起因是這樣的。時(shí)間回到07年底，4G方興之時(shí)，同桌隔壁的隔壁"小白"同學(xué)說看不太明白OFDMA的原理，讓我講解一下。我一向?qū)ψ约旱募夹g(shù)水平、邏輯思考能力和表達(dá)技巧還是蠻有自信的，因此輕笑一聲就答應(yīng)了。半小時(shí)后，在嘗試了從時(shí)域、頻域以及物理意義等各方面講解，但均無法從“小白”的眼神中抹除那份迷茫之后，我豎起了白旗，讓“小白”自生自滅去了。

對(duì)知識(shí)能力的掌握，我自己粗曠的分為兩層：一層是“會(huì)了，能應(yīng)用”；二層是“懂了，能衍生”。而能講解出來，并讓人懂，大抵就是區(qū)分一層和二層的分水嶺。打一個(gè)屌絲男喜聞樂見的比方：第一層就是人界的修煉，即使是“會(huì)了”，也是有筑基、金丹、元嬰等境界之分的，而高考研考就是天劫，不到大乘之境，終究要化為劫灰；第二層是天界，也自有天仙、金仙之分，而能修至道祖的大牛，終究只是寥寥。我一向覺得自己在專業(yè)上還算是個(gè)“小仙”，可惜就被“小白”打臉了。

這事兒對(duì)我的負(fù)面影響挺大的，一是懷疑自己技術(shù)宅做久了，表達(dá)能力方面嚴(yán)重退化【比如我偶爾會(huì)在搜索一個(gè)精準(zhǔn)的動(dòng)詞或者形容詞時(shí)，需要嘗試2-3次，甚至更多】；二是在涉及到OFDM方面的內(nèi)容時(shí)，仿佛就會(huì)看到一張白紙上逡巡著一只揮之不去的黑蒼蠅。

時(shí)隔多年，近期又回顧了一下OFDM，不經(jīng)意又記起這樁公案，猶豫再三，還是決定花時(shí)間寫下這篇文章，把這只盤旋于腦中的“黑蒼蠅”拍死。因此雖然現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)資源極大豐富，各種文章都可以搜到，其實(shí)我是沒必要專門寫這篇未必比別人寫得好的文章的。不過畢竟是自己遺留的缺失，需要自己來補(bǔ)上。下面試圖以圖示為主講解OFDM，以"易懂"為第一要義。"小白"，你準(zhǔn)備好了嗎？

注：下面的討論如果不做說明，均假設(shè)為理想信道。

章節(jié)一：時(shí)域上的OFDM

OFDM的"O"代表著"正交"，那么就先說說正交吧。

首先說說最簡單的情況，sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區(qū)間[0,2π]上的積分為0】，而正弦函數(shù)又是波的最直觀描述，因此我們就以此作為介入點(diǎn)。既然本文說的是圖示，那么我們就用圖形的方式來先理解一下正交性?！灸闳绻軓南蛄靠臻g的角度，高屋建瓴的看待這個(gè)問題的話，你也就不是"小白"了，R U?】

在下面的圖示中，在[0,2π]的時(shí)長內(nèi)，采用最易懂的幅度調(diào)制方式傳送信號(hào)：sin(t)傳送信號(hào)a，因此發(fā)送a·sin(t)，sin(2t)傳送信號(hào)b，因此發(fā)送b·sin(2t)。其中，sin(t)和sin(2t)的用處是用來承載信號(hào)，是收發(fā)端預(yù)先規(guī)定好的信息，在本文中一律稱為子載波；調(diào)制在子載波上的幅度信號(hào)a和b，才是需要發(fā)送的信息。因此在信道中傳送的信號(hào)為a·sin(t)+b·sin(2t)。在接收端，分別對(duì)接收到的信號(hào)作關(guān)于sin(t)和sin(2t)的積分檢測，就可以得到a和b了。（以下圖形采用google繪制）

圖一：發(fā)送a信號(hào)的sin(t)

