先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均模糊時(shí)基于貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則的分布式?jīng)Q策融合

當(dāng)先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均為梯形模糊數(shù)時(shí)，在貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則意義下，研究了在融合中心對(duì)多個(gè)獨(dú)立傳感器的決策進(jìn)行最優(yōu)融合的問題，給出了四種決策融合算法，通過仿真和比較這四種融合算法的結(jié)果，找到了一種最適用于這種場(chǎng)合的最優(yōu)決策融合算法.結(jié)果表明，在先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均為梯形模糊數(shù)情況下所導(dǎo)出的最優(yōu)決策融合規(guī)則是各檢測(cè)器決策的加權(quán)和與一門限之比較，權(quán)重是各檢測(cè)器檢測(cè)概率和虛警概率的函數(shù)，門限除與最優(yōu)融合準(zhǔn)則、先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)有關(guān)外，還與使用的去模糊方法有關(guān).
　　關(guān)鍵詞:決策；融合；模糊先驗(yàn)概率；模糊代價(jià)函數(shù)；貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則

Optimal Distributed Decision Fusion with Fuzzy a priori Probabilities and Fuzzy Cost Functions Based on Minimum Bayesian Risk Criterion

WANG Guo-hong　MAO Shi-yi
(Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100083,China)
HE You
(Naval Aeronautical Engineering Academy,Yantai 264001,China)
CHEN Li-xin
(Telecommunication Transmission Institute,Beijing 100045,China)

　　Abstract:When the a priori probabilities and cost functions are fuzzy,the optimal decision fusion in the sense of minimum Bayesian risk at the fusion center is considered.The fusion center receives decisions from various distributed sensors and four optimal decision fusion schemes at the fusion center are derived.It is discovered that the optimal decision fusion rule is a weighted sum of local decisions in this case,the weights are functions of the probability of detection and the probability of false alarm of the detector,and that the threshold depends not noly on the fuzzy a priori probabilities and cost functions but also on the criterion used for defuz***ying fuzzy sets.Through the simulation,an optimal decision fusion scheme which is most suitable for fuzzy a priori probabilities and cost functions with trapezoidal membership functions is found.
　　Key words:decision;fusion;fuzzy priori probabilities;fuzzy cost functions;Bayesian risk criterion

一、引　　言
　　近十幾年來，具有數(shù)據(jù)融合功能的分布式檢測(cè)系統(tǒng)引起了人們的廣泛關(guān)注［1～4］.其中，在先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)確切已知時(shí)，文獻(xiàn)［1～3］基于貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則對(duì)分布式檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行了研究.我們知道，貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則與先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)有關(guān)，而在實(shí)際場(chǎng)合中，先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均有可能處于不確切已知的模糊狀態(tài).例如，在雷達(dá)系統(tǒng)中，信息狀態(tài)的先驗(yàn)概率并不在雷達(dá)系統(tǒng)的直接控制下，先驗(yàn)概率與雷達(dá)系統(tǒng)工作的特定環(huán)境有關(guān)，從統(tǒng)計(jì)等方法得到的先驗(yàn)概率常常是標(biāo)稱值，因此，用一個(gè)區(qū)間或模糊數(shù)來表征信息的先驗(yàn)概率可能是更合適的；同樣，實(shí)際中很難用一確切值來表征某種判決的代價(jià)，而用模糊數(shù)來表征代價(jià)函數(shù)則可能更符合實(shí)際情況.對(duì)分布式?jīng)Q策融合系統(tǒng)，當(dāng)先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均模糊時(shí)的最優(yōu)融合結(jié)構(gòu)(在貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則意義下)及模糊先驗(yàn)概率和模糊代價(jià)函數(shù)對(duì)融合系統(tǒng)性能的影響如何，是一個(gè)至今尚水研究的問題.本文對(duì)此進(jìn)行了研究，并在先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均為梯形模糊數(shù)的情況下，基于貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則導(dǎo)出了最優(yōu)的決策融合算法，并通過仿真得出了一些結(jié)論.

