今日碎碎念

在躺平了2天之后，實在心虛。所以昨天晚上，拿起陳愛軍老師的深入通信原理翻了一翻?？吹交鶐?a href="http://www.brongaenegriffin.com/tags/濾波器/" target="_blank">濾波器處，覺得這次看，沒有那么云里霧里了，清晰了很多。

今日正文

在數(shù)字通信中，要傳輸?shù)穆曇?、圖像等信息，會被轉換成二進制數(shù)據(jù)流，然后又會被映射分流為I路和Q路，并分別進行脈沖成形。

(1)為啥不直接用矩形脈沖

首先，想到的，就是不做太多處理，純粹用矩形脈沖來表示數(shù)字信號。如下圖所示。

但是，矩形脈沖在時域是帶限，對應到頻域，是sinc函數(shù)，拖尾幅度比較大，且衰減緩慢，所占帶寬比較大。

而傳輸信道又不可能提供無限的帶寬，所以矩形脈沖在信道傳輸過程中，高頻段的信號會被濾除掉，產(chǎn)生失真。

對應到時域，就是后面碼元的電平，會受到前面碼元拖尾的影響，從而使得電平有所改變，即會產(chǎn)生碼間干擾(ISI, Intersymbol interference)。

失真嚴重的話，就可能導致判決出錯，無法正確恢復出數(shù)字信號。

因此，如果直接用矩形脈沖的話，由于矩形脈沖的帶寬很寬，但是信道不能提供這樣寬的帶寬，所以信號會產(chǎn)生失真，產(chǎn)生ISI；而不想產(chǎn)生碼間干擾，則需要提供足夠的帶寬。

也就是說，使用矩形脈沖函數(shù)作為成形函數(shù)的話，無碼間干擾和窄頻譜帶寬，沒有辦法兼得。

(2) sinc脈沖出場

那怎么辦呢？有沒有其他脈沖函數(shù)可以兼得呢？答案是有的，那就是使用sinc脈沖。

由傅里葉變換的對稱性可知，如果函數(shù)x(t)的傅里葉變換是y(f)，則y(t)的傅里葉變換是x(-f)；如果函數(shù)x(t)是個偶函數(shù)，那么x(t)的傅里葉變換是y(f)，y(t)的傅里葉變換是x(f)。

所以，時域上的矩形函數(shù)對應頻域上的sinc函數(shù)；時域上的sinc函數(shù)對應頻域上的矩形函數(shù)。

對應sinc函數(shù)而言，首先在頻域上是帶限的，為矩形函數(shù)，所以可以無失真地在相應帶寬的信道中傳輸；同時，在時域上，多個sinc信號疊加的時候，當一個碼元達到最大值的時候，其他碼元的幅值剛好為0，所以只要采樣點合適，就可以恢復出數(shù)字信號。

(3)實際中使用的是啥？

對于sinc脈沖而言，只要采樣點正確，正好位于各個碼元最大值所對應的時間點，就可以恢復出原來的數(shù)據(jù)，但是sinc脈沖拖尾幅度比較大，衰減慢，如果采樣點稍有偏差，ISI(碼間串擾)就會比較大。

而實際的系統(tǒng)，總是會存在一定的定時誤差，所以一般不會直接使用sinc脈沖，而是會采用升余弦濾波器，因為它拖尾幅度小，而且衰減快。

升余弦濾波器的頻率響應為：

alpha稱為升余弦濾波器的滾降系數(shù)，當alpha=0時，升余弦濾波器就變成理想矩形濾波器。

由下圖可知，基帶RC濾波器的帶寬為(1+alpha)/(2Ts)；如果處于載波處的話，那么RC濾波器的帶寬為(1+alpha)/Ts，即我們經(jīng)常說的信道帶寬。

升余弦濾波器對應的時域表達式為：

從表達式中可以看出，其保留著sinc函數(shù)在t=n*Ts處為0的特性，同時由于額外因子的加入，拖尾的衰減速度加快。

在實際通信系統(tǒng)中，經(jīng)常會把一個升余弦濾波器（RC,raised cosine filter）拆成2個根升余弦濾波器(RRC,root raised cosine filter)，發(fā)射機處放一個，接收機處放一個。