節(jié)點(diǎn)分析

節(jié)點(diǎn)分析是一種分析形式，它使用基爾霍夫電流定律（KCL）和節(jié)點(diǎn)方程來(lái)求解電路電壓值，其中原理圖沒有任何導(dǎo)體路徑交叉。通常用于此目的的術(shù)語(yǔ)稱為平面電路。

這用于確定每個(gè)節(jié)點(diǎn)（或兩個(gè)或多個(gè)組件的連接點(diǎn)）的電壓尊重參考節(jié)點(diǎn)。參考節(jié)點(diǎn)通常稱為地，其中地電壓等于零伏。

在查看電壓源或電流源的示意圖時(shí)，參考節(jié)點(diǎn)通常是當(dāng)為電流源示出箭頭時(shí)，將其分配給電壓源的負(fù)端子和相對(duì)端。選擇參考節(jié)點(diǎn)的另一種方法是在查看所有節(jié)點(diǎn)時(shí)選擇中間節(jié)點(diǎn)。

有兩種電源：1）獨(dú)立和2）依賴。

獨(dú)立源為連接的電路提供固定的電壓或電流值。獨(dú)立的來(lái)源是電源和電池。電源提供恒定的固定值，而電池在沒有充電的情況下不會(huì)提供恒定的固定值。

從屬源是電壓源或電流源，其值取決于根據(jù)電路中其他地方的電壓或電流值。相關(guān)源是分析放大器的有用工具。放大器的兩個(gè)特性是電壓增益（A V ）和電流增益（Ai）。有四種基本的線性相關(guān)來(lái)源：

1。輸出為V的電壓控制電壓源，A V 是比例常數(shù)（電壓增益），V CD 是被檢測(cè)的參數(shù)。以下等式與壓控電壓源相關(guān)：

$$ V = A_ {V} V_ {CD} $$

2。電流控制電壓源，其中輸出為V，R M 是比例常數(shù)（電阻），I C 是被感測(cè)的參數(shù)。以下等式與電流控制電壓源相關(guān)：

$$ V = R_ {M} I_ {C} $$

3。電流控制電流源，其中輸出為I，Ai是比例常數(shù)（電流增益），I C 是被感測(cè)的參數(shù)。以下等式與電流控制電流源相關(guān)：

$$ I = A_ {I} I_ {C} $$

4。輸出為I的壓控電流源，GM是比例常數(shù)（電導(dǎo)），VCD是被檢測(cè)的參數(shù)。以下公式與壓控電流源相關(guān)：

$$ I =（G_ {M}）（V_ {CD}）$$

如圖1所示，當(dāng)有兩個(gè)直流電壓源和一個(gè)直流電流源時(shí)，會(huì)發(fā)生一個(gè)依賴源的節(jié)點(diǎn)分析。注意，E1的值用未知值表示。 E1 = 2Vx。注意，電阻器R1兩端的電壓表示為Vx。注意，電阻器R3兩端的電壓表示為V0。此信息稍后將用于計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓。

圖1

如果節(jié)點(diǎn)或測(cè)試點(diǎn)電壓為正，它將讀取電壓表上的正值。如果節(jié)點(diǎn)或測(cè)試點(diǎn)電壓為負(fù)，它將讀取電壓表上的負(fù)值。

圖1所示電路的一個(gè)示例問(wèn)題是找到以下內(nèi)容：

一個(gè)。電阻R3兩端的電壓（V0）。

B.電流通過(guò)電阻R1（IR1），R2（IR2），R3（IR3）和R4（IR4）。

C.設(shè)I1 = 2 mAmps，I2 = 2 mAmps，E1 = 2Vx，E2 = 4 V，R1 = 1 Kilo歐姆，R2 = 2千歐，R3 = 3千歐，R4 = 4千歐。

d。設(shè)R1（ER1）上的電壓= Vx，E1 = V1 - V2。

第一步是識(shí)別參考節(jié)點(diǎn)或地面，然后是所有節(jié)點(diǎn)。圖1中顯示了電路。通常任何獨(dú)立的源都接地，如圖1所示。

在這個(gè)電路中，DC電壓源頂部的節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為V1，標(biāo)記為V1，低于E1在標(biāo)記為V3的電阻器R3下方，以及在標(biāo)記為V4的DC源E2上方。這些節(jié)點(diǎn)如圖2所示。

