第1步：?jiǎn)栴}

倒立擺問(wèn)題類(lèi)似于平衡掃帚或長(zhǎng)掃帚手掌上的桿子，這是我們大多數(shù)人在小時(shí)候嘗試過(guò)的東西。當(dāng)我們的眼睛看到桿子落到某一側(cè)時(shí)，他們會(huì)將這些信息發(fā)送到進(jìn)行某些計(jì)算的大腦，然后指示你的手臂以一定的速度移動(dòng)到某個(gè)位置，以對(duì)抗桿子的運(yùn)動(dòng)，這有望帶來(lái)傾斜桿回到垂直。這個(gè)過(guò)程每秒重復(fù)幾百次，使桿完全在你的控制之下。倒立擺以類(lèi)似的方式起作用。目的是將擺錘倒置在允許移動(dòng)的推車(chē)上。使用傳感器代替眼睛來(lái)檢測(cè)擺錘的位置，該擺錘將信息發(fā)送到計(jì)算機(jī)，該計(jì)算機(jī)執(zhí)行某些計(jì)算并指示致動(dòng)器以使鐘擺垂直的方式移動(dòng)推車(chē)。

第2步：解決方案

這個(gè)平衡擺錘的問(wèn)題需要深入了解運(yùn)動(dòng)和力量在這個(gè)系統(tǒng)中發(fā)揮作用。最終，這種洞察力將使我們能夠提出系統(tǒng)的“運(yùn)動(dòng)方程”，該方程可用于計(jì)算進(jìn)入執(zhí)行器的輸出與來(lái)自傳感器的輸入之間的關(guān)系。

根據(jù)您的等級(jí)，可以通過(guò)兩種方式導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)方程。它們可以使用牛頓的基本定律和一些高中水平數(shù)學(xué)或使用拉格朗日力學(xué)來(lái)推導(dǎo)，這通常在本科物理課程中引入。 （注意：使用牛頓定律推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程雖然簡(jiǎn)單但乏味，而使用拉格朗日力學(xué)更加優(yōu)雅，但需要理解拉格朗日力學(xué)，盡管兩種方法最終都會(huì)導(dǎo)致相同的解決方案。）

兩種方法他們的正式推導(dǎo)通常包含在高中或本科數(shù)學(xué)或物理課程中，盡管可以通過(guò)簡(jiǎn)單的谷歌搜索或訪問(wèn)此鏈接輕松找到它們。觀察最終的運(yùn)動(dòng)方程，我們注意到四個(gè)量之間的關(guān)系：

擺與垂直的角度

擺的角速度

擺的角加速度

線性加速度購(gòu)物車(chē)

前三個(gè)是傳感器測(cè)量的數(shù)量，最后一個(gè)數(shù)量將被發(fā)送到執(zhí)行器執(zhí)行。

步驟3：控制理論

控制理論是數(shù)學(xué)的一個(gè)子領(lǐng)域，用于控制和運(yùn)行動(dòng)力學(xué)工程流程和機(jī)器中的系統(tǒng)。目標(biāo)是開(kāi)發(fā)控制模型或控制回路以通常實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定性。在我們的例子中，平衡顛倒的擺錘。

有兩種主要類(lèi)型的控制回路：開(kāi)環(huán)控制和閉環(huán)控制。 實(shí)現(xiàn)開(kāi)環(huán)控制時(shí)，控制操作或來(lái)自控制器的命令與系統(tǒng)的輸出無(wú)關(guān)。一個(gè)很好的例子是爐子，爐子保持的時(shí)間完全取決于計(jì)時(shí)器。

然而在閉環(huán)系統(tǒng)中，控制器的命令取決于來(lái)自系統(tǒng)狀態(tài)。在我們的例子中，反饋是擺錘相對(duì)于法線的角度，該法線確定了推車(chē)的速度和位置，因此使該系統(tǒng)成為閉環(huán)系統(tǒng)。以上附圖是閉環(huán)系統(tǒng)的框圖形式的視覺(jué)表示。

有幾種反饋機(jī)制技術(shù)，但最廣泛使用的是比例 - 積分 - 微分控制器（PID控制器），，這是我們將要使用的。

注意：理解這些控制器的工作原理在開(kāi)發(fā)成功的控制器時(shí)非常有用，盡管解釋這種控制器的操作超出了這個(gè)指令的范圍。如果您在課程中沒(méi)有遇到這些類(lèi)型的控制器，那么網(wǎng)上有大量材料，簡(jiǎn)單的谷歌搜索或在線課程將有所幫助。

