本文翻譯轉(zhuǎn)載于：Cadence Blog

作者：Gaurav

要點(diǎn)

●提出一種“代碼友好”的模型變體，以提高數(shù)值穩(wěn)定性。

●實(shí)踐表明，如果使用隱式的、逐個(gè)方程分離的方法，該變體具有一定優(yōu)勢(shì)。這個(gè)變體緩解了由壁面邊界條件引起的與 Durban 原始模型?相關(guān)的“剛度問(wèn)題”。

●當(dāng)雷諾數(shù)較高、近壁網(wǎng)格間距極小時(shí)，這種作用更加明顯。

挖掘 V2-f 湍流模型在復(fù)雜流動(dòng)中的潛力

在高速空氣動(dòng)力學(xué)中，利用二階矩閉合來(lái)研究沖擊/邊界層相互作用的研究很少。究其原因，是雷諾應(yīng)力方程缺乏明確的二階擴(kuò)散項(xiàng)，導(dǎo)致數(shù)值穩(wěn)定性差。（例如，Batten 等，1997；Ha Minh 和 Vandromme，1986；Lien 和 Leschziner，1993）。當(dāng)所有雷諾應(yīng)力分量都存儲(chǔ)在精確位置時(shí)，這個(gè)問(wèn)題會(huì)變得更加嚴(yán)重，導(dǎo)致速度與應(yīng)力解耦和令人頭疼的棋盤(pán)振蕩。

在曲面上設(shè)置邊界條件較為復(fù)雜，這是在數(shù)值上實(shí)現(xiàn)二階矩閉合的一個(gè)重大挑戰(zhàn)。大多數(shù)低雷諾數(shù) （Re）二階矩閉合模型都非常復(fù)雜，但只在較為簡(jiǎn)單的流體場(chǎng)景下進(jìn)行了驗(yàn)證，例如 Craft 和 Launder（1996）開(kāi)發(fā)的模型。因此，當(dāng) y+ 值約為 60 時(shí)，需要將高雷諾數(shù)模型（Gibson 和 Launder，1978）與標(biāo)準(zhǔn)低雷諾數(shù)渦流粘度模型結(jié)合起來(lái)，以確保湍流仿真中的平滑過(guò)渡。

然而，Patel（1985）等人研究的大多數(shù)低雷諾數(shù)?模型都在渦流-粘度表達(dá)式中加入了一個(gè)特殊的粘性阻尼函數(shù)?，即?。

阻尼函數(shù)修正了渦流-粘度公式在接近固體壁面時(shí)不適當(dāng)?shù)臐u近行為。它通常是非線性的，并能引起數(shù)值剛度。Durbin（1991）建議，在上述方程中，應(yīng)使用與流線法向的?湍流應(yīng)力，而不是使用 k 來(lái)表示壁面的運(yùn)動(dòng)阻塞。

因此，?模型無(wú)需再使用粘性阻尼函數(shù)。?數(shù)量是從輸運(yùn)方程推導(dǎo)而來(lái)，這是二階矩閉合理論的簡(jiǎn)化版。?方程中的壓力-應(yīng)變項(xiàng)發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，可在壁面附近重新分配湍流能量，確保正確的湍流水平和恢復(fù)各向同性。這是通過(guò)輔助橢圓松弛方程實(shí)現(xiàn)的，該方程提供了更準(zhǔn)確的近壁湍流行為表現(xiàn)。

理解 V2-f 湍流模型的核心原則

Durbin 1995 年的突破：針對(duì)精密流體分析，揭開(kāi)原始 V2-f 模型的秘密。

Boussinesq 近似徹底改變了應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，提高了準(zhǔn)確度。

渦粘度由以下公式得出：

湍流時(shí)間由以下公式得出：

湍流長(zhǎng)度尺度由以下公式得出：

湍流時(shí)間和長(zhǎng)度尺度由標(biāo)準(zhǔn)的 k-? 方程確定：

應(yīng)變率大小定義為：

湍動(dòng)能的產(chǎn)生定義為：

用 y 表示與墻體垂直的坐標(biāo)，在無(wú)滑移邊界上，，得出的結(jié)果是

上述方程突出了湍流能量如何從流向分量中重新分配，通過(guò)函數(shù) f 的橢圓松弛方程捕獲非局部效應(yīng)。這種方法可確保精確、真實(shí)地描述流體中的空間相互作用，為復(fù)雜的湍流動(dòng)力學(xué)提供了更深入的見(jiàn)解。

壁面附近的壓力-應(yīng)變和耗散項(xiàng)?的漸近行為可描述為：

由此得出原始模型中的邊界條件為：

原始模型的系數(shù)如下：

其中 d 是到壁面的距離。

橢圓松弛方法：湍流中的代碼友好創(chuàng)新（Lien 和 Durban，1996；Lien 等，1998）。

?的邊界條件包含了一個(gè)??項(xiàng)的四次方，而??出現(xiàn)在分母上。這在層流和過(guò)渡區(qū)帶來(lái)了一個(gè)挑戰(zhàn)，?在此處的定義是不適定的，會(huì)引起數(shù)值振蕩。當(dāng)采用分離數(shù)值過(guò)程時(shí)，這些振蕩變得更為明顯，因?yàn)樗芊乐?img src="https://file1.elecfans.com/web3/M00/18/2D/wKgZPGgQqOaAOTEaAAABks5g7Ck213.png" alt="a97d3c2a-218c-11f0-9310-92fbcf53809c.png" />?和??在壁面附近的隱式耦合。這啟發(fā)人們重新表述了?輸運(yùn)方程中的項(xiàng)：

這里重新定義了，帶來(lái)橢圓松弛方程的修改，進(jìn)而更好地捕捉流體動(dòng)力學(xué)。

壁面的?邊界條件導(dǎo)致??，這大大提高了數(shù)值穩(wěn)定性。

注意，這些修改保留了與原始模型相同的漸近近壁行為：

隨著?，由橢圓松弛引起的運(yùn)動(dòng)阻塞效應(yīng)消失。

得出的代碼友好型模型的常量表示為：