傅里葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語(yǔ)原名是Jean Baptiste Joseph Fourier（1768-1830）， Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。

　　傅里葉變換

　　當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange， 1736-1813）和拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace， 1749-1827），當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在他此后生命的六年中，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅里葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。

　　法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作，幸運(yùn)的是，傅里葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國(guó)大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。

　　拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅里葉是對(duì)的。

　　用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線而不用方波或三角波來(lái)表示的原因在于，分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。

　　傅立葉變換，表面上是“時(shí)域到頻域”的變換，實(shí)際上就相當(dāng)于一個(gè)分解或者換基的操作。簡(jiǎn)單解釋成“時(shí)域到頻域”至少有兩個(gè)問(wèn)題。首先，盡管時(shí)域和頻域的關(guān)系很多時(shí)候可以比較形象的理解，比如亮度分布和它的空間頻率什么的，但有時(shí)他們的關(guān)系就不那么直接（比如量子力學(xué)的動(dòng)量波函數(shù)和坐標(biāo)波函數(shù)）。其次，這沒(méi)解釋為什么這么操作一下就可以得到正確結(jié)果，往往會(huì)讓人覺(jué)得“不明覺(jué)厲”，仿佛是一種魔法。但是一旦理解了它是一種分解（或者換基）操作，則只要理解了“基函數(shù)”的意義，傅立葉變換就很容易理解（為什么要做、怎么做、為什么這樣做）。分解（或者換基）操作的理解可以很容易地推廣到其它積分變換，比如拉普拉斯變換中去。而如果簡(jiǎn)單想象成“時(shí)域到頻域”的變換，則拉普拉斯變換的“頻域”的物理意義很難解釋清楚。下面我們從積分變換的定義出發(fā)，具體闡述一下這種思路。

　　傅里葉變換意義

　　一般說(shuō)來(lái)，積分變換具有以下的形式（參見(jiàn)維基百科）：

　　其中 ?K(t,u)?就是積分變換的核 （kernel）。這個(gè)積分變換的“物理含義”就是， f(t)?在核函數(shù)的復(fù)共軛這一組正交基上的展開(kāi)系數(shù)。為什么呢？如果大家學(xué)過(guò)一點(diǎn)線性代數(shù)，就可以發(fā)現(xiàn)積分變換具有內(nèi)積的形式。將 u'?看作參數(shù)，如果 ?K(u',t)?和 ?K(u,t)?正交，則積分變換無(wú)非是給出了向量 \vec{f}?在基函數(shù)? K^*(t,u)??上投影?/?分量的通式。要注意的是，這里的基函數(shù)不是 ?K(t,u)?而是 ?K^*(t,u)?。這是因?yàn)?，?nèi)積的結(jié)果是一個(gè)“數(shù)”而不是向量，所以作為向量的兩個(gè)被乘函數(shù)必須有一個(gè)要被取復(fù)共軛（相當(dāng)于轉(zhuǎn)置）。以上推理從內(nèi)積的狄拉克括號(hào)表示的角度看很容易理解： (Tf)(u) = \langle K^*|f \rangle??——左矢括號(hào) \langle |?自帶轉(zhuǎn)置效果，要符合原定義則 bra?內(nèi)必須是 K^*?。

　　在以上的討論中我提到了向量 \vec{f}?，那它與函數(shù) f(t)?又是什么關(guān)系呢？不妨想象一下普通空間的三維矢量 \vec{f}\equiv(a,b,c)?，其中的 a,b,c?也無(wú)非是向量 \vec{f}?在? \vec{x},\vec{y},\vec{z}?基矢上的展開(kāi)系數(shù)。也就是說(shuō)，我們可以通過(guò)寫(xiě)出一個(gè)矢量在所有基矢量方向的展開(kāi)系數(shù)以及所有基矢量的方式完全確定一個(gè)向量。如果把任何一個(gè)函數(shù)的自變量的任意一個(gè)（或者一組，對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)）可能的取值看作一個(gè)基矢，函數(shù)值看作展開(kāi)系數(shù)，那么，任何函數(shù)都可以看作是一個(gè)向量的一個(gè)具體表示。當(dāng)然了，如果仔細(xì)推導(dǎo)一下，函數(shù) f(x)?的一組正交基實(shí)際上是 \delta(x)?（狄拉克 \delta??函數(shù)）。

　　總結(jié)一下，

　　函數(shù)? f(t)??是向量 \vec{f}在基矢 \{\delta(t)\}?上的展開(kāi)系數(shù)。

　　其它任何一組正交函數(shù)也可以作為基矢量。

　　向量 \vec{f}?在基矢 \{K^*\}?的展開(kāi)系數(shù)就是積分變換 (Tf)(u)?。也就是說(shuō)， (Tf)(u)?是 \vec{f}?的另一表示。

