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卷積的定義
卷積是兩個變量在某范圍內(nèi)相乘后求和的結(jié)果。
如果卷積的變量是序列x（n）和h（n），則卷積的結(jié)果
，其中星號*表示卷積。
當時序n=0時，序列h（-i）是h（i）的時序i取反的結(jié)果；時序取反使得h（i）以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180度，所以這種相乘后求和的計算法稱為卷積和，簡稱卷積。
另外，n是使h（-i）位移的量，不同的n對應不同的卷積結(jié)果。如果卷積的變量是函數(shù)x（t）和h（t），則卷積的計算變?yōu)?img alt="什么是卷積_卷積的意義" src="/uploads/allimg/171128/2755813-1G12QK643404.png" style="width: 251px; height: 34px;" />，
其中p是積分變量，積分也是求和，t是使函數(shù)h（-p）位移的量，星號*表示卷積。
卷積的定理
卷積定理指出，函數(shù)卷積的傅里葉變換是函數(shù)傅里葉變換的乘積。即，一個域中的卷積相當于另一個域中的乘積，例如時域中的卷積就對應于頻域中的乘積。
F（g（x）*f（x））=F（g（x））F（f（x））
其中F表示的是傅里葉變換。
這一定理對拉普拉斯變換、雙邊拉普拉斯變換、Z變換、Mellin變換和Hartley變換（參見Mellininversiontheorem）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。在調(diào)和分析中還可以推廣到在局部緊致的阿貝爾群上定義的傅里葉變換。
利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。對于長度為n的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做2n-1組對位乘法，其計算復雜度為；而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上后，只需要一組對位乘法，利用傅里葉變換的快速算法之后，總的計算復雜度為。這一結(jié)果可以在快速乘法計算中得到應用。
卷積的意義
用一個模板和一幅圖像進行卷積，對于圖像上的一個點，讓模板的原點和該點重合，然后模板上的點和圖像上對應的點相乘，然后各點的積相加，就得到了該點的卷積值。對圖像上的每個點都這樣處理。由于大多數(shù)模板都是對稱的，所以模板不旋轉(zhuǎn)。卷積是一種積分運算，用來求兩個曲線重疊區(qū)域面積?？梢钥醋骷訖?quán)求和，可以用來消除噪聲、特征增強。
把一個點的像素值用它周圍的點的像素值的加權(quán)平均代替。
加權(quán)疊加：對于線性時不變系統(tǒng)，如果知道該系統(tǒng)的單位響應，那么將單位響應和輸入信號求卷積，就相當于把輸入信號的各個時間點的單位響應加權(quán)疊加，就直接得到了輸出信號。
通俗的說：
在輸入信號的每個位置，疊加一個單位響應，就得到了輸出信號。
這正是單位響應是如此重要的原因。
在輸入信號的每個位置，疊加一個單位響應，就得到了輸出信號。
這正是單位響應是如此重要的原因。
在輸入信號的每個位置，疊加一個單位響應，就得到了輸出信號。
這正是單位響應是如此重要的原因。
卷積的應用
卷積是一種線性運算，圖像處理中常見的mask運算都是卷積，廣泛應用于圖像濾波。
卷積關(guān)系最重要的一種情況，就是在信號與線性系統(tǒng)或數(shù)字信號處理中的卷積定理。利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速算法，實現(xiàn)有效的計算，節(jié)省運算代價。
在工程和數(shù)學上的應用
統(tǒng)計學中，加權(quán)的滑動平均是一種卷積。概率論中，兩個統(tǒng)計獨立變量X與Y的和的概率密度函數(shù)是X與Y的概率密度函數(shù)的卷積。聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函數(shù)的卷積表示。電子工程與信號處理中，任一個線性系統(tǒng)的輸出都可以通過將輸入信號與系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)的沖激響應）做卷積獲得。物理學中，任何一個線性系統(tǒng)（符合疊加原理）都存在卷積。
介紹一個實際的概率學應用例子。假設需求到位時間的到達率為poisson（λ）分布，需求的大小的分布函數(shù)為D（。），則單位時間的需求量的分布函數(shù)為F（x）：
其中D（k）（x）為k階卷積。
卷積是一種線性運算，圖像處理中常見的mask運算都是卷積，廣泛應用于圖像濾波。castlman的書對卷積講得很詳細。
高斯變換就是用高斯函數(shù)對圖像進行卷積。高斯算子可以直接從離散高斯函數(shù)得到：
for（i=0;i《N;i++）
{
for（j=0;j《N;j++）
{
g［i*N+j］=exp（-（（i-（N-1）/2）^2+（j-（N-1）/2）^2））/（2*delta^2））;
sum+=g［i*N+j］;
}
}
再除以sum得到歸一化算子
N是濾波器的大小，delta自選
首先，在提到卷積之前，必須提到卷積出現(xiàn)的背景。卷積是在信號與線性系統(tǒng)的基礎上或背景中出現(xiàn)的，脫離這個背景單獨談卷積是沒有任何意義的，除了那個所謂褶反公式上的數(shù)學意義和積分（或求和，離散情況下）。
信號與線性系統(tǒng)，討論的就是信號經(jīng)過一個線性系統(tǒng)以后發(fā)生的變化（就是輸入輸出和所經(jīng)過的所謂系統(tǒng)，這三者之間的數(shù)學關(guān)系）。所謂線性系統(tǒng)的含義，就是，這個所謂的系統(tǒng)，帶來的輸出信號與輸入信號的數(shù)學關(guān)系式之間是線性的運算關(guān)系。
因此，實際上，都是要根據(jù)我們需要待處理的信號形式，來設計所謂的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，那么這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號，在數(shù)學上的形式就是所謂的卷積關(guān)系。
卷積關(guān)系最重要的一種情況，就是在信號與線性系統(tǒng)或數(shù)字信號處理中的卷積定理。利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速算法，實現(xiàn)有效的計算，節(jié)省運算代價。
在地震中的應用
地震勘探中，在地表激發(fā)點激發(fā)的地震子波（seismicwavelet）向地下傳播，當遇到地下波阻抗界面時，一部分能量就會作為反射地震波向上反射回地表，被地面的傳感器接收，隨著地震波不斷向下傳播、反射、接收，就會記錄一系列時間延遲的地震波（大地濾波后的地震子波），稱為地震記錄。這一過程或地震記錄可以用數(shù)學模型描述。如果假設地下介質(zhì)為古皮奧（Goupilaud）的水平層狀介質(zhì)模型，子波為雷克（Ricker）子波，地震記錄可以看作是由震源子波與地下反射率函數(shù)、多次反射、儀器等諸多因素的相褶積的過程，令x（t），w（t）和n（t）分別表示地震記錄，地震子波及噪聲，褶積過程數(shù)學模型描述為：長期以來，褶積模型廣泛用于描述地震信號。顧名思義，反褶積就是褶積的逆過程，從地震記錄x（t）中恢復出反射率函數(shù)r（t）。
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