專業(yè)電路設計人員在設計電路時不僅僅使用并聯(lián)和串聯(lián)的元件。構建電路的一種方法是使用具有輸入和輸出端口的電路網絡?？梢酝ㄟ^傳統(tǒng)方式（SPICE、手動等）分析每個網絡內部發(fā)生的情況，但重要的是網絡將輸入電壓/電流對映射到輸出電壓/電流對。在數(shù)學上，這可以用傳遞函數(shù)進行量化。

在進行高可靠性設計時，需要了解的一個重要因素是系統(tǒng)某一部分的方差如何傳播到系統(tǒng)的輸出。但這個因素有時并不直觀。它需要手動進行一些數(shù)學推導，或者需要一些仿真來確定系統(tǒng)中電氣行為的變化和波動。

在本文中，我將展示如何使用蒙特卡羅仿真數(shù)據來檢查元件容差如何影響級聯(lián)電路網絡的電氣行為。數(shù)學涉及幾個常見的概率論要點，但最終結果和所涉及的過程可以很容易在SPICE和Excel中實現(xiàn)。

01 理論：級聯(lián)網絡中的方差

接下來我要介紹一個理論，目的是推導出表達式，該表達式將級聯(lián)網絡的輸出電壓變化定義為每個網絡中各個傳遞函數(shù)的變化。盡管還有溫度或隨機噪聲等情況，我們假定網絡傳遞函數(shù)的變異僅由元件容差造成。

首先，讓我們來看下面所示的級聯(lián)網絡。在這個網絡，我們考慮的方案中每個網絡有2個端口（輸入和輸出）。擴展到3個端口稍顯復雜，但如果其他端口只是固定的功率輸入，我們仍然可以使用此處所示的理論。級聯(lián)中每個網絡都有一個傳遞函數(shù)H。

網絡輸入和輸出之間的關系如方程式(1)所示。在這個方程式中，整個網絡的傳遞函數(shù)是每個網絡傳遞函數(shù)的乘積：

方程式(1)：級聯(lián)網絡傳遞函數(shù)定義。

在方程式(1)中，我們的事實依據是，如上所示的串聯(lián)級聯(lián)網絡的總傳遞函數(shù)是所有單個傳遞函數(shù)的乘積。這個方程適用于構建為二端口網絡的各種電路。現(xiàn)在，我們可以檢查給定元件容差值的傳遞函數(shù)中的統(tǒng)計變化。

02 轉移函數(shù)的變量

每個網絡中的元件容差將在每個網絡中的傳遞函數(shù)中產生一些變化。我們現(xiàn)在要定義傳遞函數(shù)中的方差。

方程式(2)：每個網絡的傳遞函數(shù)定義為常數(shù)部分（平均值）和隨機部分（標準差）。

在方程式（2）中，Hi是一個隨機變量，它與網絡i（?Hi）傳遞函數(shù)的隨機變化有關。為了使該表達式為真，分布?Hi必須允許這種類型的線性轉換。一般來說，高斯分布和均勻分布都是如此，因此這在蒙特卡羅仿真中經常考慮的兩種主要情況下都是有效的。

我們沒有將?Hi與具有特定等式的元件公差聯(lián)系起來。但是，如果您知道電路網絡中所有元件的公差，則可以使用蒙特卡羅仿真來確定?Hi。只需為單個網絡 Hi 進行仿真，然后運行蒙特卡羅仿真以確定傳遞函數(shù) ?Hi 的方差。

03 輸出電壓的變量

現(xiàn)在我們已經定義了單個傳遞函數(shù)的隨機變量，我們可以通過將公式(2)中所示的相同線性變換應用到公式(1)中的傳遞函數(shù)的乘積來定義輸出電壓的變量。我將其寫成公式(3)：

公式(3): 輸出電壓的變量。

這里，輸出電壓也有常數(shù)部分（平均值）和隨機部分（標準差）。換句話說，現(xiàn)在電壓是一個與隨機變量乘積相關的隨機變量。平均輸出電壓是右側的常數(shù)項：

方程式(4)：根據組成級聯(lián)網絡的傳遞函數(shù)平均值表示的平均輸出電壓。

由此可知，傳遞函數(shù)的乘積是整個網絡傳遞函數(shù)的平均值：

方程式(5)：整個級聯(lián)網絡的傳遞函數(shù)平均值以級聯(lián)中各個網絡的平均傳遞函數(shù)值表示。

如果我們展開方程式(3)中的乘積，將得到一個包含多個?Hi 項、Hmean 和輸出電壓方差的乘積的表達式。在這里，我們將采取近似值，因為任意?Hi項的乘積非常小，可以忽略不計?？紤]到常見的元件公差，這是完全可以接受的，即使它們高達 20%。這里我就省略中間步驟，留給讀者自行運算，最終可以得到以下方程式：

