小波閾值去噪的基本原理

小波閾值去噪的基本思想是先設(shè)置一個(gè)臨界閾值λ，若小波系數(shù)小于λ，認(rèn)為該系數(shù)主要由噪聲引起，去除這部分系數(shù);若小波系數(shù)大于λ，則認(rèn)為此系數(shù)主要是由信號(hào)引起，保留這部分系數(shù)，然后對處理后的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換得到去噪后的信號(hào)。具體步驟如下：

（1）對帶噪信號(hào)f（t）進(jìn)行小波變換，得到一組小波分解系數(shù)Wj，k;

（2）通過對小波分解系數(shù)Wj，k進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)小波系數(shù)Wj，k，使Wj，k－uj，k盡可能的小;

（3）利用估計(jì)的小波系數(shù)Wj，k進(jìn)行小波重構(gòu)，得到估計(jì)信號(hào)f（t），即為去噪后的信號(hào)。

提出了一種非常簡潔的方法對小波系數(shù)Wkj，進(jìn)行估計(jì)。對f（k）連續(xù)做幾次小波分解后，有空間分布不均勻信號(hào)s（k）各尺度上小波系數(shù)Wkj，在某些特定位置有較大的值，這些點(diǎn)對應(yīng)于原始信號(hào)s（k）的奇變位置和重要信息，而其他大部分位置的Wkj，較?。粚τ诎自肼昻（k），它對應(yīng)的小波系數(shù)Wkj，在每個(gè)尺度上的分布都是均勻的，并隨尺度的增加Wkj，系數(shù)的幅值減小。因此，通常的去噪辦法是尋找一個(gè)合適的數(shù)?作為閾值（門限），把低于λ的小波函數(shù)Wkj，（主要由信號(hào)n（k）引起），設(shè)為零，而對于高于?的小波函數(shù)Wkj，（主要由信號(hào)s（k）引起），則予以保留或進(jìn)行收縮，從而得到估計(jì)小波系數(shù)Wkj，它可理解為基本由信號(hào)s（k）引起，然后對Wkj進(jìn)行重構(gòu)，就可以重構(gòu)原始信號(hào)。

本文提出的小波閾值去噪方法可以分為5步描述：

（1）對帶噪圖像g（i，j）進(jìn)行s層正交冗余小波變換，得到一組小波分解系數(shù)Wg（i，j）（s，j），其中j=1，2，…s，s表示小波分解的層數(shù)。

小波去噪閾值如何選取

小波閾值去噪法有著很好的數(shù)學(xué)理論支持，實(shí)現(xiàn)簡單而又非常有效，因此取得了非常大的成功，并吸引了眾多學(xué)者對其作進(jìn)一步的研究與改進(jìn)。這些研究集中在兩個(gè)方面：對閾值選取的研究以及對閾值函數(shù)的研究。

閾值的確定在去噪過程中至關(guān)重要，目前使用的閾值可以分為全局閾值和局部適應(yīng)閾值兩類。其中，全局閾值是對各層所有的小波系數(shù)或同一層內(nèi)不同方向的小波系數(shù)都選用同一個(gè)閾值。而局部閾值是根據(jù)不同層不同方向分別選取閾值。

全局閾值按下式計(jì)算

其中：

為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，M，N為圖像信號(hào)的尺度。

該閾值是在高斯模型下針對多維獨(dú)立正態(tài)變量聯(lián)合分布得出的;

置信區(qū)間閾值的計(jì)算式為此閾值是考慮零均值的正態(tài)分布變量落在之外的概率非常小，所以，絕對值大于的系數(shù)一般都認(rèn)為主要由信號(hào)系數(shù)構(gòu)成。

（3）最小最大化閾值。

這是在最小最大化意義下得出的閾值，它沒有顯示表達(dá)式，而且要預(yù)先知道原信號(hào)才能求取閾值。

（4）TOP閾值。

TOP閾值的計(jì)算式為其中P是需要保留的大的小波系數(shù)的比率。這種閾值選取方法沒有理論上的最優(yōu)準(zhǔn)則，但可以允許選擇不同的P來多次實(shí)驗(yàn)恢復(fù)圖像。

（5）SUREShrink閾值。

基于SURE（Stein’SUnbiasedRiskEstimation）準(zhǔn)則的SUREShrink閾值：

（7）自適應(yīng)閾值。

利用自適應(yīng)方法確定小波系數(shù)的閾值。閾值的確定在閾值萎縮中是最關(guān)鍵的，雖然用Donoho的軟閾值去噪法能取得不錯(cuò)的效果，但因白噪聲具有負(fù)的奇異性，其幅值和稠密度隨尺度增加而減少，而信號(hào)則是相反。因此隨著尺度級(jí)數(shù)的增加，由噪聲所控制的模極大值的幅度和稠密度會(huì)明顯增大。所以在每級(jí)尺度上都采用同一閾值顯然不合適；在較低尺度上，會(huì)去除有用信號(hào)；而到了最大尺度級(jí)，則會(huì)留下一部分噪聲。因此可以考慮選擇自適應(yīng)閾值克服這種缺點(diǎn)。自適應(yīng)閾值就是將每級(jí)尺度都視為相互獨(dú)立，根據(jù)每級(jí)尺度上小波系數(shù)幅值的不同特點(diǎn)，分別在每層分解3個(gè)方向，分別是水平方向、豎直方向和對角方向，并且在每個(gè)方向上尋找一個(gè)與之最匹配的閾值來進(jìn)行除噪，這樣就可以把所有方向的噪聲分離出來。利用自適。

在以上閾值中，全局閾值計(jì)算簡單，但是它趨向于“過扼殺”小波系數(shù)，在重構(gòu)時(shí)會(huì)導(dǎo)致較大誤差：置信區(qū)間閾值雖然與圖像尺寸無關(guān)。但由于隨著圖像尺寸的增大，大的噪聲系數(shù)出現(xiàn)的數(shù)目會(huì)增多，并被保留，因而導(dǎo)致誤差增大；最小最大化閾值，由于基于悲觀決策的思想，所以也會(huì)“過扼殺”系數(shù)；SURE閾值效果最優(yōu)但求解閾值過程復(fù)雜；BayesShrink的效果僅次于SURE，但算法簡單。