摘要：提出了一種面向硬件的均值、方差的高斯隨機(jī)噪聲生成方法。改進(jìn)了傳統(tǒng)的采用蒙特卡洛方法實(shí)現(xiàn)均勻分布噪聲到同分布噪聲的快速轉(zhuǎn)化，利用映射函數(shù)方法實(shí)現(xiàn)個(gè)轉(zhuǎn)為，最大隨度地降低運(yùn)算量。實(shí)驗(yàn)證明本方法具有快速、高精度等優(yōu)點(diǎn).

高斯隨機(jī)噪聲在信號分析和處理中具有重要的價(jià)值。本文具體討論了一種面向硬件的高斯噪聲快速生成算法。算法原理為通過映射表法將均勻噪聲轉(zhuǎn)化生成高斯隨機(jī)噪聲。本方法占有內(nèi)存小、運(yùn)算速度快、精度高。實(shí)驗(yàn)證明該方法能夠?yàn)?a href="http://www.brongaenegriffin.com/v/" target="_blank">視頻圖像實(shí)時(shí)添加高斯噪聲。

圖1

    原理框圖如圖1所示。圖1左半部分為均勻噪聲生成部分，采用模數(shù)取余法，依靠已有的K個(gè)隨機(jī)數(shù)種子，不斷生成新的隨機(jī)數(shù)，并將之向外輸出。圖1右半部分采用左半部分的輸出值生成映射表地址，將查表后得到的結(jié)果輸出，即為所要求的高斯噪聲值結(jié)果。

1 生成均勻分布噪聲

設(shè)x(1)，…，x(k)是給定的k個(gè)隨機(jī)數(shù)，在(-X，X)內(nèi)均勻分布，相互獨(dú)立。第k+1個(gè)隨機(jī)數(shù)由x(1)和x(k)按照模X相加得到：

即x(k+1)仍然是(-X，X)之間的隨機(jī)數(shù)。在下一次運(yùn)算時(shí)，將x(k+1)移到x(k)的位置，xk)移到x(k-1)，……，x(2)移到x{1}，然后再做模X運(yùn)算，相加得到x(k+2)，如此循環(huán)，產(chǎn)生序列{xn}。

首先討論上面的模X運(yùn)算。對于采用補(bǔ)碼運(yùn)算的處理器而言，只要取X為處理器字長，則在不考慮進(jìn)位的情況下，通常的加法就是模加運(yùn)算。

然后采用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)上面的循環(huán)機(jī)制。設(shè)兩個(gè)指針：頭指針head和尾指針tail。每計(jì)算完一次噪聲值后，兩個(gè)指針都要向下移動一個(gè)位置。已到序列尾部，則重新指到序列的頭部，即按照加1模K運(yùn)算：

    為了計(jì)算方便，選K為256。若用head和lnil指針做相對偏移地址，則可以采用1個(gè)字節(jié)存儲。加1運(yùn)算之后若不考慮溢出，就等價(jià)于加1模256操作。

2 映射高斯噪聲

為了由均勻噪聲快速產(chǎn)生高斯噪聲，采用了映射函數(shù)法。其算法原理如圖2所示。

    將正態(tài)分布函數(shù)的自變量y進(jìn)行合理的離散化，得到一系列函數(shù)值，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列。再將此數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)yi映射到數(shù)軸x上的某個(gè)小區(qū)間段[xi0，xi1]，其中‖xi1－xi0‖=yi。取遍數(shù)列中所有的數(shù)值，得到一系列的小區(qū)間。將所有的小區(qū)間依次連接起來，中點(diǎn)置于數(shù)軸的零點(diǎn)，則構(gòu)成變量x的取值區(qū)間[-x，x]。將數(shù)軸x上的各個(gè)小區(qū)間與y序列建立映射關(guān)系，則可以證明，如果采樣間隔足夠小，那么x域中的隨機(jī)分布將對應(yīng)于y域中的高斯分布。