圖二：發(fā)送b信號(hào)的sin(2t)【注意：在區(qū)間[0,2π]內(nèi)發(fā)送了兩個(gè)完整波形】

圖三：發(fā)送在無線空間的疊加信號(hào)a·sin(t)+b·sin(2t)

圖四：接收信號(hào)乘sin(t)，積分解碼出a信號(hào)?！救缜拔乃?，傳送b信號(hào)的sin(2t)項(xiàng)，在積分后為0】

圖六：流程圖

到了這里，也許你會(huì)出現(xiàn)兩種狀態(tài)：

一種是：啊，原來是這樣，我懂了。

一種是：啊，怎么會(huì)這樣，我完全無法想象。這里要說的是，你根本用不著去想象（visualize）。數(shù)學(xué)中是如此定義正交的，數(shù)學(xué)證明了它們的正交性，那么他們就是正交的，【他們就可以互不干擾的承載各自的信息】。選取sin(t)和sin(2t)作為例子，正是因?yàn)樗鼈兪墙橛谥庇^和抽象的過渡地帶，趟過去吧。

上面的圖示雖然簡單，但是卻是所有復(fù)雜的基礎(chǔ)。

1.1下一步，將sin(t)和sin(2t)擴(kuò)展到更多的子載波序列{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)} (例如k=16，256，1024等)，應(yīng)該是很好理解的事情。其中，2π是常量；Δf是事先選好的載頻間隔，也是常量。1t,2t,3t,...,kt保證了正弦波序列的正交性。

1.2再下一步，將cos(t)也引入。容易證明，cos(t)與sin(t)是正交的，也與整個(gè)sin(kt)的正交族相正交。同樣，cos(kt)也與整個(gè)sin(kt)的正交族相正交。因此發(fā)射序列擴(kuò)展到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),...,cos(2π·Δf·kt)}也就順理成章了。

1.3經(jīng)過前兩步的擴(kuò)充，選好了2組正交序列sin(kt)和cos(kt)，這只是傳輸?shù)?介質(zhì)"。真正要傳輸?shù)男畔⑦€需要調(diào)制在這些載波上，即sin(t),sin(2t),...,sin(kt)分別幅度調(diào)制a1,a2,...,ak信號(hào),cos(t),cos(2t),...,cos(kt)分別幅度調(diào)制b1,b2,...,bk信號(hào)。這2n組互相正交的信號(hào)同時(shí)發(fā)送出去，在空間上會(huì)疊加出怎樣的波形呢？做簡單的加法如下：

f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) + a2·sin(2π·Δf·2t) + a3·sin(2π·Δf·3t) + ... ak·sin(2π·Δf·kt) + b1·cos(2π·Δf·t) + b2·cos(2π·Δf·2t) + b3·cos(2π·Δf·3t) + ... bk·cos(2π·Δf·kt) + =∑ak·sin(2π·Δf·kt) + ∑bk·cos(2π·Δf·kt)【公式1-1：實(shí)數(shù)的表達(dá)】

為了方便進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，上式有復(fù)數(shù)表達(dá)形式如下：f(t) =∑Fk·e(j·2π·Δf·kt)【公式1-2：復(fù)數(shù)的表達(dá)，這編輯器找不到上角標(biāo)...不過，你應(yīng)該看得懂的】

上面的公式可以這樣看：每個(gè)子載波序列都在發(fā)送自己的信號(hào)，互相交疊在空中，最終在接收端看到的信號(hào)就是f(t)。接收端收到雜糅信號(hào)f(t)后，再在每個(gè)子載波上分別作相乘后積分的操作，就可以取出每個(gè)子載波分別承載的信號(hào)了。

然后，多看看公式1-1和公式1-2！?。“l(fā)現(xiàn)咯？這就是傅里葉級(jí)數(shù)嘛。如果將t離散化，那么就是離散傅立葉變換。所以才有OFDM以FFT來實(shí)現(xiàn)的故事。將在下面的章節(jié)進(jìn)行更多的描述。