第4步：在課堂中實(shí)施此項(xiàng)目

年齡組：此項(xiàng)目主要面向高中或本科學(xué)生，但也可以通過(guò)概述概念作為示范呈現(xiàn)給年幼的孩子。

涵蓋的概念：這個(gè)項(xiàng)目涵蓋的主要概念是動(dòng)態(tài)和控制理論。

所需時(shí)間：收集完所有零件后，組裝需要10到15分鐘。創(chuàng)建控制模型需要更多時(shí)間，為此，學(xué)生可以獲得2至3天。一旦每個(gè)學(xué)生（或?qū)W生組）開(kāi)發(fā)了各自的控制模型，可以使用另一天讓個(gè)人或團(tuán)隊(duì)進(jìn)行演示。

將這個(gè)項(xiàng)目實(shí)施到您的課堂中的一種方法是構(gòu)建系統(tǒng)（在以下步驟中描述），而批處理正在研究與動(dòng)力學(xué)相關(guān)的物理子主題，或者他們正在研究數(shù)學(xué)類(lèi)中的控制系統(tǒng)。通過(guò)這種方式，他們?cè)谡n堂上遇到的想法和概念可以直接實(shí)現(xiàn)到現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用程序中，使他們的概念更加清晰，因?yàn)闆](méi)有比在現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)現(xiàn)新概念更好的方法來(lái)學(xué)習(xí)新概念。

單個(gè)系統(tǒng)可以作為一個(gè)類(lèi)一起構(gòu)建，然后可以將類(lèi)分成幾個(gè)小組，每個(gè)小組從頭開(kāi)始構(gòu)建一個(gè)控制模型。然后，每個(gè)團(tuán)隊(duì)都可以以競(jìng)賽形式展示他們的工作，其中最佳控制模型是能夠平衡最長(zhǎng)并且能夠承受輕推和推動(dòng)的最佳控制模型。

在課堂上實(shí)施這個(gè)項(xiàng)目的另一種方法是讓年齡較大的孩子（高中水平左右），開(kāi)發(fā)這個(gè)項(xiàng)目并向年幼的孩子展示，同時(shí)給他們一個(gè)動(dòng)態(tài)和控制的概述。這不僅可以激發(fā)年幼孩子對(duì)物理和數(shù)學(xué)的興趣，而且還可以幫助年齡較大的學(xué)生明白他們的理論概念，因?yàn)榧訌?qiáng)你的概念的最好方法之一是向其他人解釋?zhuān)貏e是年幼的孩子。你以一種非常簡(jiǎn)單明了的方式表達(dá)自己的想法。

步驟5：零件和耗材

購(gòu)物車(chē)將被允許在一組軌道上自由移動(dòng)，使其具有單一自由度。以下是制作擺錘和推車(chē)系統(tǒng)所需的零件和耗材：

電子產(chǎn)品：

一個(gè)Arduino兼容板，任何都可以工作。如果您對(duì)電子產(chǎn)品沒(méi)有太多經(jīng)驗(yàn)，我建議使用Uno，因?yàn)樗菀赘S。

一臺(tái)Nema17步進(jìn)電機(jī)，用作推車(chē)的執(zhí)行器。

一個(gè)步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器，再一次可以工作，但我推薦A4988步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器，因?yàn)樗皇歉?jiǎn)單的跟隨。

一個(gè)MPU-6050六軸（陀螺儀+加速度計(jì)），可檢測(cè)各種參數(shù)，如擺錘的角度和角速度。

一個(gè)12v 10A電源，10A對(duì)于這個(gè)特定項(xiàng)目來(lái)說(shuō)實(shí)際上有點(diǎn)過(guò)度殺傷，任何高于3A的都可以工作，但是有可能獲得額外的電流，這樣可以在需要更多電力的情況下進(jìn)行未來(lái)的開(kāi)發(fā)。/li》

硬件：

16 x軸承，我使用滑板軸承，他們工作得很好

2 x GT2皮帶輪和皮帶

約2.4米的1.5英寸PVC管

4mm螺母和螺栓束

此項(xiàng)目中使用的部分零件也是3D打印的，因此使用3D打印機(jī)非常有用，盡管通?？梢允褂帽镜鼗蛟诰€3D打印設(shè)備。

所有部件的總成本僅略低于50美元（不包括3D打印機(jī)）

步驟6：3D打印部件

推車(chē)和導(dǎo)軌系統(tǒng)的某些部件必須定制，所以我使用Autodesk免費(fèi)使用Fusion360來(lái)建模cad文件和3D在3D打印機(jī)上打印它們。

