1 時域和頻域

當(dāng)我們在示波器上查看電信號時，會看到一條線，表示電壓隨時間的變 化。在任何特定時刻，信號只有一個電壓值。我們在示波器上看到的是信號的時域表示。

典型的示波器很直觀，但它也有一定的限制性，因為它不直接顯示信號的頻率內(nèi)容。與時域表示相反，頻域表示（也稱為頻譜）通過識別同時存在的各種頻率分量來傳達(dá)關(guān)于信號的信息。

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正弦波（頂部）和方波（底部）的時域表示 ?

正弦波（頂部）和方波（底部）的頻域表示

2 什么是濾波器 ?

濾波器是一個電路，其去除或“過濾掉”特定范圍的頻率分量。換句話說，它將信號的頻譜分離為將要通過的頻率分量和將被阻塞的頻率分量。 ? 讓我們假設(shè)我們有一個由完美的5 kHz正弦波組成的音頻信號。我們知道時域中的正弦波是什么樣的，在頻域中我們只能看到5 kHz的頻率“尖峰”。現(xiàn)在讓我們假設(shè)我們激活一個500 kHz振蕩器，將高頻噪聲引入音頻信號。在示波器上看到的信號仍然只是一個電壓序列，每個時刻有一個值，但信號看起來會有所不同，因為它的時域變化現(xiàn)在必須反映5 kHz正弦波和高頻噪音波動。然而，在頻域中，正弦波和噪聲是在該一個信號中同時存在的單獨的頻率分量。正弦波和噪聲占據(jù)了信號頻域表示的不同部分（如下圖所示），這意味著我們可以通過將信號引導(dǎo)通過低頻并阻擋高頻的電路來濾除噪聲。 ?

? ? 3 濾波器的類型

如果濾波器通過低頻并阻止高頻，則稱為低通濾波器。如果它阻擋低頻并通過高頻，它就是一個高通濾波器。還有帶通濾波器，其僅通過相對窄的頻率范圍，以及帶阻濾波器，其僅阻擋相對窄的頻率范圍。

? 還可以根據(jù)用于實現(xiàn)電路的組件類型對濾波器進(jìn)行分類。無源濾波器使用電阻、電容、電感；這些組件不具備提供放大的能力，因此無源濾波器只能維持或減小輸入信號的幅度。另一方面，有源濾波器既可以濾波信號又可以應(yīng)用增益，因為它包括有源元件，如晶體管或運算放大器。 ?

基于流行的Sallen-Key拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的有源低通濾波器

? 4 RC低通濾波器

? 為了創(chuàng)建無源低通濾波器，我們需要將電阻元件與電抗元件組合在一起。換句話說，我們需要一個由電阻器和電容器或電感器組成的電路。從理論上講，電阻 - 電感（RL）低通拓?fù)湓跒V波能力方面與電阻 - 電容（RC）低通拓?fù)湎喈?dāng)。但實際上，電阻 - 電容版本更為常見，因此本文的其余部分將重點介紹RC低通濾波器。 ?

RC低通濾波器 如圖所示，通過將一個電阻與信號路徑串聯(lián)，并將一個電容與負(fù)載并聯(lián)， 可以產(chǎn)生RC低通響應(yīng)。在圖中，負(fù)載是單個組件，但在實際電路中，它可能更復(fù)雜，例如模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換器，放大器或示波器的輸入級，用于測量濾波器的響應(yīng)。 ? 如果我們認(rèn)識到電阻器和電容器形成與頻率相關(guān)的分壓器，我們可以直觀地分析RC低通拓?fù)涞臑V波動作。 ?

重新繪制RC低通濾波器，使其看起來像分壓器 ? 當(dāng)輸入信號的頻率低時，電容器的阻抗相對于電阻器的阻抗高; 因此，大部分輸入電壓在電容器上（和負(fù)載兩端，與電容器并聯(lián)）下降。當(dāng)輸入頻率較高時，電容器的阻抗相對于電阻器的阻抗較低，這意味著電阻器上的電壓降低，并且較少的電壓傳輸?shù)截?fù)載。因此，低頻通過并且高頻被阻擋。 ? RC低通功能的這種定性解釋是重要的第一步，但是當(dāng)我們需要實際設(shè)計電路時它并不是很有用，因為術(shù)語“高頻”和“低頻”非常模糊。工程師需要創(chuàng)建通過并阻止特定頻率的電路。例如，在上述音頻系統(tǒng)中，我們希望保留5kHz信號并抑制500kHz信號。這意味著我們需要一個過濾器，從5 kHz到500 kHz之間的傳遞過渡到阻塞。 ?

