01

時(shí)間序列分析的定義

1.1

概念

首先，時(shí)間序列定義為在一定時(shí)間間隔內(nèi)按時(shí)間順序測(cè)量的某個(gè)數(shù)量。時(shí)間序列分析是指將歷史數(shù)據(jù)分解為四部分來(lái)看——趨勢(shì)、周期、時(shí)期和不穩(wěn)定因素，然后綜合這些因素，提出預(yù)測(cè)。時(shí)間序列分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類(lèi)。平穩(wěn)序列是不存在趨勢(shì)只存在隨機(jī)性的序列，非平穩(wěn)序列則是包含趨勢(shì)、季節(jié)性和隨機(jī)性的序列。

從最廣泛的形式來(lái)說(shuō)，時(shí)間序列分析是關(guān)于推斷過(guò)去一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)發(fā)生了什么，并試圖預(yù)測(cè)未來(lái)會(huì)發(fā)生什么。時(shí)間序列分析試圖了解過(guò)去并預(yù)測(cè)未來(lái)。

1.2

分類(lèi)

通常，時(shí)間序列通常包含以下類(lèi)型：

1、趨勢(shì)-趨勢(shì)是時(shí)間序列中一致的方向性運(yùn)動(dòng)。這些趨勢(shì)將是確定性的或隨機(jī)的。時(shí)間序列在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)呈現(xiàn)出來(lái)的長(zhǎng)期上升或下降的變動(dòng)；

2、季節(jié)性變化-許多時(shí)間序列都包含季節(jié)性變化。在代表業(yè)務(wù)銷(xiāo)售或氣候水平的系列中尤其如此。我們經(jīng)?？吹?a target="_blank">商品的季節(jié)性變化，特別是那些與生長(zhǎng)季節(jié)或年度溫度變化有關(guān)的商品（例如天然氣）。

3、序列依賴(lài)性-時(shí)間序列（尤其是金融序列）最重要的特征之一就是序列相關(guān)性。當(dāng)時(shí)間上相互靠近的時(shí)間序列觀(guān)測(cè)值傾向于相互關(guān)聯(lián)時(shí)，就會(huì)發(fā)生這種情況。

02

時(shí)間序列分析的步驟

時(shí)間序列預(yù)測(cè)的步驟是：

在開(kāi)始平穩(wěn)性檢驗(yàn)步驟之前，我首先想和大家分享的是平穩(wěn)性檢驗(yàn)的目的。平穩(wěn)性檢驗(yàn)為了確定沒(méi)有隨機(jī)趨勢(shì)或確定趨勢(shì),否則將會(huì)產(chǎn)生“偽回歸”問(wèn)題.偽回歸是說(shuō),有時(shí)數(shù)據(jù)的高度相關(guān)僅僅是因?yàn)槎咄瑫r(shí)隨時(shí)間有向上或向下的變動(dòng)趨勢(shì), 并沒(méi)有真正聯(lián)系.這樣數(shù)據(jù)中的趨勢(shì)項(xiàng),季節(jié)項(xiàng)等無(wú)法消除, 從而在殘差分析中無(wú)法準(zhǔn)確進(jìn)行分析。

2.1

平穩(wěn)性檢驗(yàn)

（一）圖示法

平穩(wěn)性指的是期望不變，方差恒定，協(xié)方差不隨時(shí)間改變，協(xié)方差只依賴(lài)于K這個(gè)時(shí)間跨度，不依賴(lài)于時(shí)間點(diǎn)t本身。

給定這些假設(shè)前提的目的是便于后續(xù)技術(shù)上的處理。根據(jù)時(shí)序圖粗略來(lái)判斷序列是否平穩(wěn)，平穩(wěn)時(shí)序圖的特征為圍繞均值不斷波動(dòng)，而非平穩(wěn)時(shí)序圖表現(xiàn)為在不同時(shí)間段具有不同的均值。圖a為平穩(wěn)時(shí)序圖，圖b為非平穩(wěn)時(shí)序圖。

然而僅依靠圖像判斷時(shí)間序列的平穩(wěn)性，肯定是不精確的，因此需要進(jìn)行單位根檢驗(yàn)（DF檢驗(yàn)和ADF檢驗(yàn)）進(jìn)一步判斷。

（二）單位根檢驗(yàn)

1、DF檢驗(yàn)

（原假設(shè) H0：序存在單位根 ，即參數(shù)δ=0）

檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性，一般可通過(guò)檢驗(yàn)帶有截距項(xiàng)的一階自回歸模型：

