MTF描述了不同空間頻率時(shí)，從物空間到像空間的調(diào)制傳遞函數(shù)的模數(shù)。MTF是評(píng)估透鏡組性能的常用方式，并且在設(shè)計(jì)過程中，MTF經(jīng)常會(huì)作為優(yōu)化目標(biāo)或公差分析目標(biāo)。

調(diào)制傳遞函數(shù)（Modulation Transfer Function，MTF）是用來形容光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的重要指標(biāo)。通過對(duì)光學(xué)系統(tǒng)像空間進(jìn)行傅里葉變換，可以得到一張分析圖表，來描述像面上對(duì)比度和空間頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

空間頻率是通過聚焦的像空間上每毫米周期數(shù)（Cycles）來定義的，或者在無焦像空間中用每毫弧度或其他角度單位中的周期數(shù)來定義?！爸芷跀?shù)（Cycles）”是描述正弦強(qiáng)度分布MTF響應(yīng)的最精確的用詞。很多情況下也會(huì)使用“線對(duì)數(shù)（Line pairs）”這一詞，但嚴(yán)格來講這一詞只用來形容黑白相間線對(duì)目標(biāo)，而非灰度值正弦變化的目標(biāo)。這兩種情況在OpticStudio都可以計(jì)算。

在本文中，我們探討了OpticStudio中可用的各種采樣方法和MTF算法，以及如何在評(píng)價(jià)函數(shù)中分別使用這些算法。每個(gè)算法都有其相對(duì)應(yīng)的優(yōu)化操作數(shù)，其中對(duì)比度優(yōu)化是針對(duì)MTF優(yōu)化的首選。

MTF 示例

如下所示的幾何位圖圖像分析（Geometric Bitmap Image Analysis）中，我們可以看到顯示三個(gè)男孩部分的圖像有較好的成像質(zhì)量，然而我們?nèi)绾味x它有多好呢？我們可以采用不同線對(duì)數(shù)的條紋圖的對(duì)比度來量化評(píng)估成像的結(jié)果。

下圖所示為透鏡組的MTF圖表，它提供了在透鏡可以支持的最大空間頻率下任意空間頻率處的對(duì)比度。在這個(gè)例子中，我們將顯示的最大空間頻率設(shè)為100 cycles/mm。圖中黑線表示衍射極限下的成像結(jié)果，即相同F(xiàn)數(shù)，但無像差的透鏡組所能達(dá)到最好的對(duì)比度。

注：在幾何位圖圖像分析中顯示的模擬圖片的分辨率受限于圖像的壓縮以及顯示器的分辨率。Opticstudio提供的原始圖片的分辨率達(dá)到攝影相片的標(biāo)準(zhǔn)。

夫瑯禾費(fèi)(FFT)MTF

MTF分析功能可以用圖表的形式提供透鏡系統(tǒng)支持的所有空間頻率下MTF的結(jié)果，這一功能使用的MTF算法是以夫瑯禾費(fèi)衍射理論為基礎(chǔ)的。其計(jì)算方法為追跡光瞳上網(wǎng)格排布的一組光線，使用快速傅里葉變化（Fast Fourier Transform）進(jìn)行計(jì)算（因此該方法也稱為FFT MTF）。其MTF計(jì)算結(jié)果實(shí)質(zhì)為關(guān)于物方正弦強(qiáng)度空間頻率的函數(shù)的模數(shù)（Modulation）。FFT MTF也可以計(jì)算實(shí)部、虛部、相位或方波強(qiáng)度分布（即黑白相間條紋）的結(jié)果。

基于FFT的計(jì)算點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和MTF的方法是眾所周知的，該方法基于夫瑯禾費(fèi)衍射理論。其主要假設(shè)有：

F數(shù)足夠大使得標(biāo)量衍射理論成立

衍射PSF能量顯著區(qū)域遠(yuǎn)小于光學(xué)系統(tǒng)出瞳到像面的距離

出瞳相對(duì)入瞳沒有明顯畸變。這表示入瞳上均勻分布的光線在出瞳上也應(yīng)是合理的均勻分布

高采樣率以滿足準(zhǔn)確模擬PSF的要求

大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)都滿足基于夫瑯禾費(fèi)衍射理論的FFT MTF算法所必須的簡(jiǎn)化假設(shè)。

