3.算法的收斂性

　　在最小均方誤差自適應濾波算法中，最佳濾波器系數(shù)應該滿足：

　　▽J（j）=0

　　即：-2E［X（j）*（ d（j）- WT（j）*X（j））］=0

　　經(jīng)整理后，可以得到：

　　WoptT =Rxx-1*Rxd

　　上式說明，自適應濾波的最佳濾波器系數(shù)同維納濾波相同，與輸入信號以及期望信號的相關(guān)矩陣有關(guān)。

　　對W（j+1）=W（j）+μX（j）e（j）等號兩邊求期望，并通過一系列推導，可得：

　　E［W（j+1）］=Wopt+Q（I-μΛ）jQH（W0-Wopt）

　　式中Rxx=QHΛQ， W0為自適應濾波系數(shù)的初值。

　　當j取到無窮大時，濾波器應達到最優(yōu)狀態(tài)，因此：

　?。↖-μΛ）j=0，則有：|I-μΛ|《=1

　　上式即為最小均方自適應濾波的收斂條件。

　　Λ為輸入信號的自相關(guān)矩陣Rxx的特征值構(gòu)成的對角陣。

　　4.變步長自適應濾波算法

　　在整個迭代過程中，步長不變的情況稱為定步長算法。為了保證算法的收斂性，一般要取一個比較小的步長值，但步長過小又容易導致算法收斂過慢。比較理想的情況是，在迭代的初始階段，誤差值較大時，取一個較大的迭代步長，以實現(xiàn)較快的收斂速度；隨著迭代次數(shù)增加，誤差逐漸減小，步長也應相應減小，達到較高的收斂精度。這種思想便稱為變步長自適應濾波算法。

　　常用的變步長自適應濾波算法根據(jù)輸入信號的或者誤差值確定步長。

　　這里介紹兩種具體的變步長算法：

　　（1）歸一化變步長自適應濾波算法

　　μj =α/（β+XjTXj）

　　α，β均為常數(shù)，且滿足0《α《2，β》=0。

　　該算法使用輸入信號的能量對步長因子進行歸一化，確保其取到合適的值。

　?。?）Sigmod函數(shù)變步長自適應濾波算法

　　μj=β（1-exp（-αej^2））

　　α，β均為常數(shù)，且滿足0《α，0=《β《μmax。

　　從上述表達式中可以明顯看出，隨著誤差增大，步長值也增大。

　　5.解相關(guān)自適應濾波算法

　　實驗發(fā)現(xiàn)，當輸入信號之間的相關(guān)性比較強時，自適應濾波的效果比較差。因此需要去除相鄰兩次輸入信號序列的相關(guān)性，以得到較好的濾波效果。

　　解相關(guān)自適應濾波算法的實現(xiàn)過程為：

　　r= XjTXj-1/ Xj-1TXj-1

　　Zj=Xj-rXj-1

　　μj=βej/ ZjTXj

　　Wj+1=Wj+μjZj

　　6.變換域自適應濾波算法

　　根據(jù)解相關(guān)自適應濾波算法的思想，使用一組正交基對輸入信號進行變換，在變換域上進行自適應濾波，最后再將濾波結(jié)果逆變換至時間域。常見的變換有傅里葉變換，分數(shù)階傅里葉變換，小波變換，余弦變換。

　　算法應用與實現(xiàn)

　　下面講述如何在實際問題中應用自適應濾波算法：

　　問題背景：一個點目標在x，y平面上繞單位圓做圓周運動，由于外界干擾，其運動軌跡發(fā)生了偏移。其中，x方向的干擾為均值為0，方差為0.05的高斯噪聲；y方向干擾為均值為0，方差為0.06的高斯噪聲。

　　問題分析與思路：

　　將物體的運動軌跡分解為X方向和Y方向，并假設兩個方向上運動相互獨立。分別將運動軌跡離散為一系列點，作為濾波器的輸入，分別在兩個方向上進行濾波，最終再合成運動軌跡。

　　程序設計思路：

　　生成期望信號-添加噪聲-設置濾波器系數(shù)初值-迭代運算-最優(yōu)濾波輸出

　　濾波結(jié)果分析：

?定步長自適應濾波算法

　　變步長自適應濾波算法

　　解相關(guān)自適應濾波算法