平面度的測量及管控是我們產(chǎn)品最常見的一個(gè)規(guī)格，平常我們只是用設(shè)備測出產(chǎn)品平面度的數(shù)據(jù)，對其測試原理也是一知半解，當(dāng)客戶對我們測試的數(shù)據(jù)產(chǎn)生質(zhì)疑的時(shí)候，我們?nèi)舨荒芎侠斫忉專瑒t很難有效說服客戶；得不到客戶的信任，則我們的工作也很難進(jìn)行下去。

平時(shí)，我們總簡單認(rèn)為，平面度的測試就是用鏡頭到產(chǎn)品的最高點(diǎn)減去最低點(diǎn)即可，事實(shí)上，這樣的計(jì)算方法是錯(cuò)誤的計(jì)算方法！平面度的本質(zhì)是關(guān)心被測平面上各被測點(diǎn)之間的相互差異，并不關(guān)心各被測點(diǎn)和其他特征之間的差異。如果用高度差算，這個(gè)高度差會把上表面與下底面的平行誤差也引進(jìn)來了，而這個(gè)平行誤差原本和上表面的平面度誤差無關(guān)。多余引入的平行誤差會使我們的數(shù)據(jù)大于產(chǎn)品的實(shí)際表現(xiàn)，及測出的結(jié)果偏高。

今天我們詳細(xì)介紹下3次元設(shè)備是如何利用點(diǎn)位去擬合基準(zhǔn)平面從而得出產(chǎn)品的平面度數(shù)值的，其主要用到的數(shù)學(xué)原理就是最小二乘法，期間會有一些線性代數(shù)的矩陣加減乘除，矩陣的轉(zhuǎn)置等。不過我們可以直接用Excel表格來計(jì)算，將會簡單許多。

最小二乘法的擬合基準(zhǔn)平面主要分為如下幾個(gè)步驟，我們將通過一個(gè)案例來逐步講解：

1. 擬合出最小二乘平面；

2. 找到最小二乘平面兩側(cè)的最遠(yuǎn)采集點(diǎn)到該最小二乘平面的距離H1,H2（如下圖）；

3. 通過計(jì)算出來的最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離H1和H2相加，即平面度的實(shí)測值；因?yàn)槲覀冇?jì)算出的點(diǎn)到平面的距離有方向性，所以直接采用最大的距離減去最小的距離就是平面度的結(jié)果了。

01

擬合最小二乘平面

我們首先在產(chǎn)品下表面上采了9個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)如下圖：

平面方程的公式為：z=ax+by+c 平面方中，a,b,c是平面方程的參數(shù)，只要知道a,b,c，我們就知道最小二乘法擬合出來的基準(zhǔn)平面了。同樣的方法，把D1，D2...D9的x,y,z坐標(biāo)值分別代入平面方程，可以得到下面的超定方程組:

接下來的思路是如何把它轉(zhuǎn)化成矩陣方程,如下：

則平面方程z=ax+by+c就可以寫成矩陣方程Ax=b 顯然A是已知的系數(shù)矩陣（代入坐標(biāo)值就已知），x包含3個(gè)未知數(shù)a,b,c， b也是一個(gè)數(shù)據(jù)已知的矩陣（所有的已知z）。我們就可以套公式啦。

我們將原始的數(shù)據(jù)整理成A和b, 然后利用Excel的函數(shù)：

x=MMULT(MMULT(MINVERSE(MMULT(TRANSPOSE(A),A)),TRANSPOSE(A)),b)可以直接求出a,b,c。

Excel的具體數(shù)據(jù)如下：



根據(jù)上表的計(jì)算，可以得到基準(zhǔn)A的方程是：

z=0.02x+0.04y+(-828.213)

為了方便后邊直接套用公式，需要將上面這個(gè)基準(zhǔn)平面的方程直接轉(zhuǎn)化標(biāo)準(zhǔn)平面方程：Ax+By+Cz+D=0, 轉(zhuǎn)化后為：

0.02x+0.04y+(-z)+(-828.213)=0

顯然，標(biāo)準(zhǔn)平面方程，我們可以得出: A=0.02, B=0.04,C=-1, D=-828.213, 這四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)平面方程的參數(shù)在算距離的時(shí)候，馬上要用到的。

02

找到點(diǎn)到最小二乘平面的距離

然后再求被測要素上每一個(gè)點(diǎn)到該基準(zhǔn)面的距離，就可以算出輪廓度。這里需要利用點(diǎn)到面的距離公式（A,B,C,D四個(gè)參數(shù)剛好可以在這里用上）：



將被測要素每點(diǎn)的坐標(biāo)代入上面點(diǎn)到面的公式，用點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)代該公式中的x0,y0,z0。計(jì)算出每點(diǎn)到基準(zhǔn)面的距離，最后可以計(jì)算出輪廓度（按照ISO標(biāo)準(zhǔn)）。最后的計(jì)算結(jié)果參考下面的表格結(jié)果：

03

計(jì)算平面度

最后只要計(jì)算出被側(cè)面上每個(gè)點(diǎn)到基準(zhǔn)面的距離，用最遠(yuǎn)距離減去最近距離就是平行度了。結(jié)果如下圖：

我們3次元實(shí)測結(jié)果如下圖：

理論計(jì)算值與實(shí)測值結(jié)果一致，可見我們的理論計(jì)算是正確的。

04

結(jié)束語

本文主要講述了在已知被測平面上幾個(gè)點(diǎn)P的具體坐標(biāo)的前提下，如何用Excel計(jì)算該面的平面度誤差的操作原理和方法。

本文分為三個(gè)部分進(jìn)行講解，

1.計(jì)算平面度的基本原理，首先將已知點(diǎn)擬合成一個(gè)平面，再計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到該平面的距離，距離的總寬度即表示平面度。

2.如何利用Excel的函數(shù)Linest()擬合出最小二乘平面以及具體的參數(shù)設(shè)置。

3.用Excel具體的計(jì)算過程和實(shí)現(xiàn)辦法。

審核編輯：劉清