圖。 2

第二步是識(shí)別超級(jí)節(jié)點(diǎn)，該節(jié)點(diǎn)的從屬源具有未知的E1值，等于2Vx。在V1和V2周圍繪制一條紅線，其中E1如圖3所示。

圖。 3

第三步是確定獨(dú)立源，即電壓源E2，以及電流源I1和I2。在V4和E2，I1和I2周圍畫一條藍(lán)線，如圖4所示。

圖。 4

第4步是識(shí)別超級(jí)節(jié)點(diǎn)的電流，藍(lán)線和箭頭標(biāo)記為a，b，c，d和e，如圖5所示。

圖5

第五步是識(shí)別V3節(jié)點(diǎn)的電流，紅線和箭頭標(biāo)記為f，g和h，如圖6所示。

圖6

下一步將利用圖5標(biāo)識(shí)超級(jí)節(jié)點(diǎn)，以便識(shí)別基爾霍夫電流定律（KCL）方程。請(qǐng)記住，基爾霍夫電流定律（KCL）規(guī)定進(jìn)入和離開節(jié)點(diǎn)的所有電流的代數(shù)和必須等于零。

以下KCL電流方程可以寫入超級(jí)節(jié)點(diǎn)的藍(lán)線和箭頭a，b，c，d和e：

$$ -I_ {1} + I_  + I_ {c} + I_ 3kspceigf27 + I_ {e} = 0 $$

請(qǐng)注意：

$$ I_ = \ frac {V_ {2}} {R_ {1}}，I_ {c} = \ frac {V_ {2} - V_ {3}} {R_ {2}}，I_ 3kspceigf27 = \ frac {V_ {1} -V_ {3}} {R_ {3}}，I_ {e} = \ frac {V_ {1} - E_ {2}} {R_ {4}} $$

現(xiàn)在，等式變?yōu)椋?/p>

$$ -I_ {1} + \ frac {V_ {2}} {R_ {1}} + \ frac {V_ {2} -V_ {3}} {R_ {2}} + \ frac {V_ {1} -V_ {3}} {R_ {3}} + \ frac {V_ { 1} -E_ {2}} {R_ {4}} = 0 $$

替換電路值：

$$ - （\ text {2 m}）+ \ frac {V_ {2}} {\ text {1 k}} + \ frac {V_ {2} -V_ {3}} {\ text {2k}} + \ frac {V_ {1} -V_ {3}} { \ text {3k}} + \ frac {V_ {1} -E_ {2}} {\ text {4k}} = 0 $$

將兩邊乘以12 k（Least CommonDenominator）：

$$ [ - （\ text {2 m}）+ \ frac {V_ {2}} {\ text {1 k}} + \ frac {V_ {2} -V_ {3}} { \ text {2k}} + \ frac {V_ {1} -V_ {3}} {\ text {3k}} + \ frac {V_ { 1} -E_ {2}} {\ text {4k}} = 0]（\ text {12 k}）$$

展開：

$$ - 24 + 12V_ {2} + 6（V_ {2} - V_ {3}）+ 4（V_ {1} - V_ {3}）+ 3（V_ {1} - 4）= 0 $$

$$ - 24 + 12V_ {2} + 6V_ {2} - 6V_ {3} + 4V_ {1} - 4 V_ {3} + 3V_ {1} - 12 = 0 $$

合并條款：

$$ 7V_ {1} + 18V_ {2} - 10V_ {3} = 36 $$ [等式1]

下一步將利用圖6顯示V3節(jié)點(diǎn)處的電流可以為f，g和h的紅線和箭頭寫出方程式。請(qǐng)注意，當(dāng)查看c和g以及d和h的藍(lán)色和紅色線和箭頭時(shí)，通過(guò)電阻器R2和R3的電流方向是相反的。這在檢查結(jié)果后會(huì)很重要。

$$ -I_ {2} + \ frac {V_ {3} - V_ {2}} {R_ {2}} + \ frac {V_ { 3} -V_ {1}} {R_ {3}} = 0 $$

替換電路值：

$$ - （\ text {2 m}）+ \ frac {V_ {3} - V_ {2}} {\ text {2 k}} + \ frac {V_ {3} -V_ {1}} {\ text {3 k}} = 0 $$