遵循古老的傳統(tǒng)，F(xiàn)表示頻域，f表示時(shí)域，所以可以從公式1-2中看出，每個(gè)子載波上面調(diào)制的幅度，就是頻域信息。類似的說法是：OFDM傳輸?shù)氖穷l域信號(hào)。這種說法有些別扭，但是很多教程或文章會(huì)使用這樣的說明方式，就看讀者如何理解了。如果純粹從公式或者子載波來看，這種說法其實(shí)也是很直接的闡述了。

上面1.1-1.3的擴(kuò)展，可如下圖所示：

1.4還有這一步嗎？其實(shí)是有的。"小白"你可以先想想，想不到的話先往下看，因?yàn)檫@需要在頻域中考量，所以我寫在后面了?！疽部蓞⒖糩1]】

將上述的時(shí)域分析配上LTE的實(shí)現(xiàn)，有如下情況：【注1：本段描述需要有LTE物理層的基本知識(shí)，如果看不明白，請(qǐng)暫時(shí)跳過，看完整篇文章后再回看】【注2：LTE并非時(shí)域的實(shí)現(xiàn)，下面僅僅是套用LTE的參數(shù)，做一個(gè)參考分析】

子載波的間隔Δf=15kHz，一個(gè)OFDM symbol的發(fā)送時(shí)間是66.7us，可以發(fā)現(xiàn)，15kHz*66.67us=1，即基帶上一個(gè)OFDM symbol的發(fā)送時(shí)間正好發(fā)送一個(gè)一次諧波的完整波形。對(duì)于10M的LTE系統(tǒng)，采用的是1024個(gè)子載波，但是只有中間600個(gè)（不含最中間的直流）子載波被用于傳送數(shù)據(jù)。在一個(gè)OFDM symbol的時(shí)間內(nèi)（即66.67us)，靠近中間的兩個(gè)一次諧波傳輸一個(gè)完整波形，再靠外一點(diǎn)的兩個(gè)二次諧波傳輸兩個(gè)完整波形，以此類推至最外面的兩個(gè)300次諧波傳輸了300個(gè)完整的波形。在這66.67us內(nèi)，600個(gè)子載波互相正交，其上分別承載了600個(gè)復(fù)數(shù)信號(hào)。

上面的說法有點(diǎn)啰嗦，不如圖示來得直觀。本來準(zhǔn)備再畫一圖的，不過一來上面已經(jīng)有了類似的圖，實(shí)是大同小異；二來，600個(gè)子載波，也太多了點(diǎn)。。。

OK，說到這里，從時(shí)域上面來看OFDM，其實(shí)是相當(dāng)簡潔明快討人喜歡的。不過，一個(gè)系統(tǒng)若要從時(shí)域上來實(shí)現(xiàn)OFDM，難度太大，時(shí)延和頻偏都會(huì)嚴(yán)重破壞子載波的正交性，從而影響系統(tǒng)性能。這點(diǎn)在各種教材文章中都會(huì)有提及，我就不贅述了。

下面將轉(zhuǎn)入頻域來描述OFDM，由于頻域不甚直觀，的確會(huì)稍稍讓人費(fèi)解。不過只要時(shí)刻想著時(shí)域子載波間的疊加，一切都會(huì)好起來。

章節(jié)二：頻域上的OFDM

第一章節(jié)時(shí)域上的討論開始于OFDM中的"O"；本章節(jié)頻域上我們從"FDM"開始。先圖例一個(gè)常規(guī)FDM的系統(tǒng)圖：

上面三個(gè)圖的確有點(diǎn)小兒科，不知道"小白"是不是已經(jīng)在心里吶喊：這誰不知道呀！不過我在這里花時(shí)間畫了三張圖，總還是有所考量的：a. 作為上一個(gè)章節(jié)和本章節(jié)之間的補(bǔ)充和連接，說明一下OFDM在頻域上面的表現(xiàn)，亦即OFDM的本源來歷。b. 引導(dǎo)思考：信號(hào)的帶寬是多少？c. 引導(dǎo)思考：OFDM正交頻譜疊加部分到底有多寬呢？結(jié)合1.4，先想想，再往下看，會(huì)更好。

