1、小波閾值處理基本理論

所謂閾值去噪簡(jiǎn)而言之就是對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，然后對(duì)分解后的系數(shù)進(jìn)行閾值處理，最后重構(gòu)得到去噪信號(hào)。該算法其主要理論依據(jù)是：小波變換具有很強(qiáng)的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號(hào)的能量在小波域集中在一些大的小波系數(shù)中;而噪聲的能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi)。因此，經(jīng)小波分解后，信號(hào)的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的系數(shù)幅值。可以認(rèn)為，幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號(hào)為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲。于是，采用閾值的辦法可以把信號(hào)系數(shù)保留，而使大部分噪聲系數(shù)減小至零。小波閾值收縮法去噪的具體處理過程為：將含噪信號(hào)在各尺度上進(jìn)行小波分解，設(shè)定一個(gè)閾值，幅值低于該閾值的小波系數(shù)置為0，高于該閾值的小波系數(shù)或者完全保留，或者做相應(yīng)的“收縮（shrinkage）”處理。最后將處理后獲得的小波系數(shù)用逆小波變換進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的信號(hào)。

2、閾值函數(shù)的選取

小波分解閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)超過和低于閾值的小波系數(shù)不同處理策略，是閾值去噪中關(guān)鍵的一步。設(shè)w表示小波系數(shù)，T為給定閾值，sign（*）為符號(hào)函數(shù)，常見的閾值函數(shù)有：

硬閾值函數(shù)：（小波系數(shù)的絕對(duì)值低于閾值的置零，高于的保留不變）

軟閾值函數(shù)：（小波系數(shù)的絕對(duì)值低于閾值的置零，高于的系數(shù)shrinkage處理）

式（3-8）和式（3-9）用圖像表示即為：

值得注意的是：

1）硬閾值函數(shù)在閾值點(diǎn)是不連續(xù)的，在下圖中已經(jīng)用黑線標(biāo)出。不連續(xù)會(huì)帶來(lái)振鈴，偽吉布斯效應(yīng)等。

2）軟閾值函數(shù)，原系數(shù)和分解得到的小波系數(shù)總存在著恒定的偏差，這將影響重構(gòu)的精度

同時(shí)這兩種函數(shù)不能表達(dá)出分解后系數(shù)的能量分布，半閾值函數(shù)是一種簡(jiǎn)單而經(jīng)典的改進(jìn)方案。見下圖：

3、閾值的確定

選取的閾值最好剛好大于噪聲的最大水平，可以證明的是噪聲的最大限度以非常高的概率低于（此閾值是Donoho提出的），其中根號(hào)右邊的這個(gè)參數(shù)（叫做sigma）就是估計(jì)出來(lái)的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差（根據(jù)第一級(jí)分解出的小波細(xì)節(jié)系數(shù)，即整個(gè)det1絕對(duì)值系數(shù)中間位置的值），本文將用此閾值去處理各尺度上的細(xì)節(jié)系數(shù)，注意所謂全局閾值就是近似系數(shù)不做任何閾值處理外，其他均閾值處理。

4、閾值策略

5、一維信號(hào)的多級(jí)分解與重構(gòu)

以下算法如果用簡(jiǎn)單的文字描述，可是：先將信號(hào)對(duì)稱拓延（matlab的默認(rèn)方式），然后再分別與低通分解濾波器和高通分解濾波器卷積，最后下采樣，最后可以看出最終卷積采樣的長(zhǎng)度為floor（n-1）/2+n，如果想繼續(xù)分解下去則繼續(xù)對(duì)低頻系數(shù)CA采取同樣的方式進(jìn)行分解。