在我的學(xué)術(shù)生涯中，我注意到系統(tǒng)理論是最難教和最難學(xué)的課程之一。這些極點(diǎn)和零點(diǎn)概念在課堂上都感覺(jué)很有意思，但是一旦學(xué)生想將它們與實(shí)驗(yàn)室中的物理電路聯(lián)系起來(lái)，理論和實(shí)踐之間就會(huì)出現(xiàn)鴻溝。在這篇文章中，我將嘗試找出關(guān)于極點(diǎn)和零點(diǎn)的物理感覺(jué)，使用運(yùn)算放大器來(lái)控制它們?cè)趶?fù)平面中的位置，并利用電路的自然響應(yīng)來(lái)說(shuō)明極點(diǎn)/零點(diǎn)位置的影響。

單端口電路的自然響應(yīng)

我們來(lái)看圖1中的無(wú)源線性單端口電路，它包括電阻、電容和電感。

如果我們施加一個(gè)測(cè)試電流I(s)，單端口電路將產(chǎn)生電壓V(s)，使得V(s)=Z(s)/(s)，其中I(s)和V(s)是所施加電流和所產(chǎn)生電壓的拉普拉斯變換，s是以sec-1為單位的復(fù)數(shù)頻率。阻抗Z(s)是s的有理函數(shù)形式，即分子多項(xiàng)式N(s)與分母多項(xiàng)式D(s)的比值：

公式N(s)=0的根被稱為Z(s)的零點(diǎn)，表示為z1，z2，……；而公式D(s)=0的根被稱為Z(s)的極點(diǎn)，表示為p1、p2、……。極點(diǎn)和零點(diǎn)統(tǒng)稱為根，也稱為臨界頻率。例如，阻抗：

當(dāng)s=0時(shí)，其值為零；當(dāng)s=-3±j4時(shí)，它具有復(fù)共軛極點(diǎn)對(duì)?？梢杂酶鶃?lái)表達(dá)它，即：

如果我們繪制|Z(s)|相對(duì)于s的幅度曲線，則可以直觀理解零點(diǎn)和極點(diǎn)的含義。所得到的曲線就好像在s平面上豎起的帳篷，在零點(diǎn)處接觸s平面，而在極點(diǎn)處其高度變?yōu)闊o(wú)限。

圖2：Z(s)=(10Ω)s/(s2+6s+25)的幅度圖。（通過(guò)在虛軸上計(jì)算|Z|獲得的分布曲線圖顯示出單端口電路的交流響應(yīng)。）

為了找到極點(diǎn)的物理感覺(jué)，我們?cè)趕接近極點(diǎn)pk時(shí)施加電流I(s)，就可以用相當(dāng)小的I(s)獲得給定的電壓V(s)。s越接近極點(diǎn)pk，獲得給定電壓V(s)所需的電流I(s)越小。在s→pk的極限狀態(tài)下，即使電流為零，即開(kāi)路，單端口電路也會(huì)獲得一個(gè)非零的供電電壓（見(jiàn)圖1b）！這個(gè)電壓稱為自然響應(yīng)或無(wú)源響應(yīng)，因?yàn)閱味丝陔娐房衫脙?chǔ)存在其電容和電感內(nèi)部的能量來(lái)產(chǎn)生電壓。這些能量在電阻中消耗盡了，在無(wú)源單端口的情況下，它們將隨時(shí)間呈指數(shù)級(jí)衰減。實(shí)際上，系統(tǒng)理論預(yù)測(cè)到自然響應(yīng)符合以下表達(dá)式：

其中a1，a2，......，是取決于存儲(chǔ)能量的合適系數(shù)（以V為單位），Z(s)的極點(diǎn)是指數(shù)中時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。

那么Z(s)的零點(diǎn)呢？我們來(lái)看圖3，它表示圖1的兩種情況?，F(xiàn)在施加的信號(hào)是電壓V(s)，而響應(yīng)是電流I(s)=[1/Z(s)]V(s)，這表明Z(s)的零點(diǎn)現(xiàn)在成為1/Z(s)的極點(diǎn)。通過(guò)雙重推理，在s→zk的極限狀態(tài)下，即使施加零電壓（短路），單端口電路也將提供非零電流（參見(jiàn)圖3b）！該電流稱為自然響應(yīng)或無(wú)源響應(yīng)，因?yàn)閱味丝陔娐防脙?chǔ)存在其電容和電感內(nèi)部的能量來(lái)產(chǎn)生電流。系統(tǒng)理論預(yù)測(cè)自然短路電流響應(yīng)符合以下表達(dá)式：

其中b1，b2，......，是取決于存儲(chǔ)能量的合適系數(shù)（以安培為單位），Z(s)的零點(diǎn)是指數(shù)中時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。

總而言之，單端口電路的自然響應(yīng)由其阻抗Z(s)的根控制：極點(diǎn)控制開(kāi)路電壓響應(yīng)vn(t)，而零點(diǎn)控制短路電流響應(yīng)in(t)。在某種程度上，根就像是單端口電路的DNA。例如，我們來(lái)看圖4的單端口電路。在t=0時(shí)，電容兩端的電壓為9V，頂部為正，t>0時(shí)它的自然響應(yīng)是什么？可以看出單端口電路呈現(xiàn)的阻抗是：

顯然，z1=–1/(R1C)=-1/(10ms)，p1=-1/[(R1+R2)C]=-1/(30ms)。此外，a1=[20/(10+20)]9=6V且b1=9/10=0.9mA。所以：

單極點(diǎn)控制

在圖5a的電路中，由vn表示的節(jié)點(diǎn)和地之間的阻抗為Z(s)=R||(1/sC)=R/(1+sRC)，因此在s=-1/(RC)=-1/(1ms)時(shí)電路具有一個(gè)極點(diǎn)。假設(shè)vn(0)=1V，我們可以得到：

無(wú)論怎樣選擇R和C的值，該電路的極點(diǎn)將始終為負(fù)。我們希望找到控制它的方法，以便將其驅(qū)動(dòng)為零甚至使其成為正的。圖5b示出的電路可以完成這項(xiàng)工作。非反相放大器檢測(cè)vn并輸出電壓：

(1 + R2/R1)vn = (1 + k)vn

k = R2/R1

其中R2代表電位器在其左端和游標(biāo)之間的部分。對(duì)于給定的元件值，從左端到右端改變游標(biāo)將使k在0

對(duì)于給定的元件值，我們有Req=(10kΩ)/(1–k)，因此極點(diǎn)位置現(xiàn)在為s=-1/(ReqC)=-(1–k)/(1ms)，公式（4）變?yōu)椋?/p>

我們討論一下電路作為游標(biāo)設(shè)置函數(shù)的工作原理，使用圖6中的PSpice電路來(lái)顯示隨后的自然響應(yīng)類型。