1985年，為了拯救當(dāng)時出現(xiàn)故障的蘇聯(lián)空間站禮炮七號，派出了兩名宇航員進(jìn)行搶修。在完成任務(wù)之后，其中一名宇航員賈尼別科夫打開了從地球帶來的物資。這些物資是用一個翼型螺母鎖緊的，當(dāng)這個螺母被松開并繼續(xù)在空間站漂浮旋轉(zhuǎn)的時候，賈尼別科夫發(fā)現(xiàn)它會周期性地掉轉(zhuǎn)180度。后來，這個現(xiàn)象被稱為賈尼別科夫效應(yīng)。

事實(shí)上，我們在地球上也能重現(xiàn)該效應(yīng)。以網(wǎng)球拍為例，我們?nèi)藶榈亟o它設(shè)定三個相互垂直的主軸：一是沿著把柄的主軸，二是垂直于把柄并在網(wǎng)的平面內(nèi)的主軸，三是垂直于把柄和網(wǎng)的主軸。當(dāng)我們讓網(wǎng)球拍繞著一或三主軸旋轉(zhuǎn)并把它拋入空中時，拍子的旋轉(zhuǎn)是穩(wěn)定的，它只會繞著初始軸旋轉(zhuǎn)。當(dāng)我們讓網(wǎng)球拍繞二主軸旋轉(zhuǎn)并拋入空中時，它的運(yùn)動是不穩(wěn)定的，最后會演變成繞著三個軸旋轉(zhuǎn)。所以，賈尼別科夫效應(yīng)又叫作網(wǎng)球拍效應(yīng)或中間軸效應(yīng)。

在1991年的時候，一篇公開發(fā)表的文章才解釋了這種效應(yīng)。我也看過一些解釋這種效應(yīng)的科普文章和視頻，他們要么用純文字進(jìn)行解釋，要么直接給出歐拉動力學(xué)方程的結(jié)果進(jìn)行解釋。今天，我們從推導(dǎo)歐拉動力學(xué)方程開始，逐步給出這種效應(yīng)的解釋。

歐拉動力學(xué)方程推導(dǎo)

首先，我們要知道力矩和角動量的關(guān)系。如果你已經(jīng)忘了，那么我們可以回想一下力和動量的關(guān)系：力等于動量對時間的導(dǎo)數(shù)。同樣，力矩等于角動量對時間的導(dǎo)數(shù)。

等式的左邊是力矩M，我們可以直接寫出它的分量形式。

等式的右邊是角動量對時間求導(dǎo)，雖然它計算比較復(fù)雜，但我們?nèi)匀豢梢詫懗龇至啃问健?/p>

接下來這里有一個問題，后三項(xiàng)是基本矢量隨時間的變化，它們?nèi)Q于我們所取的坐標(biāo)系。在這里，我們所取的是剛體坐標(biāo)系。在剛體坐標(biāo)系下，基本矢量是隨著剛體的旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，所以基本矢量隨時間的變化就是角速度ω叉乘這個基本矢量。如果還不明白，可以想想高中時是怎么推導(dǎo)圓周運(yùn)動的加速度。

根據(jù)矢量叉乘的法則，最后一項(xiàng)我們可以寫成以下形式。

現(xiàn)在，整個式子變得非常復(fù)雜，但是如果我們代入角動量、角速度和轉(zhuǎn)動慣量的關(guān)系，式子就會變得非常簡單。在慣量主軸下，轉(zhuǎn)動慣量不會隨著旋轉(zhuǎn)變化，我們有以下關(guān)系：

把它代入上面的式子，最終我們會得出這樣的結(jié)果：

最后，我們讓每個分量的力矩和每個分量的角動量對時間求導(dǎo)相等，就得到著名的歐拉動力學(xué)方程。

網(wǎng)球拍效應(yīng)解釋

解釋網(wǎng)球拍效應(yīng)一個很重要的點(diǎn)是理論與現(xiàn)實(shí)的差距。理論上，我們可以讓網(wǎng)球拍繞任何一個軸穩(wěn)定轉(zhuǎn)動，而繞另外兩個軸轉(zhuǎn)動的角速度永遠(yuǎn)是零。但現(xiàn)實(shí)中，我們無法做到這一點(diǎn)，總是會有一些擾動破壞這種理想狀態(tài)。現(xiàn)在，我們要研究的是，給了微小擾動之后，這個擾動會不會被放大。

我們假設(shè)轉(zhuǎn)動慣量1>轉(zhuǎn)動慣量2>轉(zhuǎn)動慣量3，并且網(wǎng)球拍拋到空中后沒有任何力矩。首先研究繞主軸1旋轉(zhuǎn)的情況，此時ω1恒定，它對時間的導(dǎo)數(shù)也基本為零，而ω2和ω3受到擾動而出現(xiàn)微小的角速度?，F(xiàn)在，對歐拉動力學(xué)方程的第二個方程求導(dǎo)，并把第三個方程代入其中，我們可以得到：

根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的大小，我們可以知道k<0，是我們很熟悉的波動方程，微小的擾動成正弦變化不會被放大，因此繞主軸1旋轉(zhuǎn)是穩(wěn)定的。同樣的道理，我們也可以得出繞主軸3的轉(zhuǎn)動是穩(wěn)定的，這里就不再計算。

但是，當(dāng)繞主軸2旋轉(zhuǎn)時，同樣的道理我們可以得到：

此時，我們知道k>0，因此擾動會被放大，角速度會增加。也就是說繞主軸2的轉(zhuǎn)動是不穩(wěn)定的，一個小擾動就會使網(wǎng)球拍發(fā)生翻轉(zhuǎn)。

審核編輯：郭婷