圖1　發(fā)射頻率變化規(guī)律

　　在0-T1時段內(nèi)系統(tǒng)發(fā)射單頻脈沖，完成多卜勒頻移測量.在T1-T時段內(nèi)，系統(tǒng)發(fā)射高線性度FMCW信號，接收機(jī)根據(jù)0-T1時段的頻移測量，在回波信號中扣除頻移影響，完成時延的高精度測量，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)幾何中心定位，而后利用回波譜寬估算細(xì)柱狀目標(biāo)長度，并求出目標(biāo)速度矢量.
　　文中假定測量周期T在ms量級，在這段時間內(nèi)近似認(rèn)為目標(biāo)速度是不變的.同時考慮系統(tǒng)的實(shí)時性要求，本文將不討論目標(biāo)細(xì)節(jié)的識別，而是根據(jù)近程環(huán)境特點(diǎn)僅僅估計(jì)細(xì)柱狀目標(biāo)長度.文中所采用的算法也都是能一次完成計(jì)算的解析算法.

二、幾何中心定位算法
　　多站系統(tǒng)的幾何布局如圖2所示.在T1-T時段內(nèi)，t時刻的發(fā)射頻率為

νT=ν0+kt　(1)

t時刻經(jīng)目標(biāo)幾何中心到達(dá)Si的信號頻率為

　(2)

式中RT,Ri分別為目標(biāo)幾何中心與ST及Si的距離，k為FMCW線性調(diào)頻的速率.t時刻直達(dá)Si的信號頻率為

　(3)

RTSi為發(fā)射機(jī)直達(dá)Si的距離.假設(shè)已根據(jù)0-T1時段測出的目標(biāo)多卜勒頻移，并在式(2)、(3)中扣除了該頻移的影響.這時，Si對νTSi與νTOSi進(jìn)行相關(guān)處理，求得頻差νdi

　(4)

圖2　多站雷達(dá)系統(tǒng)布局

圖3　多站系統(tǒng)的收發(fā)頻率關(guān)系

假設(shè)目標(biāo)坐標(biāo)為(x,y,z)，發(fā)射機(jī)布在S3處.并設(shè)di為LTi與LT3之差，即

di=LTi-LT3=Ri-R3,i=1,2,3　(7)

　　根據(jù)距離關(guān)系，將站坐標(biāo)Si(xi,yi,zi)和目標(biāo)坐標(biāo)代入式(7)展開整理并求解可得

rh=［x　y］T=W-1(β-d)
ra=［x　y　z］T=［f1(η)　f2(η)　f3(η)］T　(8)

式中　a=1+dTWTW-1d；
b=2rTh3W-1d-2dTW-TW-1β-2z3;
c=βTW-TW-1β-2rTh3W-1β-β3,

x3j=x3-xj,y3j=y3-yj,z3j=z3-zj,j=1,2
β3j=0.5(d2j+2djR3-ρ2j+ρ23),j=1,2
這里ρi與Si與原點(diǎn)的距離.
η=［d1　d2　R3］T=［η1　η2　η3］T.只要三個雷達(dá)站沒有布局在同一直線上，W就是非奇異的，式(8)有確定的解.式中正負(fù)號的選取可參考文獻(xiàn)［3］，但通過合理選擇坐標(biāo)系可以將目標(biāo)置于上半球或下半球，從而使符號選取簡化.

三、定位性能分析
　　1.定位坐標(biāo)偏移量
　　當(dāng)TR-R系統(tǒng)對目標(biāo)定位時，直接測得量的d1,d2,R3，設(shè)測量誤差矢量為

δη=［δd1　δd2　δR3］T=［δη1　δη2　δη3］T　(9)

目標(biāo)定位誤差矢量為

δra=ra-r0=［δx　δy　δz］T　(10)

其中r0為目標(biāo)的真實(shí)位置矢量，由式(7)得

δηi=δLTi-δLT3=δLTi-2δR3　(11)

上式表明，δηi之間不獨(dú)立.
　　設(shè)各雷達(dá)站對頻率的測量相互獨(dú)立，頻率測量誤差符合零均值正態(tài)分布.則各雷達(dá)站對距離的測量相互獨(dú)立，且測量誤差δLTi及δR3都符合零均值正態(tài)分布.而δηi與δLTi及δR3是線性關(guān)系，因而δηi也符號零均值正態(tài)分布，這時有

E［δηi］=E［δLTi］-2E［δR3］=0　(12)