再次回到正軌，請(qǐng)回看第一節(jié)中的圖一至圖六等時(shí)域波形圖，圖示了在時(shí)域上，波形的調(diào)制，疊加接收，以及最終的解碼。讓我們看看圖一至圖三中的每個(gè)步驟在頻域上是如何表現(xiàn)的。

首先來看sin(t)。"小白"呀"小白"，你且說說sin(t)的頻譜是啥呀？"小白"弱弱的說：是一個(gè)沖激。是的，sin(t)是個(gè)單一的正弦波，代表著單一的頻率，所以其頻譜自然是一個(gè)沖激。不過其實(shí)圖一中所示的sin(t)并不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之內(nèi)的一小段。無限長度的信號(hào)被限制在一小截時(shí)間之內(nèi)，【就好比從一個(gè)完整的人身上逮下一根頭發(fā)，然后把整個(gè)人都丟掉，以發(fā)代人】其頻譜也不再是一個(gè)沖激了。

對(duì)限制在[0,2π]內(nèi)的sin(t)信號(hào)，相當(dāng)于無限長的sin(t)信號(hào)乘以一個(gè)[0,2π]上的門信號(hào)（矩形脈沖），其頻譜為兩者頻譜的卷積。sin(t)的頻譜為沖激，門信號(hào)的頻譜為sinc信號(hào)（即sin(x)/x信號(hào)）。沖激信號(hào)卷積sinc信號(hào)，相當(dāng)于對(duì)sinc信號(hào)的搬移。所以分析到這里，可以得出圖一的時(shí)域波形其對(duì)應(yīng)的頻譜如下：

sin(2t)在相同的時(shí)間內(nèi)發(fā)送了兩個(gè)完整波形。相同的門函數(shù)保證了兩個(gè)函數(shù)的頻譜形狀相同，只是頻譜被搬移的位置變了：

是的，想必你已經(jīng)想起來了，這是因?yàn)榛鶐盘?hào)在傳輸前，一般會(huì)通過脈沖成型濾波器的結(jié)果。比如使用"升余弦滾降濾波器"后，圖23所示的信號(hào)就會(huì)被修理成圖13所示的信號(hào)了。這樣可以有效的限制帶寬外部的信號(hào)，在保證本路信號(hào)沒有碼間串?dāng)_的情況下，既能最大限度的利用帶寬，又能減少子載波間的各路信號(hào)的相互干擾。這也是1.4中沒有提及的，更多的可參考[1]

貼士：脈沖成型濾波器作用于頻域，可以"看作"時(shí)域中的每個(gè)碼元都是以類似sinc信號(hào)發(fā)出的。沒必要糾結(jié)于發(fā)送端碼元的時(shí)域波形，只需要知道在接收端通過合適的采樣就可以無失真的恢復(fù)信號(hào)就OK咯。

這里用到的是奈奎斯特第一準(zhǔn)則，在下面的框框內(nèi)會(huì)稍作描述：

奈奎斯特第一準(zhǔn)則請(qǐng)自行g(shù)oogle，這里說說其推論：碼元速率為1/T(即每個(gè)碼元的傳輸時(shí)長為T)，進(jìn)行無碼間串?dāng)_傳輸時(shí)，所需的最小帶寬稱為奈奎斯特帶寬。對(duì)于理想低通信道，奈奎斯特帶寬W = 1/(2T)對(duì)于理想帶通信道，奈奎斯特帶寬W = 1/T在下面的圖31中，可以看出信號(hào)的實(shí)際帶寬B是要大于奈奎斯特帶寬W（低通的1/(2T)或者帶通的1/T）的，這就是理想和現(xiàn)實(shí)的距離。補(bǔ)充說明：本文提到的"帶寬"，也即約定俗成的帶寬理解方式，指的是信號(hào)頻譜中>=0的部分。在從低通到帶通的搬移過程中，因?yàn)閷⒃盘?hào)負(fù)頻率部分也移出來了（也可理解為同乘e(j2πfct) + e(-j2πfct)的結(jié)果，見參考[2]）【注：沒有上角標(biāo)和下角標(biāo)的編輯器，真不爽。不過，你應(yīng)該看得懂的】，所以帶寬翻倍了。如下圖所示：

