圖1　媒質(zhì)中反射和透射現(xiàn)象可以用來(lái)形象描述兩個(gè)微波子電路間的耦合關(guān)系

三、Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述
　　以兩個(gè)二端口網(wǎng)絡(luò)的串、并行連接給出Diakoptics算法的數(shù)學(xué)描述.圖2假設(shè)兩個(gè)子電路的反射及透射波的沖擊響應(yīng)函數(shù)分別為：gr1(t),gr2(t),gt1(t),gt2(t)和hr1(t),hr2(t),ht1(t),ht2(t),上標(biāo)“r”表示反射波，“t”表示傳輸波，下標(biāo)1表示從輸入?yún)⒖济鎸?duì)電路作激勵(lì)，下標(biāo)2表示從輸出參考面對(duì)電路作激勵(lì).設(shè)f為兩個(gè)子電路連接后電路的沖擊響應(yīng)函數(shù).使用串行算法，從f網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济婵慈氲臎_擊響應(yīng)為：

fr1(t)=gr1(t)+gt2(t)*hr1(t)*gt1(t)+gt2(t)*hr1(t)
*gr2(t)*hr1(t)*gt1(t)+…+gt2(t)*(hr1(t)
*gr2(t))n*hr1(t)*gt1(t)+…;　(2)

使用并行算法，從f電路的輸入端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr1(t),ft2(t)以及從f電路的輸出端口看入的沖擊響應(yīng)函數(shù)fr2(t),ft1(t)分別為：

fr1(t)=gr1(t)+gt2(t)*hr1(t)*gt1(t)+gt2(t)*hr1(t)
*gr2(t)*hr1(t)*gt1(t)+…+gt2(t)*(hr1(t)
*gr2(t))n*hr1(t)*gt1(t)+…
ft2(t)=gt2(t)*hr2(t)+gt2(t)*hr1(t)*gr2(t)*ht2(t)+…
+gr2(t)*(hr1(t)*gr2(t))n*hr2(t)+…　(3)
fr2(t)=hr2(t)+ht1(t)*gr2(t)*ht2(t)+ht1(t)*gr2(t)
*hr1(t)*gt2(t)*ht2(t)+…+ht1(t)*(gr2(t)
*hr1(t))n*gr2(t)*ht2(t)+…
ft1(t)=ht1(t)*gt1(t)+ht1(t)*gr2(t)*hr1(t)*gt1(t)+…
+ht1(t)*(gr2(t)*hr1(t))n*gr1(t)+…

其中，*代表時(shí)域卷積，上下標(biāo)的含義不變.

圖2　可說(shuō)明Diakoptics算法的兩個(gè)子電路連接示意圖

　　多端口子電路連接時(shí)，上述算法依然成立，只是式中各沖擊函數(shù)應(yīng)換為相應(yīng)的子矩陣.例如設(shè)g網(wǎng)絡(luò)為輸入端有M個(gè)、輸出端有N個(gè)端口的M+N端口網(wǎng)絡(luò)，h網(wǎng)絡(luò)為輸入端有N個(gè)、輸出端有L個(gè)端口的N+L端口網(wǎng)絡(luò)(g與h相鄰面的端口數(shù)目應(yīng)相同)，g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫣幍姆瓷洹鬏斪泳仃嚪謩e為：

和

式中下標(biāo)代表參考面，i←j的意思為：i為響應(yīng)所在參考面，j為激勵(lì)所在參考面；上標(biāo)代表端口，m←n的意思為：n為輸入端口，m為輸出端口.同理,g網(wǎng)絡(luò)輸出參考面處的反射、傳輸子矩陣分別為：

和

h網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)子矩陣可用同樣方法求得.連接后網(wǎng)絡(luò)的沖擊響應(yīng)函數(shù)［f］為：