二、兩種新的去模糊方法
　　在推導(dǎo)決策融合算法之前，本節(jié)首先提出二種新的去模糊方法.設(shè)B為一模糊數(shù)，其α-截集為去模糊后的清晰值記為，令B=，其中，B和之間的“=”符號(hào)表示一種“序”關(guān)系.
　　1.TDC去模糊方法
　　文獻(xiàn)［5］給出了模糊數(shù)排序的TDC(Total Distance Criterion)方法，即是要通過映射把橫糊數(shù)B映射到實(shí)數(shù)軸上，通過比較FTDC(.)的大小，來確定模糊數(shù)之間的“序”關(guān)系.顯然，根據(jù)模糊數(shù)排序的TDC準(zhǔn)則，有FTDC(B)=FTDC().由于是一清晰值，因此可得=FTDC().于是，可得基于TDC準(zhǔn)則的去模糊方法為

　(1)

　　本文把這種新的去模糊方法稱之為“TDC去模糊方法”，它實(shí)際上是用模糊數(shù)的總距離來代替該模糊數(shù).
　　2.URI去模糊方法
　　文獻(xiàn)［5］給出了模糊數(shù)排序的URI (Utility Ranking Index)方法，即是要通過映射把模糊數(shù)B映射到實(shí)數(shù)軸上，通過比較FURI(.)的大小，來確定模糊數(shù)之間的“序”關(guān)系.根據(jù)模糊數(shù)排序的URI準(zhǔn)則，應(yīng)有FURI(B)=FURI().由于是一清晰值，因此可求得FURI()=ln(2)=2ln().于是，可得基于URI準(zhǔn)則的去模糊方法為

　(2)

本文把這種新的去模糊方法，稱之為“URI去模糊方法”，它實(shí)際上是用模糊數(shù)排序的效用指標(biāo)來代替該模糊數(shù).

三、決策融合模型及性能分析
　　考慮如下的二元假設(shè)檢驗(yàn)問題：

H0:信號(hào)不存在
H1：信號(hào)存在.

假定有n個(gè)檢測(cè)器，各個(gè)檢測(cè)器的觀測(cè)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，第i個(gè)檢測(cè)器作出的決策為ui，i=1,…,n，且當(dāng)接受H0時(shí)，ui=-1，當(dāng)接受H1時(shí)，ui=1.又設(shè)第i個(gè)檢測(cè)器的虛警概率和檢測(cè)概率分別為PFi和FDi，各個(gè)檢測(cè)器在作出決策ui之后，將決策ui送到融合中心.基于各個(gè)檢測(cè)器的決策報(bào)告，系統(tǒng)融合中心作出系統(tǒng)級(jí)的決策u,且當(dāng)接受H0時(shí)，u=-1，當(dāng)接受H1時(shí)，u=1.設(shè)兩種假設(shè)的先驗(yàn)概率分別為P(H0)=P0和P(H1)=P1，當(dāng)假設(shè)Hj(j=0,1)為真時(shí)，判決接受假設(shè)Hi(i=0,1)的代價(jià)為Cij，并設(shè)Pj和Cij均為模糊數(shù)，其隸屬度函數(shù)的形式取決于特定的應(yīng)用場(chǎng)合和一定的主觀判斷，為方便起見，本文中假定它們均為梯形模糊數(shù)(常見的三角模糊數(shù)和區(qū)間數(shù)是它的特例)，Pj和Cij的隸屬度函數(shù)形式如圖1所示.由于錯(cuò)誤判決的代價(jià)一般總是大于正確判決的代價(jià)，因此，本文中假定c011＞c112,c101＞c002.i,j=0,1，很容易由圖1求得Pj和Cij的α-截集并分別記為由于P0和P1是兩種互斥且完備假設(shè)的先驗(yàn)概率，因而，盡管它們是模糊的，它們也必須滿足P0=1-P1，從而必有下列關(guān)系式成立：p01=1-p12,p02=1-p11,p0l=1-p1r和p0r=1-p1l.