一些純粹的2D形狀的部件，例如擺錘和龍門(mén)架床，都是激光切割的，因?yàn)樗?。所有STL文件都附在下面的壓縮文件夾中。以下是所有部件的完整清單：

2 x龍門(mén)滾輪

4 x端蓋

1 x步進(jìn)式支架

2 x空轉(zhuǎn)皮帶輪軸承座

1 x擺錘架

2 x皮帶附件

1 x擺錘軸承座（a）

1 x擺軸承座（b）

1 x滑輪孔墊片

4 x軸承孔墊片

1 x龍門(mén)板

1 x步進(jìn)支架板

1 x空轉(zhuǎn)滑輪支架板

1 x擺錘（a）

1 x擺錘（b）

總共有24個(gè)部件，打印時(shí)間不會(huì)太長(zhǎng)，因?yàn)椴考苄〔⑶铱梢砸黄鸫蛴?。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，我將根據(jù)此列表中的名稱(chēng)引用部分。

第7步：組裝龍門(mén)滾輪

龍門(mén)滾輪就像推車(chē)的輪子。這些將沿著PVC軌道滾動(dòng)，這將允許推車(chē)以最小的摩擦平穩(wěn)地移動(dòng)。在這一步中，抓住兩個(gè)3D打印龍門(mén)滾輪，12個(gè)軸承和一堆螺母和螺栓。每個(gè)滾子需要6個(gè)軸承。使用螺母和螺栓將軸承安裝到滾輪上（使用圖片作為參考）。制成每個(gè)滾輪后，將它們滑到PVC管上。

步驟8：組裝驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（步進(jìn)電機(jī)）

推車(chē)將由標(biāo)準(zhǔn)的Nema17步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)。使用應(yīng)與步進(jìn)一起設(shè)置的螺釘將電機(jī)夾入步進(jìn)支架。然后將支架擰到步進(jìn)器支架板上，將支架上的4個(gè)孔與板上的4個(gè)對(duì)齊，并使用螺母和螺栓將兩個(gè)固定在一起。接下來(lái)，將GT2皮帶輪安裝到電機(jī)軸上，并使用更多的螺母和螺栓將2個(gè)端蓋從底部連接到步進(jìn)器固定板上。完成后，您可以將端蓋滑動(dòng)到管道上。如果配合太合適而不是將端蓋壓到管道上，我建議打磨3D打印端蓋的內(nèi)表面直到配合緊密。

步驟9：組裝驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（空閑滑輪）

我使用的螺母和螺栓直徑為4mm，雖然滑輪和軸承上的孔是6mm，這就是為什么我不得不3D打印適配器并將它們推入滑輪和軸承的孔中，這樣它們就不會(huì)在螺栓上擺動(dòng)。如果您的螺母和螺栓尺寸合適，則不需要執(zhí)行此步驟。

將軸承安裝到惰輪軸承座中。如果配合太緊，請(qǐng)使用砂紙輕輕打磨惰輪軸承座的內(nèi)壁。將螺栓穿過(guò)其中一個(gè)軸承，然后將滑輪滑到螺栓上，然后用第二個(gè)軸承和惰輪軸承座固定另一端。

完成后，將一對(duì)惰輪支撐架固定在惰輪支架板上，并將端蓋連接到該板的底面，類(lèi)似于上一步驟。最后，使用這些端蓋蓋住兩個(gè)PVC管的另一端。有了這個(gè)，您的購(gòu)物車(chē)的導(dǎo)軌就完成了。

步驟10：組裝龍門(mén)

下一步步驟是建立購(gòu)物車(chē)。使用龍門(mén)板和4個(gè)螺母和螺栓將兩個(gè)滾輪連接在一起。龍門(mén)板有插槽，您可以調(diào)整板的位置進(jìn)行微調(diào)。

接下來(lái)，將兩個(gè)皮帶附件安裝在龍門(mén)架的兩側(cè)。確保從底部安裝它們，否則皮帶將不在同一水平面上。確保也從底部穿過(guò)螺栓，否則，如果螺栓太長(zhǎng)，可能會(huì)導(dǎo)致皮帶阻塞。