　　由于 f(t)?和 (Tf)(u)?只是同一個(gè)向量在不同正交基下的“表示”，而且自變量的符號(hào)不同，為了方便區(qū)分，我們說(shuō) f(t)?是 t?表象中的表示， (Tf)(u)?是 u?表象中的表示。具體的例子比如量子力學(xué)里的位置表象和動(dòng)量表象。

　　以上的解釋仍然比較抽象。實(shí)際上，以上述觀點(diǎn)進(jìn)行的傅立葉變換在量子力學(xué)中似乎特別多見(jiàn)。如果只限定在薛定諤繪景中討論，我覺(jué)得主要原因是：

　　由薛定諤方程的線性導(dǎo)出的態(tài)疊加原理以及哈密頓算符的厄米性。這就使得任何一個(gè)“奇怪”的量子態(tài)總能被分解為一系列本征態(tài)的疊加。

　　含時(shí)薛定諤方程的形式解是復(fù)指數(shù)函數(shù)的形式。而復(fù)指數(shù)函數(shù)正好是復(fù)數(shù)傅立葉變換的核。

　　任何其他一階偏微分算符的本征函數(shù)也是復(fù)指數(shù)函數(shù)的形式，而一階偏微分算符在量子力學(xué)中很常見(jiàn)（比如動(dòng)量算符）。

　　所以，量子力學(xué)中的傅立葉變換往往就有非常直接的物理意義：將一個(gè)態(tài)從非本征態(tài)表示（從而這個(gè)算符對(duì)應(yīng)的可觀測(cè)物理量一般是隨時(shí)間變化的）展開(kāi)為本征態(tài)（比如含時(shí)薛定諤方程的形式解，從而一般也是定態(tài)）的表示。以對(duì) 能量-時(shí)間的不確定關(guān)系如何導(dǎo)出光譜自然展寬？的精彩回答為例，對(duì)于一個(gè)有限壽命的激發(fā)態(tài) |\Psi\rangle?，它的波函數(shù) \Psi(t)?可以寫(xiě)成

　　它的能量隨時(shí)間變化，于是這不是“真正”的本征態(tài)（雖然激發(fā)態(tài)壽命有限在量子場(chǎng)論中是真空能量起伏的鍋，但是在這里不妨認(rèn)為是沒(méi)到達(dá)真正的本征態(tài)）。而能量不變的本征態(tài)的形式，由含時(shí)薛定諤方程可知，應(yīng)為

　　進(jìn)一步假設(shè) \psi(E)?基本不隨 E?變化（相對(duì)于指數(shù)部分來(lái)說(shuō)， E \gg \Delta E?時(shí)這似乎很合理。這好像就是旋轉(zhuǎn)波近似），則 \psi(E_0)?和 \psi(E)?都可以忽略掉——只不過(guò)最后有個(gè)常系數(shù)而已，不影響線型（總歸要?dú)w一化嘛）。于是我們就可以e^{-\frac{iE t}{\hbar}}為基函數(shù)展開(kāi) |\Psi \rangle?，這樣我們就得到能量表象中的波函數(shù)為?：

　　可以看出，上面的展開(kāi)恰巧就是傅立葉變換的形式。嚴(yán)格地說(shuō)，核函數(shù)是 e^{+i}?形式的在數(shù)學(xué)上是“逆傅立葉變換”。但我們統(tǒng)一從核函數(shù)的復(fù)共軛作為基函數(shù)的角度考慮——并且考慮到數(shù)學(xué)上的傅立葉變換也是對(duì)稱(chēng)的——那么正、逆只是一個(gè)人為規(guī)定的叫法的問(wèn)題，并沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。實(shí)際上，的確有很多量子力學(xué)書(shū)籍把 e^{+i}?形式的變換稱(chēng)作（正）傅立葉變換，從數(shù)學(xué)上的“正變換”也是從時(shí)域到非時(shí)域的角度看，確實(shí)也有道理。

　　最后， |\Psi \rangle?在能量表象中的概率分布也就是光譜線型。同樣不考慮歸一化因子，線型就是：

　　也就是洛倫茲線型，有的地方又稱(chēng)之為?Breit-Wigner?線型。

　　Bottom Line： 傅立葉變換（不管正、逆）作為積分變換的一個(gè)特例，無(wú)非就是求一個(gè)向量在一組正交基函數(shù)中的展開(kāi)系數(shù)，或者說(shuō)一個(gè)向量在一組給定正交基中的表示。不用硬記變換的時(shí)候到底是用 +i?還是 -i?，實(shí)際運(yùn)用時(shí)只要記住內(nèi)積的表達(dá)式就好了。