方程式(6)：以傳遞函數(shù)均值和隨機變化表示的輸出電壓。

這看起來不像最終答案，但是方程式(6)確實告訴您在傳遞函數(shù)存在一些差異的情況下，您需要了解有關輸出電壓隨機行為的所有信息！在這里，我們根據隨機變量的線性組合（?Hi 項集）定義了一個隨機變量（Vout）。從多元概率論中，我們知道這個和的標準差等于?Hi 項的正交和。換句話說，Vout 的標準偏差為：

方程式(7)：輸出電壓基于傳遞函數(shù)方差的標準差。

在這個方程式中，st.dev運算指標準差，Var運算指方差。使用方程式(7)，我們可以開發(fā)一個仿真過程，將輸出電壓的變化與級聯(lián)網絡中傳遞函數(shù)的變化聯(lián)系起來。

04 過程

現(xiàn)在我們可以開發(fā)一個根據傳遞函數(shù)方差來確定輸出電壓方差的過程。您的主要工具將是蒙特卡羅仿真和簡單的統(tǒng)計分析程序，如Excel：

1. 將級聯(lián)網絡電路設計劃分為單獨的二端口網絡。

2. 針對#1中的每個網絡運行蒙特卡羅仿真。

3. 獲取每個網絡的數(shù)據并計算每次蒙特卡羅運行的傳遞函數(shù)。

4. 計算每個網絡的傳遞函數(shù)結果的平均值。

5. 計算#3中每個傳遞函數(shù)的標準差，得出每個網絡的?Hi。

6. 使用來自#4、#5和方程式(7)的結果，得出輸出電壓的變化。

根據您在此過程中使用的數(shù)據數(shù)量，您可以更進一步，得出結果的置信區(qū)間。 示例計算：

為什么要在單個傳遞函數(shù)上進行如此麻煩的運算？讓我們來舉個例子，了解其中原因。

假設您有三個具有不同元件容差（1%、5%和10%）的電路網絡，并且您已經完成了上述過程以確定每個網絡的傳遞函數(shù)的變化。假設這些元件公差值轉化為下圖中顯示的示例方差。使用方程式(7)，我們可以預測這個假設網絡的輸出電壓變化：

已知元件容差和傳遞函數(shù)變化的輸出電壓計算標準差示例。

根據應用，13.63%的容差可能過大。由此，我們可以判斷是否應該降低某些元件組的容差。

現(xiàn)在假設輸出電壓變化對于我們的應用來說是不可接受的，我們希望得到更小的變化。我們決定將 5% 的容差和 10% 的容差換成 1% 的容差。無需運行任何新的仿真，我們就可以立即知道輸出變化是什么。對于線性電路，將容差降低 10 倍應將傳遞函數(shù)方差降低 10 倍，對于其他降低因子，依此類推。然后我們會得到以下結果：

針對較小的元件容差，修改輸出電壓計算的標準差。

將輸出電壓從13.63%降低到2.23%，這一折減幅度非常大，而它所需要的只是一個簡單的元件交換。無需添加新電路，無需更改設計，只需選擇一些備用元件編號即可。這些類型的方差折減步驟正是您在精確仿真應用中所需要的。

現(xiàn)在假設您想改變運行頻率。在這種情況下，您可以使用從蒙特卡羅仿真中獲得的傳遞函數(shù)數(shù)據，使用相同的計算來確定在這個新頻率下輸出電壓將如何變化。

05 總結與比較

通過了解如何增加不同級聯(lián)網絡中的方差，得出輸出電壓的總方差，您可以執(zhí)行以下任意操作，直接確定輸出電壓將如何變化：

將網絡中的元件換成容差更嚴格的元件

把一個網絡換成一個完全不同的網絡

在級聯(lián)中添加額外的網絡

上面顯示的擾動方法僅適用于串聯(lián)級聯(lián)濾波器或放大器。如果您有并行網絡，它們的傳遞函數(shù)相加，使上面顯示的方差分析更容易。此外，您可以使用這個想法來推導出串聯(lián)和并聯(lián)網絡組合的方差表達式。無論您如何安排電路網絡以獲得方差表達式，都適用上述相同的仿真和分析方法。

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審核編輯：劉清