圖31：內(nèi)涵豐富的圖，請(qǐng)參看上面和下面的說明文字

上面專門用框框列出奈奎斯特第一準(zhǔn)則，還有一個(gè)重要目的就是說明下頻帶利用率的問題。頻帶利用率是碼元速率1/T和帶寬B(或者W)的比值。

理想情況下，低通信道頻帶利用率為2Baud/Hz；帶通信道頻帶利用率在傳輸實(shí)數(shù)信號(hào)時(shí)為1Baud/Hz，傳送復(fù)數(shù)信號(hào)時(shí)為2Baud/Hz（負(fù)頻率和正頻率都獨(dú)立攜帶信號(hào)）。由于討論低通信道時(shí)往往考慮的是實(shí)數(shù)信號(hào)，而討論帶通信道時(shí)通?？紤]的是復(fù)數(shù)信號(hào)，因此可以簡單認(rèn)為：理想情況下，信道的頻帶利用率為2Baud/Hz。

實(shí)際情況下，因?yàn)閷?shí)際帶寬B要大于奈奎斯特帶寬W，所以實(shí)際FDM系統(tǒng)的頻帶利用率會(huì)低于理想情況。

【說到這里，終于可以圖窮匕見了】而OFDM的子載波間隔最低能達(dá)到奈奎斯特帶寬，也就是說（在不考慮最旁邊的兩個(gè)子載波情況下），OFDM達(dá)到了理想信道的頻帶利用率。

將上述的頻域分析配上LTE的實(shí)現(xiàn)，有如下情況：【注：本段描述需要有LTE物理層的基本知識(shí)】

子載波的間隔Δf=15kHz，一個(gè)OFDM symbol的發(fā)送時(shí)間是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子幀共傳輸14個(gè)OFDM symbol【不是15個(gè)，留空給CP了】，每一個(gè)OFDM symbol攜帶600個(gè)復(fù)數(shù)信息，因此：1. 從整個(gè)系統(tǒng)來看，波特率為600*14*2/1ms = 16.8MBaud，占據(jù)帶寬10MHz，因此帶寬利用率為16.8MBaud/10MHz = 1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情況。【注：一是CP占用了每個(gè)OFDM Symbol約1/15的資源，二是10MHz的頻帶并不是滿打滿算的用于傳輸數(shù)據(jù)，其邊界頻帶需要留空以減少與鄰近信道的干擾】2. 單從OFDM一個(gè)symbol來看，波特率為600*2/66.7us = 18MBaud，占據(jù)帶寬600*15kHz=9MHz【不考慮邊界子載波帶外問題】，因此其帶寬利用率為18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的討論。附：5M帶寬的WCDMA的chip rate = 3.84M/s，即碼率為3.84M*2 = 7.68MBaud，帶寬5M，所以帶寬利用率為7.68MBaud/5MHz = 1.536Baud/Hz，略遜于LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脈沖成型采用滾降系數(shù)為0.22的升余弦濾波器，奈奎斯特帶寬為3.84M】

章節(jié)三：用IFFT實(shí)現(xiàn)OFDM

其實(shí)前兩章，我已經(jīng)將自己的理解盡數(shù)表達(dá)了：第一節(jié)是從時(shí)域上來說子載波正交的原理；第二節(jié)是從頻域上來解釋子載波正交后，達(dá)到理想頻帶利用率的特性。想來，雖然前兩章寫得較長【沒預(yù)料到會(huì)寫這么長的...太長了沒人看...】，但是應(yīng)該還是很簡單、清晰、易懂的。不過"小白"的卡殼，似乎并不在于最基本的正交原理和頻帶利用率上，反而是IFFT變換中，充斥的各種時(shí)域頻域角色變換讓其眼花繚亂。