將兩邊乘以6 k（最小公分母）：

$$ [ - （\ text {2 m}）+ \ frac {V_ {3} - V_ {2}} {\ text {2 k}} + \ frac {V_ {3} -V_ {1}} {\ text {3 k}} = 0]（\ text {6 k}）$$

展開：

$$ - 12 + 3（V_ {3} - V_ {2}）+ 2（V_ {3} - V_ {1}）= 0 $$

$$ - 12 + 3V_ {3} - 3V_ {2} + 2V_ {3} - 2V_ {1} = 0 $$

組合術(shù)語(yǔ)：

$$ - 2V_ {1} - 3V_ {2} + 5V_ {3} = 12 $$ [等式2]

有兩個(gè)方程和三個(gè)未知數(shù)。需要另一個(gè)等式。當(dāng)查看圖5中有關(guān)直流電壓源E1和節(jié)點(diǎn)V2的給定信息以及電阻器R1上的電壓Vx時(shí)，可以得到另一個(gè)等式。

圖。 5

以下信息是已知的：

$$ E_ {1} = V_ {1} - V_ {2} $$

$$ E_ { 1} = 2V_ {X} $$

$$ V_ {1} - V_ {2} = 2V_ {X} $$ [等式A]

$$ V_ {2 } = V_ {X} $$ [公式B]

在公式A中使用公式B，其中V2 = Vx，可以得到V1的另一個(gè)公式：

$$ V_ {1 } - V_ {2} = 2V_ {X} $$

$$ V_ {1} - V_ {X} = 2V_ {X} $$

解決V1：

$$ V_ {1} = 2V_ {X} + V_ {X} $$

$$ V_ {1} = 3V_ {X} $$ [等式3]

現(xiàn)在，使用公式A和公式B，公式1和公式2需要以Vx和V3表示V1和V2項(xiàng)：

召回等式1：$$ 7V_ {1} + 18V_ {2} - 10V_ {3} = 36 $$

$$ 7（3V_ {X}）+ 18（V_ {X}） - 10V_ {3} = 36 $$

$$ 21V_ {X} + 18V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$

$$ 39V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$ [等式C]

召回等式2：$$ - 2V_ {1} - 3V_ {2} + 5V_ {3} = 12 $ $

$$ - 2（3V_ {X}） - 3（V_ {X}）+ 5V_ {3} = 12 $$

$$ - 6V_ {X} - 3V_ {X} + 5V_ {3} = 12 $$

$$ - 9V_ {X} + 5V_ {3} = 12 $$ [等式D]

現(xiàn)在有兩個(gè)方程和兩個(gè)可以求解的未知數(shù)。

$$ 39V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$ [方程C]

$$ - 9V_ {X} + 5V_ {3} = 12 $$ [等式D]

當(dāng)在等式D的兩側(cè)乘以2時(shí)，兩個(gè)等式可以加在一起，導(dǎo)致V3項(xiàng)被取消，留下一個(gè)等式為一個(gè)未知。

將公式D的兩邊乘以2：

$$（ - 9V_ {X} + 5V_ {3} = 12）（2） $$

展開：

$$ - 18V_ {X} + 10V_ {3} = 24 $$ [公式D]

將新的公式D添加到公式C：

$$ 39V_ {X} - 10V_ {3} = 36 $$ [公式C]

$$ - 18V_ {X } + 10V_ { 3} = 24 $$ [公式D]

