多層感知器。因此，多層感知器心有余而力不足，雖然武功高強(qiáng)，但卻無力可施。

ANN的低潮期

1966年，Minisky和Papert在他們的《感知器》一書中提出了上述的感知器的研究瓶頸，指出理論上還不能證明將感知器模型擴(kuò)展到多層網(wǎng)絡(luò)是有意義的。這在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的歷史上書寫了極其灰暗的一章。對ANN的研究，始于1890年開始于美國著名心理學(xué)家W.James對于人腦結(jié)構(gòu)與功能的研究，半個世紀(jì)后W.S.McCulloch和W.A.Pitts提出了M-P模型，之后的1958年Frank Rosenblatt在這個基礎(chǔ)上又提出了感知器，此時對ANN的研究正處在升溫階段，《感知器》這本書的出現(xiàn)就剛好為這剛剛?cè)计鸬娜斯ど窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)之火潑了一大盆冷水。一時間人們仿佛感覺對以感知器為基礎(chǔ)的ANN的研究突然間走到盡頭，看不到出路了。于是，幾乎所有為ANN提供的研究基金都枯竭了，很多領(lǐng)域的專家紛紛放棄了這方面課題的研究。

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ANN研究的復(fù)蘇和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的誕生

所以說真理的果實總是垂青于能夠忍受寂寞的科學(xué)家。盡管ANN的研究陷入了前所未有的低谷， 但仍有為數(shù)不多的學(xué)者忍受住寂寞，堅持致力于ANN的研究。在長達(dá)10年的低潮時期之間，相 繼有一些開創(chuàng)性的研究成果被提出來，但還不足以激起人們對于ANN研究的熱情。一直到上世 紀(jì)80年代，兩個璀璨的成果誕生了：1982年美國加州理工學(xué)院的物理學(xué)家John J.Hopfield博 士的Hopfield網(wǎng)絡(luò)和David E.Rumelhart以及James L.McCelland研究小組發(fā)表的《并行分布 式處理》。這兩個成果重新激起了人們對ANN的研究興趣，使人們對模仿腦信息處理的智能計 算機(jī)的研究重新充滿了希望。

前者暫不討論，后者對具有非線性連續(xù)變換函數(shù)的多層感知器的誤差反向傳播(Error Back Propagation)算法進(jìn)行了詳盡的分析，實現(xiàn)了 Minsky 關(guān)于多層網(wǎng)絡(luò)的設(shè)想。Error Back Propagation算法的簡稱就是BP算法，以BP算法實現(xiàn)的多層感知器網(wǎng)絡(luò)就是BP網(wǎng)絡(luò)。

所以，BP網(wǎng)絡(luò)本質(zhì)上并不是一個新的網(wǎng)絡(luò)，而是使用BP學(xué)習(xí)算法的多層感知器網(wǎng)絡(luò)。