這個(gè)映射關(guān)系可以函數(shù)表示為y=f（x）。

其中x服從(-X，X)區(qū)間內(nèi)均勻分布，而y服從均值為u、方差為σ的高斯分布。f函數(shù)曲線如圖3所示。

    在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，對y對應(yīng)的高斯分布值進(jìn)行量化處理，并為x分配一塊連續(xù)的內(nèi)存區(qū)域[0，2X]，每個(gè)內(nèi)存單元的(偏移地址-X)值代表了x值大小，單元內(nèi)容存放了該單元對應(yīng)的丁值。這片內(nèi)存區(qū)域就是所需要的映射查找表。這個(gè)表具有通用性，可以預(yù)先計(jì)算好，在需要時(shí)可¨直接使用，不必再計(jì)算。

 對于(0，1)正態(tài)分布，圖4中的zi都小于1，沒有實(shí)際意義，所以將其放大了200倍；

則原始映射表描述為：

    原始映射表比較大，實(shí)際使用時(shí)對其做了粗采樣。對y對應(yīng)的高斯分布值進(jìn)行的量化也沒有采用圖4中均標(biāo)準(zhǔn)階梯形式，而是采用了如下粗采樣形式：

結(jié)果映射表[k]=原始映射表[k·d+d/2]   (2)

其中：采樣間隔d=∑yi／M．，量化處理曲線如圖5所示。

從圖5可以發(fā)現(xiàn)，兩邊較小處并沒有像階梯圖那樣截止為0，而是允許以小的概率出現(xiàn)非零值。試驗(yàn)證明這種方式更好一些。

考慮高斯分布的實(shí)際情況，并經(jīng)過試驗(yàn)驗(yàn)證y僅在[-4，4]之間取值，就能夠達(dá)到令人滿意的精度。圖6給出了X大小對噪聲精度的影響曲線，縱軸為平均誤差。

可以看出，當(dāng)2X大于5500時(shí)，誤差達(dá)到了極小穩(wěn)定狀態(tài)。為了方便計(jì)算，選擇2X=213=8192，即X=212=4096。

    圖7給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果(均值為120，方差為40)：虛線部分為標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的曲線，實(shí)線部分為噪聲直方圖，驗(yàn)證了本方法的有效性。

3 精度討論

該方法主要利用兩個(gè)表：一個(gè)是循環(huán)產(chǎn)生均勻噪聲的表；另一個(gè)是映射表。這兩個(gè)表的數(shù)值都可以由前面介紹的方法計(jì)算，下面只討論它們的精度取舍。

循環(huán)表中256個(gè)種子的精度要求與映射表的大小有直接關(guān)系，對映射表采用了8192(8K)個(gè)單元。因此循環(huán)表的任務(wù)就是要在區(qū)間[-4096，4096]內(nèi)產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)。所以循環(huán)表中的種子序列x(1)，…，x(256)在[-4096，4096]內(nèi)均勻分布。為了方便計(jì)算，將種子序列的分布調(diào)整到[-(2115-1)，(215-1)]之間，即X=215=32767。所以可以采用包含1位符號位共計(jì)16位來存儲種子數(shù)的補(bǔ)碼，這樣可以通過丟掉進(jìn)位的補(bǔ)碼加法來實(shí)現(xiàn)模X加運(yùn)算。補(bǔ)碼運(yùn)算結(jié)果的高13位或右移3位，可以直接作映射表的偏名地址進(jìn)行后續(xù)查表操作，并且滿足在[-4096，4096]內(nèi)均勻分布。

    考慮實(shí)際情況下，待求的高斯噪聲分布的方差一般介于(0，100)之間，均值一般介于[-255，255]之間。而實(shí)際圖像灰度值是以整數(shù)[0，255]形式存在，所以噪聲的精度只要控制在整數(shù)范圍內(nèi)即可，映射表的精度只要達(dá)到0．0l就足夠了。而映射表中數(shù)據(jù)的分布介于[-4．00，4．00]之間，若以整數(shù)形式存儲，將原始數(shù)據(jù)乘以128后就完全可以存放在16位長度單元中。

也可以在此基礎(chǔ)上對表進(jìn)行修改，使得經(jīng)過映射后高斯分布的均值和方差直接等于用戶給定的均值u和方差σ。修改比較簡單，將映射表中的每一個(gè)單元值y做如下替換：

y=(y*σ)>>7+u

此表中數(shù)據(jù)可以是原碼形式也可以是補(bǔ)碼形式具體需要而定。