最后，將擺錘支架安裝到推車(chē)前部

步驟11：組裝鐘擺

鐘擺是兩件式的，只是為了節(jié)省材料。您可以通過(guò)對(duì)齊牙齒并將它們超級(jí)粘在一起來(lái)將兩個(gè)部分粘在一起。再次將軸承孔墊片推入兩個(gè)軸承中以補(bǔ)償較小的螺栓直徑，然后將軸承推入兩個(gè)擺錘軸承座件的軸承孔中。將兩個(gè)3D打印部件夾在擺錘底端的兩側(cè)，并使用穿過(guò)擺錘軸承座的3個(gè)螺母和螺栓將3個(gè)固定在一起。將螺栓穿過(guò)兩個(gè)軸承，并用另一個(gè)螺母固定另一端。

接下來(lái)，抓住您的MPU6050并使用安裝螺釘將其安裝在擺錘的另一端。

步驟12：安裝擺錘和皮帶

最后一步是將擺錘安裝到推車(chē)上。通過(guò)將先前通過(guò)兩個(gè)擺錘軸承的螺栓穿過(guò)安裝在推車(chē)前部的擺錘支架上的孔并在另一端使用螺母將擺錘固定在推車(chē)上來(lái)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。/p》

最后，抓住你的GT2皮帶，首先將一端固定到一個(gè)夾在推車(chē)上的皮帶附件上。為此，我使用了一個(gè)整潔的3D可打印皮帶夾，夾在皮帶的末端，防止它滑過(guò)狹窄的插槽?？梢栽赥hingiverse上使用此鏈接找到此作品的標(biāo)題。將皮帶一直纏繞在步進(jìn)滑輪和惰輪上，并將皮帶的另一端固定在推車(chē)另一端的皮帶連接件上。拉緊皮帶，同時(shí)確保不要過(guò)度擰緊或丟失太多，這樣你的擺錘和推車(chē)就完成了！

步驟13：接線和電子設(shè)備

接線包括連接MPU6050到Arduino和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的接線。按照上面的接線圖連接每個(gè)組件。

MPU6050到Arduino：

GND到GND

+ 5v至+ 5v

SDA至A4

SCL至A5

Int至D2

步進(jìn)電機(jī)步進(jìn)驅(qū)動(dòng)器：

線圈1（a）至1A

線圈1（b）至1B

線圈2（a ）到2A

線圈2（b）到2B

到Arduino的步進(jìn)驅(qū)動(dòng)器：

GND至GND

VDD至+ 5v

步驟至D3

DIR至D2

VMOT至電源的正極端子

GND到電源的接地端子

步進(jìn)驅(qū)動(dòng)器上的睡眠和復(fù)位引腳需要連接到跳線。最后，將一個(gè)約100 uF的電解電容與電源的正極和接地端子并聯(lián)是個(gè)好主意。

步驟14：控制系統(tǒng)（比例控制）

最初，我決定嘗試一個(gè)基本的比例控制系統(tǒng)，也就是說(shuō)，推車(chē)的速度只是與鐘擺與垂直方向所構(gòu)成的角度成比例。這只是一個(gè)測(cè)試，以確保所有部件正常運(yùn)行。雖然，這個(gè)基本的比例系統(tǒng)足夠堅(jiān)固，可以使擺錘達(dá)到平衡。鐘擺甚至可以抵抗輕柔的推動(dòng)和推動(dòng)。雖然這個(gè)控制系統(tǒng)運(yùn)行得非常好，但它仍然存在一些問(wèn)題。如果在一定時(shí)間內(nèi)查看IMU讀數(shù)的圖表，我們可以清楚地注意到傳感器讀數(shù)的振蕩。這意味著無(wú)論何時(shí)控制器試圖進(jìn)行校正，它總是超過(guò)一定量，這實(shí)際上是比例控制系統(tǒng)的本質(zhì)?？梢酝ㄟ^(guò)實(shí)施考慮所有這些因素的不同類(lèi)型的控制器來(lái)糾正這種輕微的錯(cuò)誤。

下面附有比例控制系統(tǒng)的代碼。該代碼需要一些額外的庫(kù)的支持，這些庫(kù)是 MPU6050 庫(kù)， PID 庫(kù)和 AccelStepper 庫(kù)。這些可以使用Arduino IDE的集成庫(kù)管理器下載。只需轉(zhuǎn)到草圖 》》 包含庫(kù) 》》 管理庫(kù)，然后只需搜索 PID ， MPU6050 和 AccelStepper 。

