1、小波閾值處理基本理論

所謂閾值去噪簡而言之就是對信號進行分解，然后對分解后的系數(shù)進行閾值處理，最后重構(gòu)得到去噪信號。該算法其主要理論依據(jù)是：小波變換具有很強的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它能夠使信號的能量在小波域集中在一些大的小波系數(shù)中;而噪聲的能量卻分布于整個小波域內(nèi)。因此，經(jīng)小波分解后，信號的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的系數(shù)幅值?？梢哉J為，幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上是噪聲。于是，采用閾值的辦法可以把信號系數(shù)保留，而使大部分噪聲系數(shù)減小至零。小波閾值收縮法去噪的具體處理過程為：將含噪信號在各尺度上進行小波分解，設(shè)定一個閾值，幅值低于該閾值的小波系數(shù)置為0，高于該閾值的小波系數(shù)或者完全保留，或者做相應(yīng)的“收縮（shrinkage）”處理。最后將處理后獲得的小波系數(shù)用逆小波變換進行重構(gòu)，得到去噪后的信號。

2、閾值函數(shù)的選取

小波分解閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對超過和低于閾值的小波系數(shù)不同處理策略，是閾值去噪中關(guān)鍵的一步。設(shè)w表示小波系數(shù)，T為給定閾值，sign（*）為符號函數(shù)，常見的閾值函數(shù)有：

硬閾值函數(shù)：（小波系數(shù)的絕對值低于閾值的置零，高于的保留不變）

軟閾值函數(shù)：（小波系數(shù)的絕對值低于閾值的置零，高于的系數(shù)shrinkage處理）

式（3-8）和式（3-9）用圖像表示即為：

值得注意的是：

1）硬閾值函數(shù)在閾值點是不連續(xù)的，在下圖中已經(jīng)用黑線標出。不連續(xù)會帶來振鈴，偽吉布斯效應(yīng)等。

2）軟閾值函數(shù)，原系數(shù)和分解得到的小波系數(shù)總存在著恒定的偏差，這將影響重構(gòu)的精度

同時這兩種函數(shù)不能表達出分解后系數(shù)的能量分布，半閾值函數(shù)是一種簡單而經(jīng)典的改進方案。見下圖：

3、閾值的確定

選取的閾值最好剛好大于噪聲的最大水平，可以證明的是噪聲的最大限度以非常高的概率低于（此閾值是Donoho提出的），其中根號右邊的這個參數(shù)（叫做sigma）就是估計出來的噪聲標準偏差（根據(jù)第一級分解出的小波細節(jié)系數(shù)，即整個det1絕對值系數(shù)中間位置的值），本文將用此閾值去處理各尺度上的細節(jié)系數(shù)，注意所謂全局閾值就是近似系數(shù)不做任何閾值處理外，其他均閾值處理。

4、閾值策略

5、一維信號的多級分解與重構(gòu)

以下算法如果用簡單的文字描述，可是：先將信號對稱拓延（matlab的默認方式），然后再分別與低通分解濾波器和高通分解濾波器卷積，最后下采樣，最后可以看出最終卷積采樣的長度為floor（n-1）/2+n，如果想繼續(xù)分解下去則繼續(xù)對低頻系數(shù)CA采取同樣的方式進行分解。

6、matlab實現(xiàn)一維小波閾值去噪

1，核心庫函數(shù)說明

1）wnoisest函數(shù)

作用：估計一維小波高頻系數(shù)中的噪聲偏差

這個估計值使用的是絕對值中間位置的值（估計的噪聲偏差值）除以0.6745（MedianAbsoluteDeviation/0.6745），適合0均值的高斯白噪聲

2）wavedec函數(shù)

一維信號的多尺度分解，將返回諸多細節(jié)系數(shù)和每個系數(shù)的長度，在matlab中鍵入“docwavedec”具體功能一目了然

3）waverec函數(shù)

一維信號小波分解系數(shù)的重構(gòu)，將返回重構(gòu)后的信號在matlab中鍵入“docwaverec”具體功能一目了然，也可以鍵入“openwaverec”查看matlab具體是怎么做的。

4）wdencmp函數(shù)

這個函數(shù)用于對一維或二維信號的壓縮或者去噪，使用方法：

1［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘gbl’，X，‘wname’，N，THR，SORH，KEEPAPP）

2［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘lvd’，X，‘wname’，N，THR，SORH）

3［XC，CXC，LXC，PERF0，PERFL2］=wdencmp（‘lvd’，C，L，‘wname’，N，THR，SORH）

wname是所用的小波函數(shù)，gbl（global的縮寫）表示每層都采用同一個閾值進行處理，lvd表示每層用不同的閾值進行處理，N表示小波分解的層數(shù)，THR為閾值向量，對于格式（2）（3）每層都要求有一個閾值，因此閾值向量THR的長度為N，SORH表示選擇軟閾值還是硬閾值（分別取為’s’和’h’），參數(shù)KEEPAPP取值為1時，則低頻系數(shù)不進行閾值量化處理，反之，則低頻系數(shù)進行閾值量化。XC是消噪或壓縮后的信號，［CXC，LXC］是XC的小波分解結(jié)構(gòu)，PERF0和PERFL2是恢復(fù)和壓縮L^2的范數(shù)百分比，是用百分制表明降噪或壓縮所保留的能量成分。

3.代碼實現(xiàn)

clear;

%獲取噪聲信號

loadleleccum;

indx=1:3450;

noisez=leleccum（indx）;

%信號的分解

wname=‘db3’;

lev=3;

［c，l］=wavedec（noisez，lev，wname）;

%求取閾值

sigma=wnoisest（c，l，1）;%使用庫函數(shù)wnoisest提取第一層的細節(jié)系數(shù)來估算噪聲的標準偏差

N=numel（noisez）;%整個信號的長度

thr=sigma*sqrt（2*log（N））;%最終閾值

%全局閾值處理

keepapp=1;%近似系數(shù)不作處理

denoisexs=wdencmp（‘gbl’，c，l，wname，lev，thr，‘s’，keepapp）;

denoisexh=wdencmp（‘gbl’，c，l，wname，lev，thr，‘h’，keepapp）;

%作圖

subplot（311），

plot（noisez），title（‘原始噪聲信號’）;

subplot（312），

plot（denoisexs），title（‘matlab軟閾值去噪信號’）;

subplot（313），

plot（denoisexh），title（‘matlab硬閾值去噪信號’）;