對(duì)上式可通過(guò)進(jìn)行普通最小二乘法的t檢驗(yàn)完成（t檢驗(yàn)的原假設(shè)：H0：βj=0。即若P值<0.05，則拒絕原假設(shè)，證明δ≠0，序列平穩(wěn)。

2、ADF檢驗(yàn) 因DF檢驗(yàn)假設(shè)ut為白噪聲，序列為一階自回歸的模型，但實(shí)際上隨機(jī)干擾項(xiàng)并非為白噪聲序列，且序列并非為一階自回歸生成，因此用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)的t統(tǒng)計(jì)量會(huì)受到無(wú)關(guān)參數(shù)的影響，導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無(wú)效。

如果時(shí)間序列包含有明顯的隨時(shí)間變化的某種趨勢(shì)，DF檢驗(yàn)必須保證能夠剔除這種趨勢(shì)，否則時(shí)間趨勢(shì)的成分會(huì)進(jìn)入ut，導(dǎo)致ut非白噪聲序列，進(jìn)而偏離了最初的假設(shè)。因此形成了ADF檢驗(yàn)。ADF檢驗(yàn)是由下面3個(gè)模型完成：

其中t為時(shí)間變量，代表序列隨時(shí)間變化的趨勢(shì)。

模型的檢驗(yàn)原理同DF檢驗(yàn)，即t檢驗(yàn)；檢驗(yàn)順序?yàn)椋?）、（2）、（1）；三個(gè)模型全部檢驗(yàn)通過(guò)，才能證明該序列是平穩(wěn)時(shí)間序列。

2.2

時(shí)間序列常見(jiàn)的三種模型

序列通過(guò)平穩(wěn)性檢驗(yàn)后，就可以建立時(shí)間序列模型了，當(dāng)序列不平穩(wěn)時(shí)，對(duì)序列進(jìn)行差分或者取對(duì)數(shù)處理。對(duì)時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，例如在R語(yǔ)言的“diff”函數(shù)可確定（P值<0.05，則拒絕原假設(shè)，序列不存在單位根，經(jīng)1階差分后，序列平穩(wěn)）。

對(duì)一個(gè)時(shí)間序列預(yù)處理后檢驗(yàn)出該序列為平穩(wěn)時(shí)間序列說(shuō)明該模型有提取信息的價(jià)值，就要進(jìn)行下一步的模型建立來(lái)擬合該模型然后做出預(yù)測(cè)。下面介紹擬合時(shí)間序列的三個(gè)重要模型。

（一）AR(p)模型

自回歸模型(Autoregressive model，簡(jiǎn)稱(chēng)AR模型)，用同一變數(shù)例如x的之前各期，亦即x1至xt-1來(lái)預(yù)測(cè)本期xt的表現(xiàn)，并假設(shè)它們?yōu)橐淮尉€(xiàn)性關(guān)系。因?yàn)檫@是從回歸分析中的線(xiàn)性回歸發(fā)展而來(lái)，只是不用x預(yù)測(cè)y，而是用x預(yù)測(cè) x（自己）；所以叫做自回歸。

AR(p)模型簡(jiǎn)記形式如下： 其中p為自回歸階數(shù)。Φ0=0稱(chēng)為中心化AR(p)模型。p階自回歸模型的自相關(guān)系數(shù)拖尾，偏自相關(guān)系數(shù)p階截尾。

（二）MA(q)模型 MA模型(moving average model)移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記形式如下：

其中q為移動(dòng)平均的階數(shù)。q階移動(dòng)平均模型自相關(guān)系數(shù)q階截尾，偏自相關(guān)系數(shù)拖尾。

（三）ARMA(p,q)模型 自回歸滑動(dòng)平均模型(Autoregressive moving average model，簡(jiǎn)稱(chēng)：ARMA模型)。是研究時(shí)間序列的重要方法，由自回歸模型（簡(jiǎn)稱(chēng)AR模型）與移動(dòng)平均模型（簡(jiǎn)稱(chēng)MA模型）為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成。它比AR模型法與MA模型法估計(jì)更精確，但其參數(shù)估算比較繁瑣。ARMA(p,q)模型簡(jiǎn)記形式如下：

當(dāng)q=0時(shí)，ARMA(p,q)模型就退化成了AR(p)模型；

當(dāng)p=0時(shí)，ARMA(p,q)模型就退化成了MA(q)模型；

ARMA(p,q)模型具有自相關(guān)系數(shù)不截尾，偏自相關(guān)系數(shù)也不截尾的性質(zhì)。

2.3

模型的選擇與定階

了解了時(shí)間序列的三種常見(jiàn)模型后，應(yīng)該如何選擇模型并確定模型的階數(shù)呢？通常使用ACF與PACF圖判定法。

說(shuō)到時(shí)間序列分析，一定離不開(kāi)自相關(guān)函數(shù)(auto-correlation function，ACF)和偏自相關(guān)函數(shù)(Partial auto-correlation function，PACF)，ACF可以提供具有滯后值的任何序列的自相關(guān)值。