當(dāng)我們進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，通常情況下只對(duì)系統(tǒng)特定空間頻率有要求，這時(shí)沒有必要對(duì)所有空間頻率的MTF進(jìn)行計(jì)算。因此可以使用操作數(shù)MTF*可以計(jì)算特定空間頻率下的MTF結(jié)果。分析圖表所使用的采樣方法為網(wǎng)格采樣，在使用操作數(shù)時(shí)您可以選擇繼續(xù)使用這種采樣方法，或使用更快速的稀疏采樣方法。稀疏采樣是操作數(shù)默認(rèn)的采樣方法，并且?guī)缀跛械膬?yōu)化案例中我們都建議您使用這種采樣方法。請(qǐng)查閱幫助手冊(cè)獲取更全面的信息The Optimize Tab (sequential UI mode)>Automatic Optimization Group>Merit Function Editor (automatic optimization group>Optimization Operands (Alphabetically)。

稀疏采樣計(jì)算的收斂速度非常非?？?，某種意義上類似于高斯求積分法。稀疏采樣計(jì)算任意精度的MTF所使用的光線數(shù)量遠(yuǎn)小于網(wǎng)格采樣。并且更重要的是，在夫瑯禾費(fèi)理論適用的所有情況下，稀疏采樣的精度非常高。

以O(shè)pticStudio示例文件中一個(gè)雙高斯系統(tǒng)在50lp/mm處計(jì)算多波長(zhǎng)MTF為例，下述表格展示了兩種方法隨著采樣率逐漸提高后的收斂速度及計(jì)算結(jié)果：

下表為相同數(shù)據(jù)下，邊緣視場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果：

通常來講對(duì)于優(yōu)化和公差分析這樣的應(yīng)用需求，收斂到1%已經(jīng)足夠了。即便使用儀器測(cè)量MTF也無法達(dá)到0.1%以下的重復(fù)精度。在優(yōu)化過程中，我們不需要使用很高精度進(jìn)行計(jì)算，通常只需要三位有效數(shù)字。兩種采樣方法都可以在足夠的采樣率下收斂到任意精度，然而快速稀疏采樣在保證精度的前提下，計(jì)算速度會(huì)快很多個(gè)量級(jí)。

網(wǎng)格采樣目前只會(huì)在一種情況下收斂更快：當(dāng)像差非常大且MFT計(jì)算結(jié)果非常低（低于5%）。此時(shí)的MTF結(jié)果通常不會(huì)用來評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能，并且一般不會(huì)作為優(yōu)化或公差分析的目標(biāo)。這種情況下OpticStudio將自動(dòng)切換至網(wǎng)格采樣進(jìn)行計(jì)算。需要注意的是，此種情況下最好使用幾何MTF進(jìn)行計(jì)算。

幾何MTF

假設(shè)我們要分析一個(gè)35mm F/1.8的單反相機(jī)鏡頭。系統(tǒng)在最大光圈時(shí)像差最嚴(yán)重。當(dāng)減小系統(tǒng)光闌，像差隨之減小，像面上的成像質(zhì)量提高。但像面成像質(zhì)量不會(huì)一直提高：光闌的衍射作用會(huì)逐漸增大，在光圈減小到一定程度時(shí)會(huì)阻止成像質(zhì)量繼續(xù)提高。

在系統(tǒng)存在許多個(gè)波長(zhǎng)的波前差時(shí)，我們推薦您使用幾何MTF計(jì)算以及優(yōu)化操作數(shù)GMT*。幾何MTF的計(jì)算方法是對(duì)幾何點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行傅里葉變換，并使用高斯求積進(jìn)行采樣。

使用幾何MTF最主要的優(yōu)點(diǎn)在于，相比衍射MTF，幾何MTF計(jì)算速度非常快。在系統(tǒng)存在較大像差時(shí)，使用幾何MTF計(jì)算更加準(zhǔn)確，而衍射MTF則需要龐大的采樣率來使結(jié)果收斂。在這樣的應(yīng)用條件下，幾何MTF比衍射MTF的計(jì)算速度快100倍以上。