個(gè)人覺得要理解IFFT實(shí)現(xiàn)OFDM，最好的辦法還是看公式。比如第一章節(jié)中的公式1-1和公式1-2，配上時(shí)域波形圖的疊加，不要太好理解喲。當(dāng)然，這里的IFFT需要將時(shí)域離散化，因此公式IFFT ≈ IDFT -->

fn = 1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N)【公式3-1，n為時(shí)域離散后的序號(hào)，N為總的IFFT個(gè)數(shù)，n∈[1,N]】

關(guān)于公式3-1的理解方法，可以是這樣的。其中一種理解方式是聯(lián)系第一章節(jié)的公式1-2：可以發(fā)現(xiàn)公式3-1等號(hào)右側(cè)所表達(dá)的物理意義和公式1-2是相同的，均代表了不同子載波e(j·2π·k·n/N)發(fā)送各自的信號(hào)Fk，然后在時(shí)域上的疊加形成fn，只不過現(xiàn)在疊加出來的時(shí)域不是連續(xù)波形，而是離散的時(shí)序抽樣點(diǎn)。

另一種更容易，更可愛的理解方式是：在一個(gè)OFDM symbol的時(shí)長T內(nèi)，用N個(gè)子載波各自發(fā)送一個(gè)信號(hào)F(k)（k∈[1,N]），等效于直接在時(shí)域上連續(xù)發(fā)送fn（n∈[1,N]）N個(gè)信號(hào)，每個(gè)信號(hào)發(fā)送T/N的時(shí)長。

在IFFT實(shí)現(xiàn)OFDM中，發(fā)送端添加了IFFT模塊、接收端添加了FFT模塊。IFFT模塊的功能相當(dāng)于說：別麻煩發(fā)送N個(gè)子載波信號(hào)了，我直接算出你們?cè)诳罩袝?huì)疊加成啥樣子吧；FFT模塊的功能相當(dāng)于說：別用老式的積分方法來去除其余的正交子載波了，我?guī)湍阋淮伟袾個(gè)攜帶信號(hào)全算出來吧。就是這樣，IFFT實(shí)現(xiàn)OFDM的系統(tǒng)用"數(shù)學(xué)的方法"，在發(fā)送端計(jì)算信號(hào)的疊加波形，在接收端去除正交子載波，從而大大簡化了系統(tǒng)的復(fù)雜度。

補(bǔ)充章節(jié)：從頻譜上來看正交性

本文最開始發(fā)表時(shí)是沒有這一段的，因?yàn)樵囊讶皇肿郧。褜FDM的原理說的非常清楚到位了。然而，這一段的內(nèi)容卻是別的文章中講解OFDM時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的橋段，因此覺得還是有必要補(bǔ)充陳述一下自己的觀點(diǎn)。

【注：本小節(jié)為補(bǔ)充章節(jié)，與本文邏輯沒有必然聯(lián)系，可直接略過?！?/p>

從正文章節(jié)中，可以發(fā)現(xiàn)作者的思路：從時(shí)域角度講解子載波的正交性；從頻域角度講解OFDM的頻帶利用率。作者覺得這是最容易理解OFDM原理的方式。但是教材中、網(wǎng)絡(luò)上，還有一種非常主流的講解方式：從頻域上“直觀的”看待子載波的正交性。比如下面這個(gè)圖：

圖51：從OFDM頻譜看待正交性（本圖來自網(wǎng)絡(luò)，比我畫的圖好些，還有文字說明）

這種觀點(diǎn)的說法是：在每個(gè)子載波的抽樣點(diǎn)上，其它的子載波信號(hào)抽樣值均為0（即上圖中的subcarrier Nulls對(duì)應(yīng)某個(gè)子載波的Subcarrier Peak）。這種說法在圖示上有非常醒目的直觀效果，所以是各教材講義中的?？?，但是至少從作者的角度來看，這種說法在涉及到后面的解調(diào)信號(hào)時(shí)，將變得非常難以理解和說明。所以本文最開始的版本中是沒打算寫本小節(jié)的。