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，它描述了該序列的當(dāng)前值與其過(guò)去的值之間的相關(guān)程度。時(shí)間序列可以包含趨勢(shì)，季節(jié)性，周期性和殘差等成分。ACF在尋找相關(guān)性時(shí)會(huì)考慮所有這些成分。直觀(guān)上來(lái)說(shuō)，ACF 描述了一個(gè)觀(guān)測(cè)值和另一個(gè)觀(guān)測(cè)值之間的自相關(guān)，包括直接和間接的相關(guān)性信息。

PACF可以提供殘差（在去除了之前的滯后已經(jīng)解釋的影響之后仍然存在）與下一個(gè)滯后值的相關(guān)性。因此，如果殘差中有任何可以由下一個(gè)滯后建模的隱藏信息，我們可能會(huì)獲得良好的相關(guān)性，并且在建模時(shí)我們會(huì)將下一個(gè)滯后作為特征。

討論完兩個(gè)重要函數(shù)后，就成功了一半，接下來(lái)就是選擇模型和確定階數(shù)了，由此引入兩個(gè)詞：截尾和拖尾。

截尾是指時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）或偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）在大于某個(gè)常數(shù)k后快速趨于0為k階截尾；拖尾是ACF或PACF始終有非零取值，不會(huì)在k大于某個(gè)常數(shù)后就恒等于零(或在0附近隨機(jī)波動(dòng))。趨于0在實(shí)際分析過(guò)程中通常被處理為在2倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。

以上面兩張圖為例，ACF拖尾，PACF一階截尾，因此可以選擇AR(1)模型進(jìn)行擬合，說(shuō)到模型擬合，各位統(tǒng)計(jì)學(xué)前輩早已為我們總結(jié)好以下規(guī)律：

2.4

模型的確定與檢驗(yàn)

通過(guò)以上內(nèi)容，大家對(duì)時(shí)間序列的三種模型有了初步了解。那么應(yīng)該如何確定最優(yōu)模型呢？通常有以下幾點(diǎn)：

（1）同一種模型，在盡可能描述數(shù)據(jù)信息的前提下選擇低階模型，階數(shù)越高，模型會(huì)越復(fù)雜

（2）高階AR(p)、MA(q)模型與較低階ARMA(p,q)模型之間選擇較低階ARMA(p,q)模型

（3）合適模型的殘差應(yīng)滿(mǎn)足均值為零的正態(tài)分布，而且任何滯后階數(shù)的殘差相關(guān)系數(shù)都為零。

接下來(lái)分享的是殘差檢驗(yàn)的方法：

方法一：通過(guò)繪制正態(tài)分布的QQ來(lái)檢驗(yàn)：圖像近似為過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，則殘差服從正態(tài)分布且均值為零。該步驟可通過(guò)R語(yǔ)言的“qqnormt”函數(shù)實(shí)現(xiàn)。如下圖：

方法二：通過(guò)R語(yǔ)言的“Box.test”函數(shù)實(shí)現(xiàn)該檢驗(yàn)，若P>0.05，接受原假設(shè)，即任何滯后階數(shù)的殘差都不相關(guān)，殘差檢驗(yàn)通過(guò)。

03

示例分享

回到開(kāi)頭的例子，當(dāng)小毛同學(xué)拿到數(shù)據(jù)后首先應(yīng)該繪制銷(xiāo)售額隨時(shí)間變化的曲線(xiàn)，觀(guān)察數(shù)據(jù)的整體趨勢(shì)，如果有季節(jié)性趨勢(shì)，應(yīng)該利用差分或者移動(dòng)平均的方法消除季節(jié)因素，接下來(lái)在消除增長(zhǎng)趨勢(shì)，然后利用單位根檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，最后利用數(shù)據(jù)的ACF和PACF函數(shù)確定階數(shù)和模型。

其實(shí)在這一步有一種偷懶的辦法就是利用R語(yǔ)言中的auto.arima”函數(shù)可自動(dòng)篩選出p，q，但還是希望大家能夠了解背后的邏輯。模型確定好之后可以利用R語(yǔ)言中的forecast函數(shù)預(yù)測(cè)未來(lái)N期的銷(xiāo)量，至此小毛的預(yù)測(cè)工作終于可以告一段落了。

本次分享到此結(jié)束，歡迎大家批評(píng)指正~

審核編輯：何安