在正式進(jìn)入Polar碼世界之前，我們先進(jìn)行熱身運(yùn)動(dòng)。

先看看對(duì)線性空間的定義，了解其中的基本概念。

這里，主要是對(duì)線性代數(shù)中的矩陣運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行了總結(jié)。本質(zhì)上，與我們學(xué)過的加法和乘法類似。

接下來，我們回到信息論中，了解關(guān)于編碼的幾個(gè)概念：

這里，我們需要知道二進(jìn)制線性分組碼的概念，K和N分別代表什么。定義中的GF(2)是指2元伽羅瓦域。伽羅瓦域，也稱有限域，是僅含有限個(gè)元素的域,它是伽羅瓦(Galois,E.)于18世紀(jì)30年代研究代數(shù)方程根式求解問題時(shí)引出的。

首先，群論是法國(guó)天才少年數(shù)學(xué)家伽羅瓦發(fā)明的，它是信道編碼的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

接下來，我們了解什么是校驗(yàn)矩陣，什么是內(nèi)積。

你一定還記得上信息論課上，求生成矩陣G和校驗(yàn)矩陣H的生動(dòng)畫面吧。

極化碼背景

在《Polar Code（一）概述》一文中，我們提到了離散無記憶信道。

離散信道：指的是輸入符號(hào)集合和輸出符號(hào)集合都是離散集合的信道。我們通?？紤]離散信道的輸入輸出符號(hào)集合的元素是有限的。

信道無記憶：是指信道的任意兩次傳輸是獨(dú)立的，即信道對(duì)每個(gè)輸入符號(hào)添加的噪聲是獨(dú)立的。

離散無記憶信道W可以用轉(zhuǎn)移概率W(y/x)來描述，其中y∈Y是輸出符號(hào)集合中的元素，x∈X是輸入符號(hào)集合中的元素。W(y/x)表示在輸入符號(hào)為x的條件下，輸出符號(hào)是y的概率。其實(shí)，這與條件概率的概念類似，只是在信號(hào)處理領(lǐng)域，我們用轉(zhuǎn)移概率來描述。

在給定信號(hào)源分布的情況下，即x∈X的離散分布律已知，整個(gè)傳輸系統(tǒng)（X,Y）的聯(lián)合概率Pr(X=x,Y=y)=p(x)W(y/x)。

這里通俗一點(diǎn)講，就是我們發(fā)送端的信源X是什么符號(hào)是已知的，經(jīng)過信道H傳輸后，接收端收到了Y。

比如，你給朋友打電話，你的聲音通過手機(jī)轉(zhuǎn)化為電信號(hào)，再通過信號(hào)處理變?yōu)殡姶挪?，通過手機(jī)內(nèi)置的天線輻射出去。電磁波在自由空間中通過電場(chǎng)和磁場(chǎng)的交替轉(zhuǎn)換，滾滾向前，通過基站檢索你朋友所在的位置，把這個(gè)過程逆向，最終你朋友聽到你的聲音。

信號(hào)在傳輸過程中，不可避免會(huì)受到干擾和衰落，進(jìn)而有可能影響傳輸質(zhì)量。

我們回來再看看一個(gè)重要的公式，計(jì)算對(duì)數(shù)似然比：

一看就知道，還是在求概率。說好的編碼，就是這樣游走在線性代數(shù)、概率論和信息論之間。

LLR在Polar譯碼過程中將被使用，輸入譯碼器的數(shù)據(jù)被稱為軟bit或者軟值。

具體計(jì)算過程，這里就不展開了。有興趣的朋友，繼續(xù)深入研究。

下面，再學(xué)習(xí)幾個(gè)定義。

信道容量是信息論的內(nèi)容，香農(nóng)老爺子總是縈繞在我們身邊。

繼續(xù)我們的定義。

對(duì)于該文獻(xiàn)中的部分推導(dǎo)是否嚴(yán)謹(jǐn)，有待考證。

下面，我們?cè)倏纯搓P(guān)于二叉樹的兩個(gè)重要概念：二叉樹攀升與墜落。

先看一幅圖：

是不是想起了老子的經(jīng)典名言：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”。

就是這樣一顆樹，在信息編碼界樹立了永遠(yuǎn)的豐碑。

從葉節(jié)點(diǎn)開始的攀升，對(duì)應(yīng)的是標(biāo)準(zhǔn)SC譯碼器的比特值反饋計(jì)算過程。

從非葉節(jié)點(diǎn)出發(fā)的攀升，對(duì)應(yīng)的是快速SC譯碼器的比特值反饋計(jì)算過程。

有點(diǎn)意思，編碼和譯碼，玩的就是“0”，“1”。

審核編輯：劉清
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