幾何MTF計(jì)算可以考慮光學(xué)表面的散射作用，表面的散射會(huì)增加像面的噪底，進(jìn)而降低MTF。此外，操作數(shù)GMTF在全局搜索優(yōu)化中非常有用，用戶可以有效地搜索所有參數(shù)空間來確定更好的局部極值，即更好的光學(xué)結(jié)構(gòu)。

惠更斯MTF

惠更斯MTF并不是基于快速傅里葉變換進(jìn)行計(jì)算的。其前提假設(shè)只包括系統(tǒng)F數(shù)足夠大以使標(biāo)量衍射理論成立，以及采樣率足夠高來正確計(jì)算PSF。從知識(shí)庫文章"What is a Point Spread Function"中您可以了解更多惠更斯計(jì)算理論的相關(guān)內(nèi)容。

事實(shí)上所有成像系統(tǒng)都滿足計(jì)算惠更斯PSF所需要的前提假設(shè)?；莞筂TF的計(jì)算速度要比FFT(Fraunhofer) MTF慢。但在FFT MTF前提假設(shè)不成立的情況下，惠更斯MTF計(jì)算會(huì)得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。

以下這種情況只能使用惠更斯MTF進(jìn)行計(jì)算：系統(tǒng)中主光線無法完成追跡，則無法建立以主光線為中心參考的球面。在計(jì)算許多波前參數(shù)是都需要參考球面。在這樣的情況下，可以改用惠更斯PSF和MTF進(jìn)行計(jì)算。存在這種情況的應(yīng)用實(shí)例之一是多鏡面望遠(yuǎn)鏡，其主光線并沒有傳播到像面上。

由于主光線無法追跡到像面，光程差（OPD）無法進(jìn)行計(jì)算，因此基于光程差得到的所有參數(shù)都無法計(jì)算：

由于惠更斯計(jì)算不以任意一根光線作為參考，惠更斯MTF和PSF計(jì)算可以得到完美的結(jié)果。

此示例文件已保存在OpticStudio的示例文件夾中，其目錄地址為：{Zemax}SamplesNon-sequentialMiscellaneousMultiple mirror telescope.ZOS.

惠更斯計(jì)算還有一點(diǎn)好處在于可以考慮多重結(jié)構(gòu)（Multi-configuration）。這對(duì)于設(shè)計(jì)多鏡面望遠(yuǎn)鏡非常有幫助，特別是基準(zhǔn)線很長(zhǎng)的光學(xué)儀器系統(tǒng)，這種系統(tǒng)中主鏡被拆分并相隔很長(zhǎng)的距離。在這種情況下系統(tǒng)一般不會(huì)使用一個(gè)共用的入瞳，因?yàn)檫@樣的話會(huì)使過少的光線到達(dá)主鏡面導(dǎo)致效率很低。在這樣的情況下只有使用惠更斯計(jì)算。

如果想要基于惠更斯MTF進(jìn)行優(yōu)化或公差分析，您可以使用操作數(shù)MTH*。

方法比較

基于夫瑯禾費(fèi)衍射理論的快速傅里葉變換法是最常見的一種方法。OpticStudio計(jì)算透鏡系統(tǒng)支持的所有空間分辨率下的MTF（雖然只顯示那些目標(biāo)空間頻率的MTF）并將其繪制為MTF vs空間頻率的曲線圖。當(dāng)進(jìn)行優(yōu)化或公差分析時(shí)，只有那些目標(biāo)空間頻率會(huì)被計(jì)算，對(duì)于給定精度的前提下其計(jì)算速度會(huì)比較快。如果需要的話，可以選擇網(wǎng)格采樣進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)于那些像差較大的光學(xué)系統(tǒng)，幾何MTF會(huì)以非?？斓乃俣扔?jì)算出近似MTF。當(dāng)設(shè)計(jì)處于探索階段時(shí)，使用幾何MTF是個(gè)非常好的選擇，其速度和計(jì)算均方根點(diǎn)列圖半徑的速度相當(dāng)。

對(duì)于不符合夫瑯禾費(fèi)理論的前提假設(shè)或主光線不能被追跡的系統(tǒng)，我們可以改用惠更斯計(jì)算，惠更斯計(jì)算MTF的結(jié)果非常準(zhǔn)確，但唯一的缺點(diǎn)是計(jì)算速度相比較慢。

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審核編輯：湯梓紅