$$ 21V_ {X} = 60 $$

解決Vx：

$$ \ underline { V_ {X} = 2.86 \ text {v}} $$

召回：$$ V_ {2} = V_ {X} $$，替換$$ V_ {X} = 2.86 \ text {伏特} $$

$$ \ underline {V_ {2} = 2.86 \ text {v}} $$

召回：$$ V_ {1} = 3V_ {X} $$，替換$$ V_ {X} = 2.86 \ text {volts} $$

$ $ V_ {1} = 3（2.86 \ text {v}）$$

$$ \ underline {V_ {1} = 8.58 \ text {v}} $$

當(dāng)使用公式1和V1和V2的計(jì)算值時(shí)，可以計(jì)算V3：

召回：$$ 7V_ {1} + 18V_ {2} - 10V_ {3} = 36 $$

替換V1和V2的值：

$$ 7（8.58）+ 18（2.86） - 10V_ {3} = 36 $$

展開：

$$60.06 + 51.48 - 10V_ {3} = 36 $$

結(jié)合條款：

$$ 111.54 - 10V_ {3} = 36 $$

解決V3：

$$ - 10V_ {3} = -111.54 + 36 $$

將雙方除以-10：

$$ \ underline {V_ {3} = 7.55 \ text {v}} $$

可以使用圖5計(jì)算V0的值：

召回：$$ V_ {0} = V_ {1} - V_ {3} $$

替換V1和V3的值：

$$ V_ {0} = 8.58 \ text {v} - 7.55 \ text {v} $$

$$ \ underline {V_ {0} = 1.03 \ text {v}} $$

既然已知所有節(jié)點(diǎn)電壓，可以計(jì)算電阻器R1（IR1），R2（IR2），R3（IR3）和電阻器的電流R4（IR4）。

召回：$$ I_ {R_ {1}} = \ frac {V_ {2}} {R_ {1}} $$

$$ I_ {R_ {1}} = \ frac {2.86 \ text {v}} {\ text {1 k} \ Omega} $$

$$ \ underline {I_ {R_ {1}} = 2.86 \ text {mA}} $$

召回：$$ I_ {R_ {2}} = \ frac {V_ {2} - V_ {3}} {R_ { 2}} $$

$$ I_ {R_ {2}} = \ frac {2.86 \ text {v} - 7.55 \ text {v}} {\ text {2k} \ Omega} $$

$$ \ underline {I_ {R_ {2}} = -4.69 \ text {v}} $$

$$ \ underline {I_ {R_ {2}} = -2.35 \ text {mA}} $ $

召回：$$ I_ {R_ {3}} = \ frac {V_ {1} - V_ {3}} {R_ {3}} $$

$$ I_ {R_ {3}} = \ frac {8.58 \ text {v} - 7.55 \ text {v}} {\ text {3 k} \ Omega} $$

$$ I_ {R_ {3}} = \ frac {1.03 \ text {v}} {\ text {3 k} \ Omega} $$

$$ \ underline {I_ {R_ {3 }} = 0.34 \ text {mA}} $$

召回：$$ I_ {R_ {4}} = \ frac {V_ {1} - V_ {4} } {R_ {4}} $$

$$ I_ {R_ {4}} = \ frac {8.58 \ text {v} - 4 \ text {v}} {\ text {4 k} \ Omega} $$

$$ I_ {R_ {4}} = \ frac {4.58 \ text {v}} {\ text {4 k} \ Omega} $$

$$ \ underline {I_ {R_ {4}} = 1.15 \ text {mA}} $$

要確認(rèn)KCL當(dāng)前計(jì)算，請(qǐng)考慮超級(jí)節(jié)點(diǎn)上關(guān)聯(lián)的那些：

$$ - I_ {1} + I_ {R_ {1}} + I_ {R_ {2}} + I_ {R_ {3}} + I_ {R_ {4}} = 0 $$

替代電路值：

$$（ - 2 \ text {mA}）+ 2.86 \ text {mA} - 2.35 \ text {mA} + 0.34 \ text {mA} + 1.15 \ text {mA } = 0 $$

結(jié)合條款：

$$ 4.35 \ text {mA} - 4.35 \ text {mA} = 0 $$

確認(rèn)V3節(jié)點(diǎn)的KCL當(dāng)前計(jì)算：

$$ - I_ {2} + I_ {R_ {2}} + I_ {R_ {3}} = 0 $$

注意IR2和IR3是超級(jí)節(jié)點(diǎn)計(jì)算的相反符號(hào)

$$（ - 2 \ text {mA}）+ 2.35 \ text {mA} - 0.34 \ text {mA} = 0 $$

組合術(shù)語(yǔ)：

$$ （-2.34 \ text {mA}）+ 2.35 \ text {mA} \ approx0 $$

電壓控制電流源是輸出電流（IS）是線性的具有以下關(guān)系中的參考電壓（VX）的連通組件的功能：

IS =（A）（IX）其中A是乘數(shù)，需要確定IX。

VCCS的下圖如圖1所示。

圖1.壓控電流源

考慮以下電路，該電路由依賴電壓源I2組成值（-2mA）（VR1），與電阻R1的連接鏈路，其值為1K歐姆，電壓降為VR1，獨(dú)立電壓源V1的值為4伏，獨(dú)立電流源I1具有值1 mAmp，如圖2所示。

