四、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

　　1．幾個定義

　　蘊涵項：在函數(shù)的“與-或”表達式中，每個“與”項被稱為該函數(shù)的蘊涵項（Implicant）。

　　顯然，在函數(shù)卡諾圖中，任何一個1方格所對應的最小項或者卡諾圈中的2m個1方格所對應的“與”項都是函數(shù)的蘊涵項。

　　質(zhì)蘊涵項：若函數(shù)的一個蘊涵項不是該函數(shù)中其他蘊涵項的子集，則此蘊涵項稱為質(zhì)蘊涵項（PrimeImplicant），簡稱為質(zhì)項。

　　顯然，在函數(shù)卡諾圖中，按照最小項合并規(guī)律，如果某個卡諾圈不可能被其他更大的卡諾圈包含，那么，該卡諾圈所對應的“與”項為質(zhì)蘊涵項。

　　必要質(zhì)蘊涵項：若函數(shù)的一個質(zhì)蘊涵項包含有不被函數(shù)的其他任何質(zhì)蘊涵項所包含的最小項，則此質(zhì)蘊涵項被稱為必要質(zhì)蘊涵項（EssentialPrimeImplicant），簡稱為必要質(zhì)項。

　　在函數(shù)卡諾圖中，若某個卡諾圈包含了不可能被任何其他卡諾圈包含的1方格，那么，該卡諾圈所對應的“與”項為必要質(zhì)蘊涵項。

　　2．求函數(shù)最簡“與-或”表達式

　?。?）一般步驟：

　　第一步：作出函數(shù)的卡諾圖。

　　第二步：在卡諾圖上圈出函數(shù)的全部質(zhì)蘊涵項。按照卡諾圖上最小項的合并規(guī)律，對函數(shù)F卡諾圖中的1方格畫卡諾圈。為了圈出全部質(zhì)蘊涵項，畫卡諾圈時在滿足合并規(guī)律的前題下應盡可能大，若卡諾圈不可能被更大的卡諾圈包圍，則對應的“與”項為質(zhì)蘊涵項。

　　第三步：從全部質(zhì)蘊涵項中找出所有必要質(zhì)蘊涵項。在卡諾圖上只被一個卡諾圈包圍的最小項被稱為必要最小項，包含必要最小項的質(zhì)蘊涵項即必要質(zhì)蘊涵項。為了保證所得結(jié)果無一遺漏地覆蓋函數(shù)的所有最小項，函數(shù)表達式中必須包含所有必要質(zhì)蘊涵項。

　　第四步：求出函數(shù)的最簡質(zhì)蘊涵項集。若函數(shù)的所有必要質(zhì)蘊涵項尚不能覆蓋卡諾圖上的所有1方格，則從剩余質(zhì)蘊涵項中找出最簡的所需質(zhì)蘊涵項，使它和必要質(zhì)蘊涵項一起構(gòu)成函數(shù)的最小覆蓋。

　?。?）舉例

　　例1用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=∑m（0，3，5，6，7，10，11，13，15）。

　　解根據(jù)卡諾圖化簡的步驟，該題化簡過程如下：

　　該題中，5個必要質(zhì)蘊涵項已將函數(shù)的全部最小項覆蓋，故將各卡諾圈對應的與項相或即可得到函數(shù)F的最簡“與-或”表達式為

　　F（A，B，C，D）=A·B·C·D+ABC+ABC+BD+CD

　　例2用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=∑m（2，3，6，7，8，10，12）。

　　解根據(jù)卡諾圖化簡的步驟，該題化簡過程如下：

　　由圖可知，該函數(shù)包含兩個必要質(zhì)蘊涵項，即AC和AC·D。在選取必要質(zhì)蘊涵項之后，尚有最小項m10未被覆蓋。為了覆蓋最小項m10，可選質(zhì)蘊涵項BCD或者AB·D，由于這兩個質(zhì)蘊涵項均由3個變量組成，故可任選其中之一作為所需質(zhì)蘊涵項，即F的最簡質(zhì)蘊涵項集可為

　　{AC，AC·D，BCD}或者{AC，AC·D，AB·D}

　　因而，可求得函數(shù)F的最簡“與-或”表達式為

　　F（A，B，C，D）=AC+AC·D+BCD或者F（A，B，C，D）=AC+AC·D+AB·D

　　這里，函數(shù)F的最簡“與-或”式有兩個，其復雜程度相同。由此可見，一個函數(shù)的最簡“與-或”表達式不一定是唯一的！

　　歸納起來，卡諾圖化簡的原則是：

　　☆在覆蓋函數(shù)中的所有最小項的前提下，卡諾圈的個數(shù)達到最少。

　　☆在滿足合并規(guī)律的前題下卡諾圈應盡可能大。

　　☆根據(jù)合并的需要，每個最小項可以被多個卡諾圈包圍。

　　3.求函數(shù)的最簡“或-與”表達式

　　當需要求一個函數(shù)的最簡“或-與”表達式時，可采用“兩次取反法”。

　　具體如下：

　　☆先求出函數(shù)F的反函數(shù)F的最簡“與-或”表達（合并卡諾圖上的0方格）；

　　☆然后對F的最簡“與-或”表達式取反，從而得到函數(shù)F的最簡“或-與”表達式。

　　例如，用卡諾圖求邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=∑m（3，4，6，7，11，12，13，14，15）的最簡“或-與”表達式。

　　解首先畫出函數(shù)F的卡諾圖如圖2．13所示。

　　圖中，F(xiàn)的0方格即反函數(shù)F的1方格，它們代表F的各個最小項，將全部0方格合并就可得到反函數(shù)F的最簡“與-或”表達式

　　F（A，B，C，D）=AB+CD+BD

　　再對上述函數(shù)式兩邊取反，即可求得函數(shù)的最簡“或-與”表達式

　　卡諾圖化簡邏輯函數(shù)具有方便、直觀、容易掌握等優(yōu)點。但依然帶有試湊性。尤其當變量個數(shù)大于6時，畫圖以及對圖形的識別都變得相當復雜。