但是，由于目標(biāo)幾何中心定位坐標(biāo)與ηi的函數(shù)關(guān)系是非線性的，因此δηi將使定位坐標(biāo)產(chǎn)生偏移.即使E［δra］≠0，偏移量的期望值可通過式(8)估算.
　　為求δra的數(shù)學(xué)期望，將ra=f(η)在r0附近展為η的Taylor級數(shù)，保留到二階偏微分項(xiàng)，并考慮到δηi的相關(guān)性，可得定位坐標(biāo)偏移量期望值的表達(dá)式

　(13)

式中σ2為單站雷達(dá)測距方差，b1，b2，b3分別表示坐標(biāo)偏移量bx,by,bz.
　　2.目標(biāo)定位誤差的GDOP因子
　　一階近似情況下，δra的協(xié)方差矩陣P為
p=E{(δra-E［δra］［δra-E［δra］］T)}=FSFT-bbbTb　(14)
其中　　bb=［bx　by　bz］T，

P的對角線元素為定位坐標(biāo)方差σ2x,σ2y,σ2z.目標(biāo)定位誤差的GDOP因子為

　(15)

四、目標(biāo)速度測量
　　在0-Ti時段系統(tǒng)發(fā)射單頻脈沖，已經(jīng)測得運(yùn)動目標(biāo)回波的多卜勒頻移，由此可求得目標(biāo)速度在相應(yīng)方向的投影，將這些投影看做空間矢量，就可估計(jì)目標(biāo)速度.
　　在TR-R2多站雷達(dá)系統(tǒng)中，S3構(gòu)成單站雷達(dá)的同時還分別與S1，S2構(gòu)成雙基地系統(tǒng).根據(jù)單站與雙基地系統(tǒng)多卜勒關(guān)系得到方程

　(16)

vi為目標(biāo)速度在Si——目標(biāo)視線上的投影，νdi為Si中測得的目標(biāo)多卜勒頻移，i=vi+v3.由式(16)解得vi,并以矢量

v=［q1　q2　q3］T　(17)

表示目標(biāo)速度，利用Si——目標(biāo)視線的方向余弦(cosαi,cosβi,cosγi)，將vi表示為

vi=q1cosαi+q2cosβi+q3cosγi,i=1,2,3　(18)

整理后寫成矩陣形式解得

V=Φ-1μ　(19)

式中

Φ為已知，因此可求得速度v，速度的數(shù)值由下式計(jì)算

　(20)

五、速度測量性能分析
　　當(dāng)各雷達(dá)站的頻率測量相互獨(dú)立，測量誤差符合具有相同方差的零均值正態(tài)分布時，由于1與νdi是線性關(guān)系，則i也是正態(tài)分布的

　(21)

式中σ2v為1的方差，0i為i的均值，式(16)表明vi與i是線性關(guān)系，故目標(biāo)在各雷達(dá)站方向的速度投影vi也符合正態(tài)分布.同樣式(19)表明qi與vi也是線性關(guān)系，因此qi也符合正態(tài)分布，其概率密度公式為

　(22)

其中，，為qi的均值，σ2qi=［k21i+k22i+1/4(k1i+k2i-k3i)2］σ2v為qi的方差,而kij=Δ′ij/Δ′,Δ′=det(Φ)，Δ′ij為Δ的代數(shù)余子式.
　　根據(jù)式(22)寫出q1，q2，q3的聯(lián)合概率密度函數(shù)

　(23)

式中B為qi的協(xié)方差矩陣，其元素為

B(i,j)=E［(qi-q0i)(qj-q0j)］,μt=［q01　q02　q03］T

為求v的概率密度函數(shù)，對式(23)作如下的變量代換,令

q1=ξcosθcosφ,q2=ξcosθsinφ,q3=ξsinθ.