圖2。

在節(jié)點(diǎn)B使用基爾霍夫電流定律（KCL）之前，節(jié)點(diǎn)A的電壓可以使用4伏的獨(dú)立電壓源V1的值來(lái)確定：

$$ V_ {A} = V_ {1} = 4 \ text {volts} $$

要確定節(jié)點(diǎn)A處的KCL，需要識(shí)別電流。電流IA是正的，因?yàn)樗M(jìn)入節(jié)點(diǎn)而電流IB和IC是負(fù)的，因?yàn)樗鼈冸x開節(jié)點(diǎn)，如圖3所示。

圖3.

節(jié)點(diǎn)VA上所有電流的代數(shù)和等于零：

$$ I_ {A} - I_ {B} - I_ {C} = 0 $$

請(qǐng)注意：

$$ I_ {B} = \ frac {V_ {B} - V_ {A}} { R_ {1}} $$

$$ I_ {C} = I_ {1} $$

這樣：

$$ I_ {A} - \ frac {V_ {B} - V_ {A}} {R_ {1}} - I_ {1} = 0 $$

替換電路值：

$$ I_ {A} - \ frac {V_ {B} - 4} {1 \ text {k} \ Omega} - 1 \ text {mA} = 0 $$

將兩邊乘以1k：

$$ [I_ {A} - \ frac {（V_ {B} - 4）} {1 \ text {k} \ Omega} - 1 \ text {mA} = 0]（1 \ text {k} ）$$

展開：

$$（1 \ text {k}）I_ {A} - （V_ {B} - 4） - 1 = 0 $$

$$（1 \ text {k}）I_ {A} - V_ {B} + 4- 1 = 0 $$

組合術(shù)語(yǔ)：

$ $（1 \ text {k}）I_ {A} - V_ {B} + 3 = 0 $$

左側(cè)未知，右側(cè)知道

$$（1 \ text {k}）I_ {A} - V_ {B} = -3 $$ [等式1]

要確定節(jié)點(diǎn)B處的KCL，需要識(shí)別電流。當(dāng)前的IA，IB和IC是正的，因?yàn)樗鼈冞M(jìn)入節(jié)點(diǎn)，而當(dāng)前的IE是負(fù)的，因?yàn)樗x開節(jié)點(diǎn)，如圖4所示。

圖4.

節(jié)點(diǎn)VB上所有電流的代數(shù)和等于零：

$$ I_ {B } + I_ {C} + I_ {D} - I_ {E} = 0 $$

請(qǐng)注意：

$$ I_ {B} = \ frac {V_ {A } -V_ {B}} {R_ {1}} $$

$$ I_ {C} = I_ {1} $$

$$ I_ {D} = I_ {2} $$

$$ I_ {E} = \ frac {V_ {B}} {R_ {2}}

這樣：

$$ \ frac {V_ {A} -V_ {B}} {R_ {1}} + I_ {1} + I_ {2} - \ frac {V_ {B}} {R_ {2}} = 0 $$

替換電路值：

$$ \ frac {4-V_ {B}} {1 \ text {k} \ Omega} + 1 \ text {mA} - （2 \ text {m}）V_ {R_ {1}} - \ frac {V_ {B}} {2 \ text {k} \ Omega} = 0 $$

將兩邊乘以2 k：

$$ [\ frac {4-V_ {B}} {1 \ text {k} \ Omega} + 1 \ text {mA} - （2 \ text {m}）V_ {R_ { 1}} - \ frac {V_ {B}} {2 \ text {k} \ Omega} = 0]（2 \ text {k}）$$

