傳統(tǒng)的軟件可靠性模型大多假設(shè)排除錯誤的時間忽略不計(jì)，基于假設(shè)過于苛刻，影響了模型應(yīng)用的范圍和精度。因此在JM模型的基礎(chǔ)上，提出了排錯時間為負(fù)指數(shù)分布的軟件可靠性模型及本模型的極大似然參數(shù)估計(jì)方法。通過用馬爾可夫過程描述系統(tǒng)的狀態(tài)，分析了模型的數(shù)值求解方法，并討論了使用在本模型中的失效預(yù)測、剩余錯誤預(yù)測和等待排出的錯誤數(shù)預(yù)測公式。同時利用實(shí)際的工程數(shù)據(jù)對本模型的應(yīng)用過程進(jìn)行了驗(yàn)證。
關(guān) 鍵 詞 軟件可靠性模型; 軟件可靠性; 排錯時間; JM模型

在現(xiàn)有的軟件可靠性模型中，絕大多數(shù)都假設(shè)排除錯誤的時間忽略不計(jì)，這些模型的可靠性預(yù)測都依賴于這條假設(shè)。顯然，忽略排錯時間的假設(shè)過于苛刻，尤其在軟件工程的實(shí)踐中，排錯過程已經(jīng)成為影響軟件可靠性的重要環(huán)節(jié)。在得不到排錯過程數(shù)據(jù)的情況下，忽略排錯時間使得可靠性模型變得簡單，同時也降低了模型精度和結(jié)果的可信度。隨著軟件開發(fā)過程管理水平的提高， 在有條件獲得排錯過程的有關(guān)數(shù)據(jù)條件下，則應(yīng)將考慮排錯過程對可靠性的影響，本文提出了考慮排錯時間的可靠性模型。
1 JM模型
JM模型(Jelinski and Moranda Model，JM)由文獻(xiàn)[1]提出，是最早的軟件可靠性模型之一，該模型對軟件可靠性定量分析技術(shù)的建立和發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)[2, 3]。
模型基本假設(shè)如下：1) 軟件測試的方式與使用方式相同；2) 軟件每個錯誤導(dǎo)致系統(tǒng)失效的可能性相同；3) 軟件中的錯誤相互獨(dú)立，各次失效的間隔時間也相互獨(dú)立；4) 當(dāng)失效發(fā)生后，導(dǎo)致失效的軟件錯誤立刻被排除，排錯時間忽略不計(jì)，且不引入新的錯誤；5) 在測試開始時，軟件中有N0個錯誤。N0是一個未知常數(shù)；6）軟件的失效率Z在每個失效間隔內(nèi)是常數(shù)，其數(shù)值與軟件中殘留的錯誤數(shù)成正比，比例系數(shù)為Φ。假

設(shè)1)保證了使用測試數(shù)據(jù)對可靠性進(jìn)行了模型評估的正確性。假設(shè)2)使得不同的失效率具有相同的分布特性。假設(shè)3)排除了錯誤之間的相互影響。假設(shè)4)則將測試階段中的查錯、排錯兩種活動簡化為只有查錯一種活動，忽略了排錯過程和排錯結(jié)果對可靠性的影響。假設(shè)1)～4)廣泛應(yīng)用在多種軟件可靠性模型之中[2,3]。根據(jù)JM模型的假設(shè)5)、6)可以得知，在第i個測試區(qū)間內(nèi)，失效率函數(shù)為：
Z(Δt | ti?1)＝Φ(N0?i+1)
假設(shè)失效發(fā)生時刻的隨機(jī)變量為ξ, 用F(t)表示ξ的分布函數(shù)．根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的定義可以得到： 000{|}{}()()(|)limlimlim{}(1())1()tttPttttPtttFttFtFtZttttPthFtξξξξΔ→Δ→Δ→′+Δ>>+Δ>+Δ?Δ====ΔΔ>?≥≥ (1)
求解這個一階常系數(shù)微分方程，在初始條件F(0)=0的情況下，可得分布函數(shù)：
01() = 1exp{(|)} = 1exp{(+1)}iFtZtttNitΦ??Δ??? (2)
可見，系統(tǒng)在經(jīng)歷了i?1次失效后，第i次失效發(fā)生的時間服從參數(shù)Φ(N0?i+1)的負(fù)指數(shù)分布。其密度函數(shù) f(t) = F′ (t) =Φ(N0?i+1)exp{?Φ(N0?i+1)t}，可靠性函數(shù)R(t) = exp{?Φ(N0?i+1)t}，第i次失效與第i?1次失效的間隔時間 =01(1iMTBFNiΦ=?+，則第k次失效發(fā)生的時間 。失效次數(shù)的均值公式為： 1kkitMTB==Σ
(3) 0()=[1exp()]mtNtΦ??