變換后的變量取值范圍相應(yīng)變?yōu)?/P>

此變換的Jacobian行列式為J=ξ2cosθ,這樣ξ即v的概率密度函數(shù)可以寫成

　(24)

目標(biāo)速度期望值及其方差分別為

　(25)
　(26)

六、定位誤差對速度測量的影響
　　目標(biāo)速度估算是在定位之后完成的.由于速度估算公式中要用到Si——目標(biāo)視線的方向余弦，這些方向余弦的精度取決于目標(biāo)幾何中心定位誤差.因此，定位精度將直接影響速度測量精度.為便于分析，下面在考慮定位誤差影響時，不考慮其它因素.
　　令δv為因定位誤差所產(chǎn)生的速度誤差，將速度v展為定位坐標(biāo)的Taylor級數(shù)，在一階近似條件下求得其偏移量計(jì)算式為

　(27)

速度估計(jì)方差為

　(28)

其中ε2i=2σ2

七、細(xì)柱狀目標(biāo)長度估計(jì)
　　雷達(dá)發(fā)射FMCW波形時，體目標(biāo)回波頻譜將占據(jù)一定的帶寬，對回波信號作頻譜分析則可以提取到此頻寬信息.
　　設(shè)細(xì)柱狀目標(biāo)的長度為m,接收機(jī)Si的接收信號譜寬為Δνi，目標(biāo)在Si方向的投影為mi，則有如下關(guān)系成立

　(29)

這里，目標(biāo)投影及頻譜寬度均應(yīng)有正負(fù)號，符號的選取由目標(biāo)相對各雷達(dá)站的位置關(guān)系及目標(biāo)的空間取向確定.位置關(guān)系取決于幾何中心坐標(biāo)，而空間取向可由目標(biāo)回波的頻譜特性或速度的方向判別.將投影mi以矢量mi表示，其方向由相應(yīng)雷達(dá)站Si——目標(biāo)視線的方向余弦確定，即

mi=mi［cosαi　cosβi　cosγi］T　(30)

再將細(xì)柱狀目標(biāo)以空間矢量M表示，其在三個坐標(biāo)軸上的投影分量分別為X1，X2，X3，利用矢量關(guān)系求得

M=Φ-1δ　(31)

式中δ=［m1　m2　m3］T.目標(biāo)長度的估計(jì)式為

　(32)

八、目標(biāo)長度估計(jì)性能分析
　　因各雷達(dá)站對頻率的測量相互獨(dú)立，且頻率測量誤差符合具有相同方差的零均值正態(tài)分布，則Δνi是正態(tài)分布的.而i與Δνi是線性關(guān)系，因此i正態(tài)分布.其概率密度函數(shù)為

　(33)

式中0i為i的均值.式(29)表明mi與i是線性關(guān)系，故mi也符合正態(tài)分布.同樣式(31)表明Xi與mi也是線性關(guān)系，故Xi也符合正態(tài)分布.即

　(34)

式中，為Xi的均值，σ2Xi=σ2［k21i+k22i+1/4(kli+k2i-k3i)2］為Xi的方差.根據(jù)式(34)可寫出X1,X2，X3的聯(lián)合概率密度函數(shù)

　(35)

式中H為Xi的協(xié)方差矩陣，其元素為

h(i,j)=E［(Xi-X0i)(Xj-X0j)］;
εt=［X01　X02　X03］T

九、計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果
　　選擇一種代表性的情況模擬各種參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響.將三個站分別布在XOY平面內(nèi)半徑為L(稱為布站半徑)的圓周上，坐標(biāo)分別為(-L/2,-L/2,0),(L/2,-L/2,0),(0,L,0).在假定目標(biāo)始終指向坐標(biāo)原點(diǎn)的情況下模擬目標(biāo)數(shù)據(jù)，分析探測性能.假定目標(biāo)真實(shí)長度為3m，速度500m/s，單站測距均方根誤差0.5m，測速均方根誤差20m.
　　1.目標(biāo)幾何中心定位
　　(1)定位坐標(biāo)偏移量　圖4給出幾種不同情況下目標(biāo)定位坐標(biāo)偏移量分布，由圖看出，當(dāng)目標(biāo)高度在200m以下時，坐標(biāo)估計(jì)偏移量較大.目標(biāo)在200m以上時坐標(biāo)偏移量已很小，一般可以忽略.同時系統(tǒng)布站半徑L越大坐標(biāo)偏移量越小.

圖4　不同情況下定位坐標(biāo)估計(jì)偏移量分布

　　(2)定位誤差的GDOP因子　圖5圖6分別給出了定位誤差的GDOP因子與目標(biāo)高度及系統(tǒng)布站半徑的關(guān)系.顯然，目標(biāo)越高定位誤差的GDOP因子越小.而增大統(tǒng)布站半徑時，GDOP因子越小.而增大統(tǒng)布站半徑時，GDOP因子先是減小，然后又增大，這種變化不是單調(diào)的.當(dāng)考慮中心附近2km見方的近程區(qū)域時，L=2km的情況為最好.