展開：

$$ 2（4 -V_ {B}）+ 2 -4V_ {R_ {1}} -V_ {B} = 0 $$

$$ 8 -2V_ {B} + 2 -4V_ {R_ {1}} -V_ {B} = 0 $$

組合術(shù)語(yǔ)：

$$ - 3V_ {B} -4V_ {R_ {1}} + 10 = 0 $$

左邊未知，右邊知道

$$ - 3V_ {B} -4V_ {R_ {1}} = -10 $$ [等式2]

$$ E_ {R_ {4}} = I_ {1} R_ {4} $$

替換電路值：

$$ E_ {R_ {4}} =（1 \ text {mA}）（3 \ text {k} \ Omega）$$

$$ \ underline {E_ {R_ {4}} = 3 \ text {v}} $$

請(qǐng)注意，R4與R1并行。這使得ER4等于VR1。

$$ \ underline {V_ {R_ {1}} = 3 \ text {v}} $$

使用歐姆定律找到IB：

\ [I_ {B} = \ frac {V_ {R1}} {R_ {1}} \]

替換電路值：

$$ I_ {B} = \ frac {3 \ text {v}} {1 \ text {k} \ Omega} $$

$$ \ underline {I_ {B} = 3 \ text {mA}} $$

回憶節(jié)點(diǎn)A的電流：

$$ I_ {A} -I_ {B} -I_ {C} = 0 $$

求解IA：

$$ I_ {A} = I_ {B} + I_ {C} $$

替代電路值：

$$ I_ {A} =（3 \ text {mA}）+（1 \ text {mA}）$$

$$ \ underline {I_ {A} = 4 \ text { mA}} $$

請(qǐng)注意，當(dāng)前ID是當(dāng)前的I2：

$$ I_ {D} =（ - 2 \ text {m}） （V_ {R_ {1}}）$$

替換電路值：

$$ I_ {D} =（ - 2 \ text {m}）（3 \ text { v}）$$

$$ \ underline {I_ {D} = - 6 \ text {mA}} $$

回憶節(jié)點(diǎn)電流B：

$$ I_ {B} + I_ {C} + I_ {D} -I_ {E} = 0 $$

解決IE：

$$ I_ {E} = I_ {B} + I_ {C} + I_ {D} $$

替換電路值：

$$ I_ {E} = （3 \ text {mA}）+（1 \ text {mA}）+（ - 6 \ text {mA}）$$

$$ \ underline {I_ {E} = - 2 \ text {mA}} $$

請(qǐng)注意，VR1可以從節(jié)點(diǎn)A和節(jié)點(diǎn)B確定：

$$ V_ {R_ {1}} = V_ {A} -V_ {B} $$

解決VB：

$$ V_ {B} = V_ {A} -V_ {R_ {1}} $$

替換電路值：

$$ V_ {B} =（4 \ text {v}） - （3 \ text {v}）$$

$$ \下劃線{V_ {B} = 1 {\ text {v}}} $$

使用與從屬電流源關(guān)聯(lián)的等式來(lái)查找當(dāng)前的I2：

$$ I_ {2} =（ - 2 \ tex t {m}）（V_ {R_ {1}}）$$

替換電路值：

$$ I_ {2} =（ - 2 \ text {m}）（3 \ text {v}）$$

$$ \下劃線{I_ {2} = - 6 \ text {mA}} $$

使用歐姆定律查找電阻R3上的電壓：

$ $ E_ {R_ {3}} =（I_ {2}）（R_ {3}）$$

替換電路值：

$$ E_ {R_ {3}} =（ - 6 \ text {mA}）（4 \ text {k} \ Omega）$$

$$ \ underline {E_ {R_ {3}} = - 24 \ text {v}} $$

為了確認(rèn)涉及獨(dú)立電壓源V1和電阻器R1和R2的KVL回路，得到以下等式：

$$ V_ {1} = E_ {R_ {1}} + E_ {R_ {2}} $$

替換電路值并注意ER2等于VB

$$（4 \ text {v}） =（3 \ text {v}）+（1 \ text {v}）$$

使用依賴源的節(jié)點(diǎn)分析利用Kirchhoff的當(dāng)代法與代數(shù)和歐姆定律來(lái)代替節(jié)點(diǎn)的未知電壓并找到其他電路值。通過(guò)花時(shí)間仔細(xì)標(biāo)記節(jié)點(diǎn)，通過(guò)識(shí)別正確的節(jié)點(diǎn)電壓和極性，解決問(wèn)題變得更容易并且可以避免錯(cuò)誤。