［fr1(t)］=［gr1(t)］+［gt2(t)］*［hr1(t)］*［gt1(t)］+［gt2(t)］
*［hr1(t)］*［gr2(t)］*［hr1(t)］*［gt1(t)］+…
［ft2(t)］=［gt2(t)］*［ht2(t)］+［gt2(t)］*［hr1(t)］*［gr2(t)］*［ht2(t)］+…
［fr2(t)］=［hr2(t)］+［ht1(t)］*［gr2(t)］*［ht2(t)］+［ht1(t)］
*［gr2(t)］*［hr1(t)］*［gr2(t)］*［ht2(t)］+…
［ft1(t)］=［ht1(t)］*［gt1(t)］+［ht1(t)］*［gr2(t)］*［hr1(t)］*［gt1(t)］+…　(4)
其中［fr1(t)］、［ft1(t)］、［fr2(t)］和［ft2(t)］分別為M×M、L×M、L×L和M×L階子矩陣.下面以［gt2(t)］*［ht2(t)］為例說(shuō)明如何計(jì)算矩陣卷積，并以［gt2(t)］*［ht2(t)］的第一個(gè)元素為例，說(shuō)明其物理意義：

　(5)

g1←11←2*h1←11←2：h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過(guò)gh連接面第1個(gè)端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←21←2*h2←11←2:h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過(guò)gh交界面第2個(gè)端口的耦合在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；g1←N1←2*hN←11←2：h子網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口的輸入通過(guò)gh交界面第N個(gè)端口的耦合，在g子網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济嫔隙丝?產(chǎn)生的輸出；所以［gt2(t)］*［ht2(t)］的第一個(gè)元素描述了h網(wǎng)絡(luò)輸出參考面上第一個(gè)端口上的輸入耦合到g網(wǎng)絡(luò)輸入?yún)⒖济娴谝粋€(gè)端口的輸出.

四、Diakoptics算法在微波電路分析中的實(shí)現(xiàn)
　　Diakoptics源于網(wǎng)絡(luò)理論，為將其應(yīng)用于微波電路的分析中，首先需要建立適于使用Diakoptics方法的微波電路的等效電路模型.
　　1.微波電路的等效時(shí)域網(wǎng)絡(luò)模型
　　建立微波電路等效時(shí)域網(wǎng)絡(luò)模型的基本方法是：利用基函數(shù)技術(shù)(或稱時(shí)域模技術(shù))將參考面處的場(chǎng)表示為選定的正交基函數(shù)的線性組合，將一個(gè)微波網(wǎng)絡(luò)等效為一個(gè)多模電路，進(jìn)而再將多模電路等效為多端口網(wǎng)絡(luò)的方法.
　　選定的基函數(shù)滿足下述條件：只是空間坐標(biāo)的函數(shù)；與時(shí)間無(wú)關(guān)；構(gòu)成一個(gè)完備正交集.且對(duì)于給定的微波電路，選定的基函數(shù)應(yīng)能夠有效地描述電路中電磁場(chǎng)的分布規(guī)律.假設(shè)：X-Y平面為電路橫截面所在平面，Z為傳播方向，電路在Dirac-δ函數(shù)激勵(lì)下在z=z0處的電場(chǎng)分布為Ei(x,y,z0,t)，{φmn(x,y)}為基函數(shù)族，用φmm(x,y)可將微波電路中t=t0,z=z0處的場(chǎng)表示為：

　(6)