? 5 截止頻率

濾波器不會引起顯著衰減的頻率范圍稱為通帶，濾波器確實導(dǎo)致顯著衰減的頻率范圍稱為阻帶。模擬濾波器，例如RC低通濾波器，總是從通帶逐漸過渡到阻帶。這意味著無法識別濾波器停止傳遞信號并開始阻塞信號的一個頻率。然而，工程師需要一種方便，簡潔地總結(jié)濾波器頻率響應(yīng)的方法，這就是截止頻率概念發(fā)揮作用的地方。 ?

當(dāng)我們查看RC濾波器的頻率響應(yīng)圖時，會注意到術(shù)語“截止頻率”不是很準(zhǔn)確。信號光譜被“切割”成兩半的圖像，其中一個被保留而其中一個被丟棄， 不適用，因為隨著頻率從截止點下方移動到截止值以上，衰減逐漸增加。 ? RC低通濾波器的截止頻率實際上是輸入信號幅度降低3dB的頻率（選擇該值是因為幅度降低3dB對應(yīng)于功率降低50％）。因此，截止頻率也稱為-3 dB頻率，實際上該名稱更準(zhǔn)確且信息量更大。術(shù)語帶寬是指濾波器通帶的寬度，在低通濾波器的情況下，帶寬等于-3 dB頻率（如下圖所示）。 ?

該圖表示RC低通濾波器的頻率響應(yīng)的一般特性。帶寬等于-3 dB頻率 ? 如上所述，RC濾波器的低通行為是由電阻器的頻率無關(guān)阻抗與電容器的頻率相關(guān)阻抗之間的相互作用引起的。為了確定濾波器頻率響應(yīng)的細(xì)節(jié)，我們需要在數(shù)學(xué)上分析電阻（R）和電容（C）之間的關(guān)系，我們還可以改變這些值，以設(shè)計滿足精確規(guī)格的濾波器。RC低通濾波器的截止頻率（f C） 計算如下： ?

? 我們來看一個簡單的設(shè)計實例。電容值比電阻值更具限制性，因此我們將從常見的電容值（例如10 nF）開始，然后我們將使用該公式來確定所需的電阻值。目標(biāo)是設(shè)計一個濾波器，它將保留5 kHz音頻波形并抑制500 kHz 噪聲波形。我們將嘗試100 kHz的截止頻率，稍后在文章中我們將更仔細(xì)地分析此濾波器對兩個頻率分量的影響。 ?

? 因此，160Ω電阻與10 nF電容相結(jié)合，將為我們提供一個非常接近所需頻率響應(yīng)的濾波器。

? 6 計算過濾器響應(yīng) ? 我們可以通過使用典型分壓器計算的頻率相關(guān)版本來計算低通濾波器的理論行為。電阻分壓器的輸出表示如下： ?

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? RC濾波器使用等效結(jié)構(gòu)，但是我們有一個電容器代替R 2。首先，我們用電容器的電抗（X C）代替R 2（在分子中）。接下來，我們需要計算總阻抗的大小并將其放在分母中。因此，我們有： ?

? 電容器的電抗表示與電流的相反量，但與電阻不同，相反量取決于通過電容器的信號頻率。因此，我們必須計算特定頻率的電抗，我們用于此的等式如下： ?

? 在上面的設(shè)計實例中，R≈160Ω且C = 10nF。我們假設(shè)V IN的幅度是1 V， 這樣我們就可以簡單地從計算中去掉V IN。首先讓我們以正弦波頻率計算VOUT的幅度： ?

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? 正弦波的幅度基本不變。這很好，因為我們的目的是在抑制噪音的同時保持正弦波。這個結(jié)果并不令人驚訝，因為我們選擇的截止頻率（100 kHz） 遠(yuǎn)高于正弦波頻率（5 kHz）。 ? 現(xiàn)在讓我們看看濾波器如何成功衰減噪聲分量。 ?

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? 噪聲幅度僅為其原始值的約20％。 ?

7 可視化過濾器響應(yīng) ? 評估濾波器對信號影響的最方便方法是檢查濾波器頻率響應(yīng)的圖。這些圖形通常稱為波德圖，在垂直軸上具有幅度（以分貝為單位），在水平軸上具有頻率; 水平軸通常具有指數(shù)標(biāo)度，使得1Hz和10Hz之間的物理距離與10Hz和100Hz之間，100Hz和1kHz之間的物理距離相同。這種表示方法使我們能夠快速準(zhǔn)確地評估濾波器在很大頻率范圍內(nèi)的作用。 ?

頻率響應(yīng)圖的一個例子 曲線上的每個點表示如果輸入信號的幅度為1 V且頻率等于水平軸上的相應(yīng)值，則輸出信號將具有的幅度。例如，當(dāng)輸入頻率為1 MHz時，輸出幅度（假設(shè)輸入幅度為1 V）將為0.1 V（因為-20 dB對應(yīng)于十倍減少因子）。 ? 通帶中的曲線幾乎完全平坦，然后隨著輸入頻率接近截止頻率，它開始下降得更快。最終，衰減的變化率穩(wěn)定在20 dB / decade。即，輸入頻率每增加十倍，輸出信號的幅度降低20 dB。 ?