剩余錯誤數(shù)的均值為：
0()=exp()etNt?Φ (4)
2 負(fù)指數(shù)分布排錯時間的軟件可靠性模型
2.1 基本假設(shè)
本模型的假設(shè)包括JM模型的假設(shè)1)～3)和假設(shè)5)，對假設(shè)4)和假設(shè)6)進(jìn)行如下修改。
2.1.1 對假設(shè)4)的修改：負(fù)指數(shù)時間的排錯過程
假設(shè)4.1)，每次的軟件失效是由一個錯誤引起的；假設(shè)4.2)，當(dāng)失效發(fā)生后，排錯活動立刻進(jìn)行；假設(shè)4.3)，每次排除一個錯誤，排錯順序按照失效的順序進(jìn)行，如果新的排錯任務(wù)到達(dá)時上一個錯誤仍未被排除，則新的排錯任務(wù)進(jìn)入排隊(duì)；假設(shè)4.4)，排錯是完美的，引起失效的錯誤一定能夠排除，且不引入新的錯誤；假設(shè)4.5)，錯誤的排除時間服從負(fù)指數(shù)分布。在上述排錯過程假設(shè)的5個方面中，假設(shè)4.1)可以從原JM模型的假設(shè)2)和假設(shè)3)推導(dǎo)得到；假設(shè)4.2)和假設(shè)4.3)反映了大多數(shù)軟件排錯活動的特點(diǎn)；假設(shè)4.4)對實(shí)際的排錯活動進(jìn)行了簡化，本模型暫不考慮不完美排錯的情況。
負(fù)指數(shù)分布能夠較好地描述許多人工活動的服務(wù)時間[4]；文獻(xiàn)[5]對178個排錯時間樣本進(jìn)行了分析，認(rèn)為排錯時間服從負(fù)指數(shù)分布；在文獻(xiàn)[4]中，通過Shuttle項(xiàng)目中包含85個數(shù)據(jù)項(xiàng)的排錯時間樣本分析，認(rèn)為其排錯時間也服從參數(shù)為平均排錯時間的負(fù)指數(shù)分布。由于負(fù)指數(shù)分布的排錯時間具有較為廣泛的代表性，因此，本模型假設(shè)排錯時間服從參數(shù)為μ0的負(fù)指數(shù)分布，其分布函數(shù)為：0()1exp()Fttμ=??。
2.1.2 對假設(shè)6的修改：失效過程假設(shè)
假設(shè)6.1)，軟件的瞬時失效率Z在每個失效間隔內(nèi)是常數(shù)，其數(shù)值與軟件中殘留的錯誤數(shù)成正比，比例系數(shù)為Φ，假設(shè)6.2)一旦錯誤被排除，立刻以新的軟件版本為對象進(jìn)行測試。本模型假設(shè)6.1)具有與原JM模型相同的實(shí)質(zhì)，但瞬時失效率具有不同的表達(dá)式。假設(shè)當(dāng)前已經(jīng)發(fā)生了i次失效，且已修復(fù)了j個錯誤(j≤i)，則稱系統(tǒng)當(dāng)前處于狀態(tài)(i，j)。根據(jù)假設(shè)6)，處于狀態(tài)(i, j)的系統(tǒng)的瞬時失效率為( | )=Ztti0(NjΦ?。從上式可以看出，在初始錯誤一定的情況下，瞬時失效率只與已經(jīng)排除的錯誤數(shù)有關(guān)，而與失效次數(shù)無關(guān)。這是本模型與JM模型失效過程的最大區(qū)別。假設(shè)6.2)符合一般的測試過程，該假設(shè)將影響到從失效時刻得到失效間隔時間的處理。
2.2 模型的馬爾可夫過程
如果用二元組(i，j)表示系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，其中i為失效次數(shù)，j為已經(jīng)修復(fù)的錯誤數(shù)，N0為初始錯誤數(shù)，則系統(tǒng)狀態(tài)的變化構(gòu)成一個連續(xù)時間的馬爾可夫過程，如圖1所示，其中瞬時狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為：