盡管如此，我建議你們所有人都是科學(xué)的數(shù)學(xué)愛(ài)好者，將嘗試從頭開(kāi)始構(gòu)建這種控制器。這不僅可以增強(qiáng)您對(duì)動(dòng)力學(xué)和控制理論的概念，還可以讓您有機(jī)會(huì)在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用您的知識(shí)。

步驟15：控制系統(tǒng)（PID控制）

一般來(lái)說(shuō)，在現(xiàn)實(shí)生活中，一旦控制系統(tǒng)被證明足夠強(qiáng)大以適應(yīng)其應(yīng)用，工程師通常只是通過(guò)使用更復(fù)雜的控制系統(tǒng)來(lái)完成項(xiàng)目而不是使情況過(guò)于復(fù)雜。但在我們的例子中，我們正在構(gòu)建這種倒立擺，純粹是出于教育目的。因此，我們可以嘗試進(jìn)入更復(fù)雜的控制系統(tǒng)，例如 PID控制，這可能比基本的比例控制系統(tǒng)更加穩(wěn)健。

雖然PID控制的實(shí)施要復(fù)雜得多，但一旦正確實(shí)施并找到完美的調(diào)整參數(shù)，擺錘就會(huì)明顯更好地平衡。在這一點(diǎn)上，它也可以對(duì)抗輕微顛簸。 IMU在給定時(shí)間內(nèi)的讀數(shù)（如上所述）也證明了讀數(shù)對(duì)于所需的設(shè)定值（即垂直）來(lái)說(shuō)永遠(yuǎn)不會(huì)太遠(yuǎn)，這表明該控制系統(tǒng)比基本比例控制系統(tǒng)更有效，更穩(wěn)健。

再次，我建議所有科學(xué)和數(shù)學(xué)愛(ài)好者，在使用下面附帶的代碼之前，嘗試從頭開(kāi)始構(gòu)建一個(gè)PID控制器。這可以被視為一種挑戰(zhàn)，而且人們永遠(yuǎn)不會(huì)知道，有人可能會(huì)想出一個(gè)比迄今為止嘗試過(guò)的任何東西都強(qiáng)大得多的控制系統(tǒng)。雖然Arttino已經(jīng)可以使用強(qiáng)大的 PID庫(kù)，它是由Brett Beauregard開(kāi)發(fā)的，可以從Arduino IDE的庫(kù)管理器安裝。

注意：每個(gè)控制系統(tǒng)及其結(jié)果將在第一步中附帶的視頻中得到證明。

步驟16：進(jìn)一步改進(jìn)

我想要嘗試的其中一件事是“swing-up”功能，其中鐘擺最初懸掛在推車(chē)下方，推車(chē)沿軌道快速上下移動(dòng)以擺動(dòng)將擺錘從懸掛位置倒置到倒置倒置位置。但是這對(duì)于當(dāng)前配置是不可行的，因?yàn)殚L(zhǎng)電纜必須將慣性測(cè)量單元連接到Arduino，因此由擺錘完成的整圓可能導(dǎo)致電纜扭曲和阻礙。這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)使用連接在擺錘樞軸上的旋轉(zhuǎn)編碼器來(lái)代替最尖端的慣性測(cè)量單元來(lái)解決。使用編碼器時(shí)，其軸是唯一與擺錘一起旋轉(zhuǎn)的軸，而車(chē)身保持靜止，這意味著電纜不會(huì)扭曲。

我想嘗試的第二個(gè)功能是平衡購(gòu)物車(chē)上的雙擺。該系統(tǒng)由兩個(gè)相繼連接的鐘擺組成。雖然這種系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)要復(fù)雜得多，需要更多研究。

步驟17：最終結(jié)果

這樣的實(shí)驗(yàn)可以積極地改變班級(jí)的情緒。一般來(lái)說(shuō)，大多數(shù)人更喜歡能夠應(yīng)用概念和想法來(lái)結(jié)晶它們，否則，這些想法仍然“懸而未決”，這使人們更容易忘記它們。這只是將課堂上學(xué)到的某些概念應(yīng)用到實(shí)際應(yīng)用中的一個(gè)例子，盡管這肯定會(huì)激發(fā)學(xué)生的熱情，最終嘗試用他們自己的實(shí)驗(yàn)來(lái)測(cè)試?yán)碚?，這將使他們未來(lái)的課程更加豐富活潑，這將使他們想要了解更多，這將使他們想出更新的實(shí)驗(yàn)，這個(gè)積極的循環(huán)將持續(xù)到未來(lái)的教室充滿了這樣有趣和愉快的實(shí)驗(yàn)和項(xiàng)目。