8 評估低通濾波器性能 ? 如果我們仔細(xì)繪制我們在本文前面設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)，我們將看到5 kHz時的幅度響應(yīng)基本上是0 dB（即幾乎為零衰減），500 kHz時的幅度響應(yīng)約為-14 dB（對應(yīng)于0.2的增益）。這些值與我們在上一節(jié)中執(zhí)行的計算結(jié)果一致。 ? 由于RC濾波器總是從通帶到阻帶逐漸過渡，并且因為衰減永遠(yuǎn)不會達(dá)到無窮大，我們無法設(shè)計出“完美”的濾波器 - 即對正弦波完全沒有影響并完全消除噪聲的濾波器。相反，我們總是需要權(quán)衡。如果我們將截止頻率移近5 kHz， 我們將有更多的噪聲衰減，但我們想要發(fā)送到揚聲器的正弦波衰減更多。如果我們將截止頻率移近500 kHz，我們在正弦波頻率下的衰減會減少，但噪聲頻率下的衰減也會減少。 ?

9 低通濾波器相移 ? 到目前為止，我們已經(jīng)討論了濾波器修改信號中各種頻率分量幅度的方式。然而，除了幅度效應(yīng)之外，電抗性電路元件總是引入相移。 ? 相位的概念是指周期內(nèi)特定時刻的周期信號的值。因此，當(dāng)我們說電路引起相移時，我們的意思是它會在輸入信號和輸出信號之間產(chǎn)生不對準(zhǔn)：輸入和輸出信號不再在同一時刻開始和結(jié)束它們的周期。相移值（例如45°或90°）表示已創(chuàng)建多少未對準(zhǔn)。 ? 電路中的每個電抗元件都會引入90°的相移，但這種相移不會同時發(fā)生。輸出信號的相位與輸出信號的幅度一樣，隨著輸入頻率的增加而逐漸變化。在RC低通濾波器中，我們有一個電抗元件（電容器），因此電路最終會引入90°的相移。 ? 與幅度響應(yīng)一樣，通過檢查水平軸表示指數(shù)頻率的曲線圖，可以最容易地評估相位響應(yīng)。下面描述了一般情況，然后我們可以通過檢查繪圖來填寫詳細(xì)信息。

相移最初為0°。

它逐漸增加，直到它在截止頻率達(dá)到45°;?在這部分響應(yīng)期間，變化率正在增加。

在截止頻率之后，相移繼續(xù)增加，但變化率正在降低。

隨著相移漸近接近90°，變化率變得非常小。 ?

實線是幅度響應(yīng)，虛線是相位響應(yīng)。截止頻率為100 kHz。注意，截止頻率下的相移為45° ?

10 二階低通濾波器 ? 到目前為止，我們假設(shè)RC低通濾波器由一個電阻器和一個電容器組成。此配置是一階過濾器。? ? 無源濾波器的“次序”由電路中存在的電抗元件（即電容器或電感器）的數(shù)量決定。高階濾波器具有更多的無源器件，這導(dǎo)致更多的相移和更陡的衰減。通過向濾波器添加一個電抗元件 ，例如，從一階到二階或二階到三階，最大斜率就會增加20 dB /十倍。更陡峭的斜率轉(zhuǎn)換為從低衰減到高衰減的更快速轉(zhuǎn)換，所以當(dāng)一階濾波器不具有將期望頻率分量與噪聲分量分離的寬頻帶時，用多階濾波器可以實現(xiàn)目的。 ?

11 總結(jié)

? 總結(jié)如下：

所有電信號都包含所需頻率分量和不需要的頻率分量的混合。不期望的頻率分量通常由噪聲和干擾引起，并且在某些情況下它們將對系統(tǒng)的性能產(chǎn)生負(fù)面影響。

濾波器是以不同方式對信號頻譜的不同部分作出反應(yīng)的電路。低通濾波器旨在傳遞低頻分量并阻止高頻分量。

低通濾波器的截止頻率表示濾波器從低衰減轉(zhuǎn)變?yōu)轱@著衰減的頻率區(qū)域。

RC低通濾波器的輸出電壓可以通過將電路視為由（頻率無關(guān)）電阻和（頻率相關(guān)）電抗組成的分壓器來計算。

幅度（以dB為單位，在垂直軸上）與頻率（以赫茲為單位，在水平軸上）的曲線圖是檢查濾波器理論行為的方便有效的方法。我們還可以使用相位與指數(shù)頻率的關(guān)系圖來確定將應(yīng)用于輸入信號的相移量。

二階濾波器提供更陡峭的衰減;?當(dāng)信號不能在所需頻率分量和不需要的頻率分量之間提供寬帶分離時，這種二階響應(yīng)是有用的。

編輯：黃飛

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