圖1　Pj和Cij的隸屬度形式

　　由于對(duì)Pj的特定清晰值pj和Cij的特定清晰值ci,j,i,j=0,1，可用貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則進(jìn)行分布式判決融合，因此，當(dāng)Pj和Cij,i,j=0,1均為模糊數(shù)時(shí)，可以象處理清晰值的先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)那樣得到分布式?jīng)Q策融合算法，為

　(3)

其中

　(4)
　(5)

　　由于γ是模糊的，因此若按式(3)進(jìn)行分布式?jīng)Q策融合的判決，就涉及到一個(gè)清晰值和一個(gè)模糊數(shù)的比較問題.為此，本文提出以下四種對(duì)γ進(jìn)行處理的方法：
　　方法1：按最大隸屬度去模糊方法直接對(duì)各模糊數(shù)作去模糊處理
　　由于Pj和Cij均為模糊數(shù)，因此，一種最直接的方法就是對(duì)Pj和Cij,i,j=0,1按某種去模糊方法作去模糊處理，得到Pj的估值j和Cij的估值ij，并將j和ij代入式(5)以替換Pj和Cij,從而確定γ的估值，即

　(6)

由于P0和P1是兩種互斥且完備假設(shè)的先驗(yàn)概率，因此在對(duì)P0和P1去模糊時(shí)，要求所選擇的去模糊方法應(yīng)滿足0+1=1.在本文給出的條件下，若按最大隸屬度去模糊方法對(duì)Pj和Cij進(jìn)行模糊處理，即令

　(7)

則易驗(yàn)證該去模糊方法能夠滿足0+1=1的要求.按式(7)得到j和ij之后，將其代入式(6)即可得γ的去模糊值.
　　方法2：按TDC去模糊方法直接對(duì)各模糊數(shù)作去模糊處理
　　直接對(duì)各模糊數(shù)去模糊的第二種方法是采用TDC去模糊方法，即i,j=0,1，令

　(8)
　(9)

同樣可驗(yàn)證該去模糊方法能夠滿足0+1=1的要求.按式(8)和(9)分別得到j和ij,i,j=0,1之后，同樣將其代入式(6)即可求得γ的去模糊值.
　　方法3：按TDC去模糊方法對(duì)γ作去模糊處理
　　i=0,1，若令
　　　a01=c10l-c101+c002-c00r
　　　a02=c10r-c102+c001-c00l
　　　a11=c01l-c001+c112-c11r
　　　a12=c01r-c012+c111-c11l
　　b01=c101-c002,b02=c102-c001
　　b11=c011-c112,b12=c012-c111
　　h1i=ai1(pil-pi1),h2i=ai2(pir-pi2)
g1i=ai1pi1+bi1(pil-pi1)
g2i=ai2pi2+bi2(pir-pi2)
f1i=bi1pi1,f2i=bi2pi2
則經(jīng)過一定的運(yùn)算可以求得γ的α-截集為(γ)α［γα1,γα2］，其中

　(10)

得到γ的α-截集之后，若令

Fj=∫10γαjdα,j=1,2　(11)

則可利用TDC去模糊方法得到為

　(12)

　　方法4：按URI去模糊方法對(duì)γ作去模糊處理
　　j=1,2,i=0,1，若令

Fji=∫10ln(hjiα2+gjiα+fji)dα　(13)

則按URI去模糊方法可得到為

　(14)

　　在采用上述四種方法得到之后，若令

β=ln()　(15)

就將式(3)的決策融合規(guī)則變?yōu)?/P>

　(16)

　　式(16)就是在先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均模糊情況下，基于貝葉斯最小風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則所推導(dǎo)出來的最優(yōu)分布式?jīng)Q策融合規(guī)則，其門限β由式(15)所確定.由此可以得到下列結(jié)論：(1)無論采用哪種去模糊方法，最優(yōu)決策融合規(guī)則仍是各檢測(cè)器決策的加權(quán)和與一門限之比較，這與先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)為清晰值時(shí)的結(jié)構(gòu)是一樣的；(2)與先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)為清晰值時(shí)一樣，權(quán)重只是各檢測(cè)器檢測(cè)概率PDi和虛警概率PFi的函數(shù)；(3)在先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均為梯形模糊數(shù)時(shí)，門限除與最優(yōu)融合準(zhǔn)則、先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)有關(guān)外，還與使用的去模糊方法有關(guān).
　　在推導(dǎo)出決策融合模型之后，下面分析系統(tǒng)的性能.在一般情況下，融合中心的虛警概率和檢測(cè)概率的表達(dá)式是很難得到的.但是，當(dāng)各個(gè)檢測(cè)器相同且工作在相同的工作點(diǎn)時(shí)，即對(duì)所有的i和j有PFi=PFj=PF和PDi=PDj=PD，則決策規(guī)則可以簡(jiǎn)化，且也可得到虛警概率和檢測(cè)概率的表達(dá)式.設(shè)PfF和PfD分別表示融合中心的虛警概率和檢測(cè)概率，且令Pf10=PfF,Pf00=1-PfF,Pf01=1-PfD,Pf11=PfD，則融合中心的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)C為C=∑1j=0∑1i=0PjCijPfij,且C的α-截集為(C)α［Cα1,Cα2］，其中

