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一文了解堆的性質和證明

如意 ? 來源:CSDN ? 作者:CaspianSea ? 2020-06-22 10:13 ? 次閱讀
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這里說的堆(heap)是一種 nearly complete binary tree:除了最低的一層外,其它層填充滿了結點,并且最底層的結點是從左到右填充的。

這里假定root結點的索引從1 開始。

它有如下的性質:

1. 對于一個包含 n個元素的heap, 它的高度為 floor(lg n)

證明: 用 h表示這個heap的高度。則有:

2^h 《= n 《= 2^(h+1) -1 《 2^(h+1)

對上面取對數(shù):

h 《 = lgn 《 h + 1

考慮到 h為整數(shù), h只能是 floor(lg n)。

2. 對于以數(shù)組形式存儲的 n個元素的heap, 葉子結點的索引為 floor(n/2)+1, floor(n/2)+2, 。。., n

證明: 假定葉子結點索引為 floor(n/2), 那么, 2 * floor(n/2) 《 n, 表示這個葉子節(jié)點存在子結點。。,也就是它不是葉子結點。

2 * (floor(n/2)+1) =2 * floor(n/2) + 2 》 n, 不存在子節(jié)點,所以,索引為 floor(n/2)+1的結點是葉子結點。

3. n個元素的heap, 它的葉子結點的個數(shù)為 ceiling[n/2]

證明: 根據(jù) 2可以得出這個結論。

4. 對于 n個元素的heap, 最多有ceiling(n/2^(h+1))個高度為h的結點

證明 i: 用歸納法。

當 h = 0時的結點為葉子結點,根據(jù)3, 個數(shù)為 ceiling(n/2) = ceiling(n/2^(h+1)(當 h = 0)。

所以, h =0時成立。

假定 h-1時成立,那么此時高度 h-1的結點個數(shù)為 ceiling(n/2^(h-1))。

那么, 考慮去掉所有葉子結點的heap T‘。它的節(jié)點數(shù)為 n - ceiling[n/2] = floor(n/2)。

在原來堆中高度為 h的結點在 T’中對應的高度為 h-1.

那么在原來堆中高度h的結點的個數(shù)等于 T‘中高度為 h-1的個數(shù):

ceiling( floor(n/2)/2^(h-1)) 《= ceiling((n/2)/2^(h-1)) = ceiling(n/2^h)。

證明 ii:

假定結點 i高度為 h,那么, i, i*2, i*4, 。。., i*2^h 為 i的最長路徑,并且 i*2^(h+1) 》 n.

于是有,

i*2^h 《= n 《 i * 2^(h+1)

i 》 n/2^(h+1), i 《 2 * (n/2^(h+1))

所以, i的取值為, ceiling(n/2^(h+1)), ceiling(n/2^(h+1)) + 1, 。。., ceiling(n/2^(h+1)) + ceiling(n/2^(h+1)) - 1

共有 ceiling(n/2^(h+1)) 個。

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