如果你看到這里，覺得這種說法正中下懷，那么恭喜你。

如果你看到這里，覺得這種說法已經(jīng)讓你的腦袋成了漿糊，那么可以回顧第一章節(jié)：時(shí)域上的正交性，然后繼續(xù)閱讀下面部分以解毒。

時(shí)域上的正交性和頻域上的正交性之間的關(guān)系該如何聯(lián)系起來呢？回顧前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區(qū)間[0,2π]上的積分為0】，推廣到更一般的情況是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)}在區(qū)間[0, 1/Δf]上正交（注：教材上一般寫為u(t)在[-T/2,T/2]區(qū)間上怎么怎么著，本文就用不著那么學(xué)術(shù)了）。可以看出，這里有一個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)Δf：它既是頻域上子載波的間距，又確定了時(shí)域上的信號(hào)傳輸時(shí)間?；仡檿r(shí)域頻域轉(zhuǎn)換圖：

圖52：同前面的圖21，時(shí)域波形和頻域的轉(zhuǎn)換

聯(lián)系上圖的時(shí)頻轉(zhuǎn)換，可以發(fā)現(xiàn)Δf既確定了子載波本身(即上圖中第一排的兩個(gè)圖)，又確定了待發(fā)信號(hào)的傳輸時(shí)間(即上圖中第二排的兩個(gè)圖中信號(hào)的寬度)，從而決定了信號(hào)頻譜的主瓣寬度以及旁瓣為0的位置。這也意味著，OFDM系統(tǒng)中一旦選定了子載波間隔，時(shí)域上的正交性以及頻域上的正交性也就順理成章的聯(lián)系起來了。如下圖：

圖53：同前面的圖23，兩路信號(hào)的間隔Δf，保證了時(shí)域上的正交性、確定了頻域上的旁瓣0點(diǎn)位置

其實(shí)對(duì)本作者而言，從頻譜上來看待OFDM的正交性有點(diǎn)顛倒因果的嫌疑。按我的理解：OFDM選用的正交子載波是因，頻譜中出現(xiàn)“其余子載波攜帶信號(hào)的旁瓣0點(diǎn)處于當(dāng)前子載波攜帶信號(hào)主瓣峰值處”的現(xiàn)象是果。以果推因，謬矣。

繼續(xù)說明：關(guān)于物理層的信號(hào)

回復(fù)留言時(shí)一直出錯(cuò)，幸好保存了，就直接寫在這里了。要弄清楚信號(hào)的含義，可以將整個(gè)物理層信號(hào)傳輸?shù)倪^程給分解開來，可以看到，不同的步驟對(duì)信號(hào)的處理是不同的。信源編碼著重于對(duì)信號(hào)的容量進(jìn)行壓縮，提高傳輸效率（比特流）；信道編碼針對(duì)多變的信道插入冗余信息，增加傳輸?shù)姆€(wěn)定性（比特流）；信號(hào)調(diào)制則是將比特流轉(zhuǎn)成了特定的波形進(jìn)行傳輸，根據(jù)調(diào)制方式的不同，即可能是一個(gè)比特對(duì)應(yīng)一個(gè)波形，也有可能是數(shù)個(gè)比特對(duì)應(yīng)一個(gè)波形（高階調(diào)制）。所以有個(gè)問題說不知道0對(duì)應(yīng)什么波形，1對(duì)應(yīng)什么波形，是因?yàn)闆]弄清調(diào)制過程。在采用比如QAM64調(diào)制后，出來的symbol就是復(fù)數(shù)了，這也是復(fù)數(shù)信號(hào)的來歷。一般的文章會(huì)將一個(gè)symbol看作一個(gè)輸入來看待和討論下面的步驟，而我這篇文章因?yàn)槭菑膕in和cos入手來討論正交性的，因此我這篇文章中將一個(gè)symbol看成了兩個(gè)實(shí)數(shù)，故而在討論信道利用率時(shí)和主流“結(jié)論”有點(diǎn)出入，但其實(shí)是各自的假設(shè)不同而已。在實(shí)際的系統(tǒng)中，QAM symbol 進(jìn)行了針對(duì)天線陣列的precoding和資源分配的mapping后，就會(huì)進(jìn)入OFDM調(diào)制了（就是上面圖八的一站式IFFT計(jì)算）