其中amn(z0,t0)為第(m,n)次基函數(shù)的系數(shù)，即幅度，這樣從參考面z=z0看入的微波電路可等效為一個(gè)基于基函數(shù)的等效時(shí)域多模電路.基函數(shù)的函數(shù)形式既可以是適用于一般電路的正交函數(shù)形式，也可以是特別適用于某類電路的特殊正交函數(shù).一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)電路幾何結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，不易根據(jù)電路特性選取特殊的正交函數(shù)作為基函數(shù)時(shí)，可以選取矩形脈沖函數(shù)(取網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的值作為整個(gè)網(wǎng)格的平均值，故脈沖寬度為一個(gè)網(wǎng)格的寬度).但因脈沖函數(shù)描述的只是系統(tǒng)的局部信息，因此要達(dá)到足夠的精度，函數(shù)的展開(kāi)項(xiàng)數(shù)較多.當(dāng)正交函數(shù)可以有效表述電路的全局信息時(shí)，通常只需幾項(xiàng)或十幾項(xiàng)，就可以達(dá)到所需的精度.例如，對(duì)于均勻填充的矩形波導(dǎo)問(wèn)題，如根據(jù)波導(dǎo)內(nèi)的場(chǎng)的分布特性，把基函數(shù)選為{sin,cos}正交函數(shù)集，通常只需5項(xiàng)就可以滿足要求.相比較之下，至少需要60個(gè)脈沖即60個(gè)結(jié)點(diǎn)方可較準(zhǔn)確地描述波導(dǎo)系統(tǒng)橫截面上的空間場(chǎng)分布.
　　基函數(shù)的正交性使得每一個(gè)基函數(shù)可以被視為一個(gè)獨(dú)立的端口，因此上述基于基函數(shù)的等效時(shí)域多模電路就可以進(jìn)一步被視為一個(gè)多端口網(wǎng)絡(luò).
　　2.等效多端口網(wǎng)絡(luò)特性的計(jì)算
　　沖擊函數(shù)的頻譜是無(wú)限寬的，因此不能直接使用FDTD算法求解系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)函數(shù).FDTD-Diakoptics使用高斯脈沖調(diào)制波作為激勵(lì)，通過(guò)加窗Fourier變換技術(shù)，求得有限帶寬微波電路的沖擊響應(yīng)函數(shù).其中，高斯脈沖激勵(lì)的調(diào)制頻率為電路工作頻帶的中心頻率，脈沖寬度和脈沖時(shí)間采樣間隔取決于頻率分辨率和帶寬.盡管激勵(lì)脈沖具有有限帶寬導(dǎo)致FDTD-Diakoptics求得的沖擊響應(yīng)函數(shù)中包含了加窗帶來(lái)的影響(稱此時(shí)的沖擊響應(yīng)函數(shù)為準(zhǔn)沖擊響應(yīng)函數(shù))，但是只要滿足下述條件：使用FDTD-Diakoptics分析整個(gè)電路特性時(shí)，各個(gè)子電路使用具有相同頻譜特性的激勵(lì)脈沖，計(jì)入加窗對(duì)時(shí)域脈沖的展寬效應(yīng)，最終得到的沖擊響應(yīng)函數(shù)的頻域響應(yīng)是足夠準(zhǔn)確的.

五、FDTD-Diakoptics應(yīng)用實(shí)例及討論
　　本文以一個(gè)波導(dǎo)帶通濾波器的特性分析為例說(shuō)明該算法的應(yīng)用.圖3為一個(gè)具有5個(gè)膜片的矩形波導(dǎo)帶通濾波器(WR34).按照本方法首先將該濾波器分為5個(gè)部分，使用FDTD對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，求出在所有連接參考面處(圖中虛線所示)的場(chǎng)分布.FDTD計(jì)算中，高斯脈沖調(diào)制函數(shù)為：f(t)=AmaxA(x,y)exp［-((t-t0)/T)2］.sin(2πf0t)，其中調(diào)制頻率f0為WR34-TE10模單模工作頻帶的中心頻率；A(x,y)為激勵(lì)幅度空間分布，Diakoptics算法中需計(jì)算所有可能存在的基函數(shù)單一激勵(lì)時(shí)的響應(yīng)，所以A(x,y)依次選為每一個(gè)基函數(shù).激勵(lì)函數(shù)幅度Amax取決于其沿傳播方向的衰減及計(jì)算精度，基本原則是達(dá)到不連續(xù)性處和觀察面處的場(chǎng)仍具有足夠大的幅度.T的取值要保證在激勵(lì)脈沖的頻譜上截止頻率點(diǎn)處的能量具有足夠小的值.本例中，WR34的單模工作頻帶為：fTE10=17.369GHz,fTE20=34.738GHz，f0=26.0535GHz,T=200(ps),t0=3T,Amax=10，基函數(shù)為φn(x)=sin，相應(yīng)的系數(shù)an(z0,t)如圖4所示(由于文章篇幅原因，只給出一個(gè)結(jié)果).圖5為用本文方法得到的濾波器頻率特性，圖中可見(jiàn)該結(jié)果與FDTD結(jié)果吻合很好.

圖3　五膜片WR34波導(dǎo)帶通濾波器示意圖

圖4　本文方法得到的圖3中第一個(gè)子電路反射波基函數(shù)的系數(shù)

圖5　圖3所示W(wǎng)R34波導(dǎo)濾波器的頻率特性