利用TDC去模糊方法即可得到系統(tǒng)融合中心貝葉斯平均風(fēng)險(xiǎn)C的估值為

四、舉　　例
　　在各傳感器及其工作點(diǎn)相同的條件下，對(duì)本文提出的四種方法進(jìn)行了仿真比較，得到的結(jié)果如表1所示，其中的n,PF和PD分別表示檢測(cè)器個(gè)數(shù)、檢測(cè)器的虛警概率和檢測(cè)概率，“狀態(tài)1”至“狀態(tài)4”的含義如表2所示.除表1給出的結(jié)果外，還進(jìn)行了大量的仿真.由仿真結(jié)果可以得出以下一些結(jié)論：(1)這四種融合算法的性能均與模糊先驗(yàn)概率、模糊代價(jià)函數(shù)、檢測(cè)器性能和傳感器數(shù)量有關(guān)；(2)在先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均為梯形模糊數(shù)的情況下，“方法2”(即采用TDC去模糊方法直接對(duì)各先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)去模糊)的性能優(yōu)于其它三種方法的性能，可以作為先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)均為梯形模糊數(shù)情況下分布式?jīng)Q策融合的首選方法；(3)在虛警概率比較小和檢測(cè)概率比較大的情況下，四種方法可以得到幾乎一致的結(jié)果，因此，本文的方法特別適宜于各檢測(cè)器性能不夠好的場(chǎng)合；(4)盡管四種方法所得的門限一般是不相同的，但在許多情況下，四種方法又可以得到一樣的結(jié)果，這說明融合系統(tǒng)能提高系統(tǒng)的魯棒性；(5)用TDC去模糊方法對(duì)γ作去模糊處理所得結(jié)果不如用TDC去模糊方法直接對(duì)模糊先驗(yàn)概率和代價(jià)函數(shù)作去模糊處理所得結(jié)果，這說明TDC去模糊方法比較適合于對(duì)梯形模糊數(shù)作去模糊處理.

表1　四種方法的仿真結(jié)果比較

仿真條件				貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)估值
Pj、Cij	n	PF	PD	方法1	方法2	方法3	方法4
狀態(tài)1	3	0.1	0.6	4.9373×105	4.8333×105	4.8333×105	4.8333×105
狀態(tài)1	4	0.1	0.7	4.8333×105	4.8062×105	4.8062×105	4.8333×105
狀態(tài)1	3	0.01	0.6	4.8333×105	4.8333×105	4.9903×105	4.8333×105
狀態(tài)2	3	0.1	0.6	4.5504×105	4.5171×105	4.5171×105	4.5504×105
狀態(tài)2	4	0.1	0.7	4.3792×105	4.3792×105	4.5085×105	4.3792×105
狀態(tài)2	3	0.01	0.6	4.5504×105	4.4456×105	4.4456×105	4.5504×105
狀態(tài)3	3	0.1	0.6	1.9482×105	1.8958×105	1.9482×105	1.8958×105
狀態(tài)3	3	0.01	0.6	3.2381×105	3.2381×105	3.2381×105	3.2381×105
狀態(tài)4	5	0.1	0.6	6.0199×104	5.9023×104	6.0199×104	6.0199×104
狀態(tài)4	3	0.01	0.6	5.1625×104	5.1625×104	6.0687×104	5.1625×104