圖5　高度不同時的GDOP曲線(L=2km)

圖6　不同布站半徑時的GDOP曲線(z=500m)

　　2.目標(biāo)速度測量
　　(1)目標(biāo)速度估計(jì)期望值　分析圖7圖8給出的目標(biāo)速度期望值與高度及布站半徑的關(guān)系可以看出，由于式(23)的非線性關(guān)系，估計(jì)目標(biāo)速度時也會產(chǎn)生偏移量，此偏移量的大小隨目標(biāo)高度的增加而減小.同時當(dāng)系統(tǒng)布站半徑增大時，偏移量先是減小隨后又增大.在L=2km時，效果最好.
　　(2)目標(biāo)速度估計(jì)均方根誤差　速度估計(jì)均方根誤差分析結(jié)果如圖9圖10，可以看出，目標(biāo)越高速度均方根誤差越小，而L增大時中心區(qū)域的速度均方根誤差也增加.

圖7　速度期望值與高度的關(guān)系(L=2km)

圖8　速度期望值與布站半徑的關(guān)系(z=500m)

圖9　速度均方根誤差與高度的關(guān)系(L=2km)

圖10　速度均方誤差與布站半徑的關(guān)系(z=500m)

　　(3)定位誤差對速度測量的影響　分析表明，高精度定位情況下定位誤差對速度測量的影響很小.目標(biāo)定位誤差引起的速度估計(jì)偏移量及均方根誤差遠(yuǎn)小于因單站雷達(dá)多卜勒測速誤差產(chǎn)生的測速偏移量及均方根誤差，一般可以忽略.但是，當(dāng)定位誤差增大時，其對速度測量的影響會迅速增大，這時定位誤差的影響就不能忽略了.
　　3.細(xì)柱狀目標(biāo)長度
　　細(xì)柱狀目標(biāo)長度估計(jì)的分析結(jié)果如圖11，12所示，可以看出，z越大偏移量越小，L增大時偏移量先是減小接著又增大，變化關(guān)系不是單調(diào)的，L=2km時性能最好.目標(biāo)長度均方根誤差與高度及布站半徑的關(guān)系也有相同的變化規(guī)律.

圖11　目標(biāo)長度期望值分布(z=500m)

圖12　目標(biāo)長度期望值分布(L=2km)

　　另外，按第六節(jié)的方法分析定位誤差對目標(biāo)長度估計(jì)的影響，結(jié)果表明高精度定位情況下，定位誤差對目標(biāo)長度估計(jì)的影響也可以忽略不計(jì).如果不是高精度定位，只需要考慮定位誤差的影響.

十、結(jié)　　論
　　本文將FMCW波形和單頻脈沖波形引入多站雷達(dá)系統(tǒng)，在考慮時延和頻移解耦，選擇合適發(fā)射波形的基礎(chǔ)上，就近程應(yīng)用情況下TR-R2系統(tǒng)對目標(biāo)幾何中心定位，目標(biāo)速度測量及細(xì)柱狀目標(biāo)長度估計(jì)等問題進(jìn)行了全面的分析與仿真.得出了一些對工程實(shí)踐有一定指導(dǎo)意義的結(jié)論.特別是文中所討論的解耦方法具有普遍適用的意義.
　　對系統(tǒng)性能所進(jìn)行的分析表明，系統(tǒng)性能既與目標(biāo)位置有關(guān)，又與系統(tǒng)布局的幾何參數(shù)有關(guān).
　　由于存在非線性關(guān)系，多站系統(tǒng)在對目標(biāo)進(jìn)行定位，測量目標(biāo)速度及估計(jì)目標(biāo)長度時都會產(chǎn)生偏移量.當(dāng)目標(biāo)高度較低時偏移量較大，目標(biāo)較高時偏移量較小.另外，目標(biāo)定位誤差的GDOP因子，速度以及目標(biāo)長度估計(jì)均方根誤差也都隨高度的增加而減小.
　　系統(tǒng)布局對性能的影響主要表現(xiàn)為系統(tǒng)布站半徑的影響.布站半徑越大，定位坐標(biāo)偏移量越小，目標(biāo)速度及長度偏移量隨布站半徑的變化不是單調(diào)的，GDOP因子的變化也不是單調(diào)的，在本文分析的情況下，L=2km時系統(tǒng)性能最好.
　　高精度定位情況下，定位誤差對目標(biāo)長度及速度測量的影響很小，可以忽略不計(jì).